2021大学初等数论高分上岸专用备考题库及完整答案

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一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.设a,b为整数，b>0，则存在唯一的整数q,r满足a=bq+r，其中r的范围是（）A.0≤r<bB.1≤r≤bC.-b<r≤0D.-b≤r<02.若gcd(a,b)=d，则gcd(a/d,b/d)=（）A.dB.1C.a/dD.b/d3.以下关于素数的描述，正确的是（）A.素数都是奇数B.素数有无穷多个C.2不是素数D.1是素数4.同余方程3x≡6mod9的解数为（）A.1B.2C.3D.05.欧拉函数φ(12)的值为（）A.4B.5C.6D.86.模m存在原根的充要条件是（）A.m=1,2,4,p^k,2p^k（p为奇素数，k≥1）B.m为任意正整数C.m为素数D.m为偶数7.勒让德符号(15/17)的值为（）A.1B.-1C.0D.28.佩尔方程x²-2y²=1的最小正整数解是（）A.(1,0)B.(3,2)C.(2,1)D.(1,1)9.威尔逊定理表明，若p为素数，则(p-1)!≡（）modpA.0B.1C.-1D.p-110.中国剩余定理适用于同余方程组的模数（）A.两两互素B.两两不互素C.全为素数D.全为合数二、填空题（总共10题，每题2分）1.gcd(105,231)=__________。2.模12的缩系元素个数为__________。3.同余方程3x≡5mod7的解为x≡__________mod7。4.欧拉函数φ(100)=__________。5.最小的素数是__________。6.若p为奇素数，a与p互素，则a是模p的二次剩余当且仅当a^((p-1)/2)≡__________modp。7.不定方程x²+y²=z²的本原解中，x,y一奇一偶，且z为__________。8.模8的平方剩余为__________。9.佩尔方程x²-3y²=1的最小正整数解是__________。10.威尔逊定理的表达式为：若p为素数，则(p-1)!≡__________modp。三、判断题（总共10题，每题2分）1.任意两个整数的最大公约数存在且唯一。（）2.素数有无穷多个。（）3.同余方程ax≡bmodm有解当且仅当gcd(a,m)|b。（）4.欧拉函数φ(n)是积性函数。（）5.模12存在原根。（）6.若a是模p的二次剩余，则勒让德符号(a/p)=1。（）7.佩尔方程x²-Dy²=1（D为非平方正整数）总有正整数解。（）8.不定方程x²+y²=z²的所有解都可以表示为本原解的倍数。（）9.模m的缩系中元素个数等于φ(m)。（）10.若a≡bmodm，则a²≡b²mod2m。（）四、简答题（总共4题，每题5分）1.简述带余除法的内容。2.陈述欧拉定理的条件和结论。3.二次互反律的主要内容是什么？4.本原毕达哥拉斯三元组的主要性质有哪些？五、讨论题（总共4题，每题5分）1.证明素数有无穷多个。2.求解同余方程组：x≡1mod3，x≡2mod4，x≡3mod5。3.讨论模p（p为奇素数）的原根个数及存在性。4.分析不定方程x²-5y²=1的解结构。答案一、单项选择题1.A2.B3.B4.C5.A6.A7.B8.B9.C10.A二、填空题1.212.43.44.405.26.17.奇数8.0,1,49.(2,1)10.-1三、判断题1.√2.√3.√4.√5.×6.√7.√8.×9.√10.×四、简答题1.带余除法：对任意整数a和正整数b，存在唯一的整数q（商）和r（余数），使得a=bq+r，且0≤r<b。2.欧拉定理：若a与m互素（m>1），则a^φ(m)≡1modm，其中φ(m)为欧拉函数，表示1到m中与m互素的数的个数。3.二次互反律：设p,q为不同的奇素数，则勒让德符号(p/q)(q/p)=(-1)^((p-1)(q-1)/4)，即(p/q)=(q/p)当p≡q≡3mod4时取反，否则相等。4.本原毕达哥拉斯三元组（x,y,z）满足gcd(x,y,z)=1，其中x,y一奇一偶，z为奇数，且可表示为x=m²-n²，y=2mn，z=m²+n²（m>n>0，m,n互素且一奇一偶）。五、讨论题1.反证法：假设素数有限，设为p₁,p₂,…,pₙ。构造N=p₁p₂…pₙ+1，N>1，故N有素因子p。若p是p₁,…,pₙ之一，则p|N且p|p₁…pₙ，矛盾；故p是新素数，与假设矛盾，因此素数无穷多。2.用中国剩余定理：设x=3k+1，代入第二个方程得3k+1≡2mod4→3k≡1mod4→k≡3mod4，即k=4m+3，x=3(4m+3)+1=12m+10。代入第三个方程：12m+10≡3mod5→12m≡-7≡3mod5→12≡2mod5，故2m≡3mod5→m≡4mod5，即m=5n+4，x=12(5n+4)+10=60n+58。通解为x≡58mod60。3.模p（奇素数）的原根存在，且原根个数为φ(p-1)。因为乘法群Z_p^是p-1阶循环群，循环群的生成元（原根）个数等于其阶的欧拉函数值，即φ(p-1)。例如p=7时，p-1=6，φ(6)=2，故模7有2个原根（3,5）。4.不定方程x²-5y²=1是佩尔方程，D=5非平方