核心素养导向下等式性质探索与解方程建模-小学四年级（五四学制）数学教学设计

核心素养导向下等式性质探索与解方程建模——小学四年级（五四学制）数学教学设计

一、课标依据与教材分析

  《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域第二学段（3-4年级）的“数量关系”主题中明确提出：“在具体情境中，探索等量的性质，了解等量代换，并能用于解决实际问题。”同时，方程作为刻画现实世界数量关系的有效模型，其初步思想的渗透也应在本学段开始。本课内容正是这一要求的核心载体。青岛版（五四学制）教材将“等式的性质”与“解方程”整合于四年级下册进行系统教学，体现了对知识结构逻辑与学生认知逻辑的深度统整。相较于其他版本将等式性质作为解方程的“工具性”铺垫，本教材更强调将等式性质本身作为核心概念进行探究，旨在让学生理解“变中不变”的数学关系本质，为后续学习更复杂的方程、函数乃至更高级的数学思想奠定坚实的公理化思维基础。本节课不仅是技能习得课，更是一节数学观念建构课，是从算术思维向代数思维跃迁的关键节点。

二、学情分析

  从认知基础看，四年级学生已经熟练掌握了整数、小数的四则运算，具备了较强的计算能力；在解决问题中，经常使用“（）”代表未知数，具备了初步的符号意识；在低年级的“用图形代表数”等活动中，接触过最简单的等量关系。从思维特点看，该年龄段学生的思维正从具体运算阶段向形式运算阶段过渡，能够进行基于具体事物的逻辑推理，但对纯符号的抽象变换与性质归纳仍需直观支撑。从潜在困难预判，学生可能存在的认知冲突在于：其一，难以跳出算术中“算得数”的定势，将方程视为一个有待“平衡”的整体关系；其二，对等式两边“同时”、“相同”的操作在理解上可能存在偏差，尤其是涉及乘除法运算时；其三，解方程的书写格式（等号对齐）作为一种新的规范，需要刻意练习以形成习惯。因此，教学必须提供充分的操作、观察、比较、归纳活动，搭建从直观到抽象的脚手架。

三、学习目标

  基于以上分析，确立以下三维学习目标：

  1.知识与技能：

  （1）通过天平模拟实验，理解并掌握等式的两条基本性质：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为零的数，等式仍然成立。

  （2）能运用等式的性质，以规范的步骤解形如x

±

a

=

b

x±a=b

x±a=b，a

x

=

b

ax=b

ax=b，a

x

±

b

=

c

ax±b=c

ax±b=c（a≠0）的简易方程，并初步掌握检验的方法。

  2.过程与方法：

  （1）经历从生活情境抽象出等式，通过操作天平探究等式性质，并运用性质解方程的完整过程，体会“建立模型-探索性质-应用模型”的数学学习路径。

  （2）在探究活动中，发展观察、猜想、验证、归纳和概括的数学思维能力。

  3.情感、态度与价值观：

  （1）感受等式性质的简洁与对称之美，体验数学的严谨性和确定性。

  （2）在合作交流中，养成敢于质疑、乐于探究的科学态度，体会数学与生活的密切联系。

四、教学重难点

  教学重点：探索并理解等式的基本性质。

  教学难点：等式性质2（乘除运算）的抽象理解，以及如何自觉、熟练地运用等式性质解方程，实现思维方法的转化。

五、教学准备

  教具准备：多媒体课件、交互式电子白板、实物天平（及砝码）、磁性小方块、学习任务单。

  学具准备：每组一个简易天平模型（或利用杠杆原理的自制学具）、数字卡片、记录纸。

六、教学过程

  (一)创设情境，孕伏概念(约8分钟)

  教师活动一：呈现情境，提出问题。

  1.课件动态出示：公园里翘翘板游戏场景（一端坐着一个小朋友，另一端坐着两个体重相同的小朋友，翘翘板平衡）。提问：“你能用数学式子表示这个平衡状态吗？”（预设：体重=体重+体重，或用一个字母表示未知体重，引出x

=

a

+

a

x=a+a

x=a+a）。

  2.切换情境：水果店电子秤显示，一个芒果和两个砝码（各100克）共重350克。提问：“现在这个平衡关系，又该如何表示？”引导学生写出：芒果质量+200=350。

  3.引导学生对比两个式子，提问：“这些用等号连接的式子，在数学上叫什么？”揭示课题关键词——等式。并让学生举例说明生活中的等量关系，抽象成等式。

  学生活动一：观察思考，表达抽象。

  1.观看情境动画，积极思考平衡背后的数量关系。

  2.尝试用语言描述关系，并在教师引导下用含有数字和符号的式子表示。

  3.回顾已有经验，说出“等式”名称，并举例。

  设计意图：从学生熟悉的、蕴含平衡思想的生活实例入手，激活其关于“相等”的已有经验。通过不同情境的对比与抽象，自然引出“等式”概念，让学生体会到等式是刻画现实世界等量关系的数学模型，感知数学来源于生活。此环节重在感受等式的“现实意义”，而非单纯的定义记忆。

  (二)操作探究，建构性质(约22分钟)

  核心任务：借助天平这一直观模型，分层次探究等式的两个基本性质。

  探究活动一：等式性质1（加减性质）

  教师活动二：引导操作，聚焦变化。

  1.将上述“芒果称重”情境实物化：在实物天平左盘放一个芒果（用重物代替）和两个10克砝码，右盘放一个50克砝码，使天平平衡。写出对应等式：x

+

20

=

50

x+20=50

x+20=50。

  2.提出问题：“如果我在天平左右两边同时再放上一个10克的砝码，天平会怎样？等式该如何变化？”让学生先猜想，后操作验证。

  3.继续追问并操作验证：“如果同时拿走一个10克砝码呢？”“如果同时加上或拿走其他相同重量的物体呢？”组织学生分组操作，用简易天平模型进行多种尝试，并记录操作前后的等式。

  4.组织汇报交流：引导学生用语言描述操作过程和等式变化。教师板书学生发现的规律性语句。

  5.进行思维提升提问：“这些操作有什么共同特点？”引导学生聚焦“同时”、“加上或减去”、“同一个数”。进而用数学语言概括：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。教师规范板书性质1。

  学生活动二：动手实验，归纳概括。

  1.观察教师演示，理解天平与等式的对应关系。

  2.针对教师提出的操作进行猜想，并通过亲手操作天平验证猜想。

  3.小组合作，设计不同的“同时加减相同重量”的方案进行操作，并认真记录等式变化情况（如：x

+

20

=

50

x+20=50

x+20=50→两边同时加10→x

+

20

+

10

=

50

+

10

x+20+10=50+10

x+20+10=50+10）。

  4.小组代表汇报发现，尝试用完整的语言描述规律。

  5.在教师引导下，剥离具体数字，抽象出一般性结论。

  设计意图：天平为等式性质提供了无可替代的直观支撑。通过“猜想-操作-验证-记录-表达”的完整探究流程，学生亲历了知识的生成过程。从具体操作到语言描述，再到符号概括，思维层次逐步提升，实现了从感性具体到理性抽象的跨越。小组合作促进了思维碰撞。

  探究活动二：等式性质2（乘除性质）

  教师活动三：设置冲突，深化探究。

  1.创设新情境：课件出示一个平衡的天平，左盘放有3个同样重的苹果（用y

y

y表示每个苹果重），右盘放有600克砝码。写出等式：3

y

=

600

3y=600

3y=600。

  2.提出问题：“如果想只留下一个苹果的重量（即求出y

y

y），利用刚才发现的加减性质能直接办到吗？”引发认知冲突，激发探索新方法的欲望。

  3.引导学生思考天平操作：“如何操作天平，能使左边只剩下一个苹果，而天平依然平衡？”鼓励学生借助学具模拟操作。预设学生可能想到：（1）将苹果平均分成3份，只留一份；（2）换用更轻的砝码去平衡一份苹果。教师抓住“平均分”的操作，引导对应到数学上的“除以3”。

  4.验证与归纳：演示将左右两盘的所有物体都平均分成3份，各取一份，天平依然平衡。引导学生写出变化过程：3

y

=

600

3y=600

3y=600→两边同时除以3→3

y

÷

3

=

600

÷

3

3y÷3=600÷3

3y÷3=600÷3→y

=

200

y=200

y=200。提问：“如果两边同时乘同一个数呢？”举例验证（如从y

=

200

y=200

y=200回到3

y

=

600

3y=600

3y=600）。

  5.关键辨析：提问：“两边同时除以的数，可以是0吗？为什么？”结合天平操作（无法实现“平均分成0份”）和生活实际，明确“除数不能为0”，因此性质中必须强调“同一个不为0的数”。

  6.概括性质2并板书：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。

  学生活动三：冲突中思考，迁移中探究。

  1.面对新问题，尝试用已学的加减性质解决，发现局限，产生探究新方法的内在动力。

  2.小组内利用学具模拟“求一个苹果重量”的操作过程，讨论其数学含义。

  3.观察教师演示或自行操作“平均分”的过程，理解其与“除以一个数”的对应关系。

  4.通过正反例验证，理解“乘”与“除”是互逆操作，并深刻认识到“数不能为0”这一重要限制条件的必要性。

  设计意图：通过设置认知冲突，让学生体会到性质1的局限性，自然驱动对性质2的探索。将“平均分”这一直观操作与“除以一个数”的数学运算建立联系，是突破难点的关键。对“除以0”的辨析，不仅加深了对性质本身的理解，更是培养了数学的严谨性思维。此环节体现了知识的内在生长性。

  (三)建模应用，学习解方程(约20分钟)

  核心任务：将等式性质应用于求解未知数，建立解方程的规范化模型。

  教师活动四：建立联系，示范建模。

  1.回归情境，点明课题：指出像x

+

20

=

50

x+20=50

x+20=50，3

y

=

600

3y=600

3y=600这样含有未知数的等式，叫做方程。求方程中未知数的值的过程，叫做解方程。今天我们就用发现的等式性质作为“工具”来解方程。

  2.示范解方程x

+

20

=

50

x+20=50

x+20=50。

  -第一步：写“解”字。强调这是解方程的开始标志，体现规范性。

  -第二步：分析并应用性质。提问：“方程左边是x

+

20

x+20

x+20，目标是得到x

x

x，需要去掉‘+20’。根据等式性质，怎样才能使左边只剩下x

x

x，同时保证等式仍然成立？”引导学生说出“两边同时减去20”。

  -第三步：规范书写过程。

  解：x+20=50

  x+20-20=50-20（依据：等式两边同时减去同一个数，等式不变）

  x=30

  -第四步：口头检验。将x

=

30

x=30

x=30代入原方程左边：30+20=50，等于右边。所以x

=

30

x=30

x=30是方程的解。

  3.引导学生解方程3

y

=

600

3y=600

3y=600。重点讨论依据是性质2（两边同时除以3），并再次强调检验。

  4.出示稍复杂方程，如2

x

−

5

=

15

2x-5=15

2x−5=15。引导学生分析：第一步应利用性质1消去常数项“-5”（两边同时加5），将方程化为2

x

=

20

2x=20

2x=20；第二步再利用性质2求解。强调“分步转化，化繁为简”的策略。

  学生活动四：跟随思考，实践操练。

  1.理解“方程”、“解方程”的概念，明确本节课的核心应用目标。

  2.仔细观察教师示范，理解每一步的意图、依据和书写规范。

  3.尝试独立或同桌合作解方程3

y

=

600

3y=600

3y=600，并模仿进行检验。

  4.在教师引导下，共同分析2

x

−

5

=

15

2x-5=15

2x−5=15的解法步骤，体会“转化”思想。完成学习单上的基础解方程练习。

  设计意图：此环节实现了从“探究性质”到“应用性质”的华丽转身。通过清晰的步骤示范和思维路径分析，将等式性质这一“武器”具体化为解方程的标准化操作流程。强调“检验”不仅是步骤，更是对解方程过程和结果确定性的确认，是培养理性精神的重要一环。分层示例（简单→稍复杂）为学生搭建了循序渐进的练习阶梯。

  (四)巩固内化，拓展延伸(约8分钟)

  教师活动五：设计分层练习，促进思维深化。

  1.基础巩固（判断与填空）：

  -判断：根据等式性质，判断下列变形是否正确，并说明理由。

  (1)若a

=

b

a=b

a=b，则a

+

5

=

b

+

5

a+5=b+5

a+5=b+5。（正确）

  (2)若a

=

b

a=b

a=b，则a

×

3

=

b

×

2

a×3=b×2

a×3=b×2。（错误，未乘同一个数）

  (3)若a

=

b

a=b

a=b，则a

÷

c

=

b

÷

c

a÷c=b÷c

a÷c=b÷c。（需补充c≠0）

  -填空：如果m

=

n

m=n

m=n，那么

  m

−

(

)

=

n

−

8

m-()=n-8

m−()=n−8；m

×

2.5

=

n

×

(

)

m×2.5=n×()

m×2.5=n×()。

  2.技能应用（解方程）：

  -x

−

3.2

=

5.6

x-3.2=5.6

x−3.2=5.64

x

=

26

4x=26

4x=261.5

x

+

2

=

9.5

1.5x+2=9.5

1.5x+2=9.5（选择一题要求写出检验过程）

  3.思维拓展（解决问题）：

  -出示：“一个正方形的周长是36厘米，它的边长是多少厘米？”引导学生用方程解决（设边长为x

x

x厘米，列方程4

x

=

36

4x=36

4x=36）。对比算术方法（36÷4），体会方程思维的顺向性优势。

  -趣味题：看图（天平图，左边：2个梨和50克砝码，右边：4个桃和20克砝码，天平平衡。已知每个梨重80克）列方程求每个桃的重量。

  学生活动五：独立练习，合作交流。

  1.独立完成基础题，巩固对等式性质本身的理解。

  2.规范书写解方程过程，养成检验习惯。

  3.尝试用方程解决简单实际问题，感受方程的应用价值。小组讨论趣味题的等量关系如何建立。

  设计意图：练习设计遵循由易到难、由概念到应用的原则。判断题旨在辨析概念的关键点；解方程题训练规范操作；解决问题则将新知纳入更广阔的数学应用背景，让学生初步体验用方程建模解决问题的完整过程，感悟代数思维的魅力。拓展题培养了从复杂情境中提取等量关系的能力。

  (五)回顾反思，统整提升(约2分钟)

  教师活动六：引导总结，画龙点睛。

  提问：“今天这节课，我们经历了怎样的学习旅程？你收获了哪些知识？更重要的是，你学到了哪些数学思考的方法？”引导学生从知识（等式性质、解方程）、方法（观察-猜想-验证-应用）、思想（模型思想、转化思想）等多维度进行梳理。

  最后以华罗庚先生的名言“数缺形时少直观，形少数时难入微”作结，强调今天正是借助天平之“形”深入理解了等式之“数”，鼓励学生在未来学习中继续运用数形结合的方法。

  学生活动六：畅谈收获，内化结构。

  回顾学习过程，自由发言分享收获，在教师引导下形成系统的知识网络和方法认知。

  设计意图：通过高屋建瓴的总结，帮助学生将零散的知识点串联成结构化的认知网络，突出数学思想方法的提炼。引用名言将本节课的学习方法提升到一般性高度，实现了情感、态度与价值观的升华。

七、板书设计

  （黑板左侧为探究区，右侧为应用区）

  探秘天平发现性质

  一、等式的性质

  1.性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。

    例：若a

=

b

a=b

a=b，则a

±

c

=

b

±

c

a±c=b±c

a±c=b±c

  2.性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。

    例：若a

=

b

a=b

a=b，则a

×

c

=

b

×

c

a×c=b×c

a×c=b×c，a

÷

c

=

b

÷

c

(

c

≠

0

)

a÷c=b÷c(c≠0)

a÷c=b÷c(c=0)

  活用性质学解方程

  二、解方程x

+

20

=

50

x+20=50

x+20=50

  解：x

+

20

=

50

x+20=50

x+20=50

    x

+

20

−

20

=

50

−

20

x+20-20=50-20

x+20−20=50−20（依据：等式性质1）

    x

=

30

x=30

x=30

  检验：方程左边=30+20=50=右边。所以，x

=

30

x=30

x=30是方程的解。

  关键：等号对齐，步步有据。

八、分层作业设计

  A层（基础巩固，全体必做）：

  1.完成练习册上关于等式性质判断与填空的基础题。

  2.解方程：x

+

8.5

=

15.4

x+8.5=15.4

x+8.5=15.4，y

−

12

=

7.8

y-12=7.8

y−12=7.8，5

m

=

42.5

5m=42.5

5m=42.5，0.6