2026年NOIP普及组复赛数学问题排列组合概率训练

2026年NOIP普及组复赛数学问题（排列组合/概率）训练一、排列组合问题（共3题，每题10分）第1题（10分）：图书借阅安排某图书馆有5本不同的数学书和3本不同的物理书，现要从中选出7本书借给7位不同的学生。规定每位学生只能借阅一本书，且数学书和物理书的借阅人数必须相等。求满足条件的借阅安排方案总数。解析：首先，从7名学生中选出4名借阅数学书，有C(7,4)种选择方法；然后，从5本数学书中选出4本，有C(5,4)种选择方法；最后，从3本物理书中选出3本，有C(3,3)种选择方法。因此，总方案数为：C(7,4)×C(5,4)×C(3,3)=35×5×1=175（种）第2题（10分）：信号灯排列有4盏红、黄、蓝、绿颜色的信号灯，按顺序排列。规定信号灯的排列必须满足以下条件：1.红灯不能相邻；2.黄灯和蓝灯不能相邻。求满足条件的排列方案总数。解析：首先，不考虑限制条件时，4盏灯的排列总数为4!=24（种）。然后，用逆向思维计算不满足条件的排列：1.红灯相邻：将红灯捆绑为1个整体，与黄、蓝、绿灯共3个元素排列，有3!种排列方法；红灯内部有2种排列方式，总共有3!×2=12（种）。2.黄灯和蓝灯相邻：将黄灯和蓝灯捆绑为1个整体，与红、绿灯共3个元素排列，有3!种排列方法；黄蓝内部有2种排列方式，总共有3!×2=12（种）。3.红灯和黄蓝灯同时相邻：将红灯和黄蓝灯捆绑为2个整体，与绿灯共2个元素排列，有2!种排列方法；红灯内部有2种排列方式，黄蓝内部有2种排列方式，总共有2!×2×2=8（种）。根据容斥原理，不满足条件的排列总数为12+12-8=16（种），因此满足条件的排列总数为24-16=8（种）。第3题（10分）：棋盘染色在一个3×3的棋盘上，用红、蓝、黄三种颜色染色，要求每行、每列都至少有一种颜色。求满足条件的染色方案总数。解析：首先，总染色方案数为3^9=19683（种）。然后，用逆向思维计算不满足条件的染色方案：1.至少有一行全是同一种颜色：3种颜色×3行=9种情况；每种情况有3^6种染色方法，总共有9×3^6=4374（种）。2.至少有一列全是同一种颜色：3种颜色×3列=9种情况；每种情况有3^6种染色方法，总共有9×3^6=4374（种）。3.同时存在一行和一列全是同一种颜色：3种颜色×3行×3列=27种情况；每种情况有3^5种染色方法，总共有27×3^5=19683（种）。根据容斥原理，不满足条件的染色方案总数为4374+4374-19683=2665（种），因此满足条件的染色方案总数为19683-2665=17018（种）。二、概率问题（共3题，每题10分）第4题（10分）：抽奖概率某商场举办抽奖活动，抽奖箱中有10张奖券，其中1张是一等奖（奖金1000元），3张是二等奖（奖金500元），6张是三等奖（奖金100元）。顾客从抽奖箱中随机抽取2张奖券，求抽到至少1张二等奖的概率。解析：总抽法数为C(10,2)=45（种）。抽到至少1张二等奖的情况：1.抽到1张二等奖和1张三等奖：C(3,1)×C(6,1)=18（种）；2.抽到2张二等奖：C(3,2)=3（种）。因此，满足条件的抽法总数为18+3=21（种），概率为21/45=7/15。第5题（10分）：游戏概率小明和小红进行抛硬币游戏，规则如下：-小明先抛硬币，若正面朝上，则小红再抛硬币；若反面朝上，则小明自己再抛硬币。-若小红抛硬币的结果与第一次抛硬币的结果一致（即都是正面或都是反面），则小明获胜；否则小红获胜。求小明获胜的概率。解析：第一次抛硬币：-正面朝上的概率为1/2；-反面朝上的概率为1/2。若第一次抛硬币是正面：-小红抛硬币与第一次一致的概率为1/2，小明获胜；不一致的概率为1/2，小红获胜。若第一次抛硬币是反面：-小明自己再抛硬币与第一次一致的概率为1/2，小明获胜；不一致的概率为1/2，小红获胜。因此，小明获胜的总概率为：(1/2×1/2)+(1/2×1/2)=1/4+1/4=1/2。第6题（10分）：摸球概率一个袋子里有5个红球、4个白球和3个黑球，现从中随机摸出3个球。求摸出的3个球颜色各不相同的概率。解析：总摸法数为C(12,3)=220（种）。摸出的3个球颜色各不相同的情况：-1个红球、1个白球、1个黑球：C(5,1)×C(4,1)×C(3,1)=60（种