椭圆几何性质总结

高二数学椭圆几何性质总结

「考试必“背”

1椭圆的两种定义：

①平面内与两定点F1,F2的距离的和等于定长口的点的轨迹，即点集M二｛P|

|PFl|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|)；(口时为线段口，口无轨迹)。其中两定点

F1,F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的

轨迹，即点集M二｛P|口，0VeV1的常数口。(□为抛物线；口为双曲线)

2标准方程：

(1)焦点在x轴上，中心在原点：口(a>b>0)；

焦点F1(—c,0),F2(c.0)o其中口(一个口)

(2)焦点在y轴上，中心在原点：口(a>b>0)；

焦点F1(0,-c),F2(0,c)o其中口

注意：①在两种标准方程中，总有a>b>0,口并且椭圆的焦点总在长轴上；

②两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1(A>0,B>0,A手B),当AV

B时，椭圆的焦点在x轴上，A>B时焦点在y轴上。

3.参数方程：椭圆口□的参数方程

尸箕］(妫参数)

y=Osin9

4.性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：口(a>b>0)有以下性质：

①坐标系下的性质：

②范围：|x|Wa,|y|Wb；

③对称性：对称轴方程为x=0,y=0,对称中心为0(0,0)；

④顶点：A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b),长轴|A1A2|=2a,

短轴|B1B2|=2b；(口半长轴长，口半短轴长)；

⑤准线方程：口；或口

焦半径公式：P(xO,y0)为椭圆上任一点。|PF1|二口=a+exO,|PF2|二口二a-exO；

|PF1|二□二a+eyO,|PF21=D=a-eyO;口

⑥平面几何性质：

⑦离心率：e二口(焦距与长轴长之比)口；口越大越_____,口是______o

⑧焦准距p=匕;准线间距=—

cc

二、焦点三角形

结论一：若口、口是椭圆口的两个焦点，口是椭圆上一点，且口，当

点P位于时□最大，cos□=.

|PF1||PF21的最大值为.□

结论二：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为

结论三：已知椭圆方程为口两焦点分别为口设焦点三角形口，口则椭圆的离心率

□o

结论四：四心的轨迹

(1)、□焦点三角形内心的轨迹及其方程口.

(2)、口焦点三角形重心的轨迹及其方程：

91?9v2

彳+2-=1(。>10)

/b2

(3)、口焦点三角形垂心的轨迹及其方程:

_^a[c-x)

(4)、二■+二■=\(a>b>0)焦点三角形的外心的轨迹及其方程

a~b~

().

三.中点弦问题

是椭圆的一条弦，中点M坐标为，则直线的斜率为。

四.弦长问题.

(1)斜率为□的直线与圆锥曲线相交于两点口，口，则所得的弦长

或.

⑵当直线的斜率不存在时，可求出交点的坐标，直接运算；

⑶经过圆锥曲线的焦点的弦(也称为焦点弦)的长度问题，可利用圆锥曲线的定

义，将其转化为利用，往往比利用弦长公式简单。

五.X轴正半轴到椭圆的最短距离问题：

已知椭圆口，则点(m,0)到椭圆的最短距离为：.

六.过椭圆上点切线问题

若口在椭圆口上，则过口的椭圆的切线方程是□.

习题

1.已知椭圆方程口，椭圆上点M到该椭圆一个焦点的距离是2,N是MF1的中点,

0是椭圆的中心，那么线段0N的长是()

(A)2(B)4(C)8(D)2

2

2.点P是椭圆□上一点，F1,F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1,

当P在第一象限时，P点的纵坐标为.

3.(2009年上海卷埋)已知、是椭圆(>>0)的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的

面积为9,贝卡.

4.(2009北京文)椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则；的大小

为

4.已知椭圆口的左、右焦点分别为口、F2,点P在椭圆上，若P、FKF2是

一个直角三角形的三个顶点，则点P到口轴的距离为()

99779

(A)5(B)3(C)7(D)4

5.椭圆口的焦点口、口，点口为其上的动点，当N口为钝角时，点口横坐标的取

值范围是............o

6.椭圆的中心在原点，焦点在X轴上，离心率J3/2,椭圆上各点到直线I的最短距

离为1,则该椭圆方程是？直线I为x-y+U+L=0

7.设点P(X.y)在椭圆口，(1)试求点P到直线口的距离d的最大值和最小值。(2)

求x+2y的最小值

8.已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点.若，则

(A)1(B)(C)(D)2

9.已知点P是椭圆方程x2/3+y2=1上的动点，M,N是直线L:y=x上的两个动点，且满

足|MN|二七则

（1）存在实数t使AMND为正三角形的点仅有一个

（2）存在实数t使4MNP为正三角形的点仅有两个

（3）存在实数t使4MNP为正三角形的点仅有三个

（4）存在实数t使aMNP为正三角形的点仅有四个

（5）存在实数t使4MND为正三角形的点有无数个

上述命题中正确的序号是.

10.在平面直角坐标系中，点与点A（-1.1）关于原点0对称，P是动点，且直线

AP与BP的斜率之积等于.

（I）求动点P的轨迹方程；

（II）设直线AP和BP分别与直线二3交于点M,N,问：是否存在点P使得4PAB与aPIVIN

的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由（探究（面积））

X2

—+y2=1

11.（2007四川理）设々、-2分别是椭圆4"的左、右焦点.

（I）若口是该椭圆上的一个动点，求口・□的最大值和最小值；

（II）设过定点口的直线口与椭圆交于不同的两点口、口，且N口为锐角（其

中口为

些标原点），求直线口的斜率口的取值范围.（最值、求取值范围）

12.（本小题共14分）

已知椭圆的中心在原点口，焦点在x轴上，点口（口是其左顶点，点口在椭圆上.且

□,□.

（।）求椭圆的方程；

（II）若平行于口的直线口和椭圆交于口两个不同点，求口面积的最大值，并求此时

直线口的方程.（最值）

13.（2009浙江文）（本题满分15分）已知抛物线：上一点到其焦点的距离为.（I）

求与的值；

（II）设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的

垂线交于另一点.若是的切线，求的最小值.

SJS14.（本题满分14分）

已知椭圆口的离心率为口，长轴长为口，直线口交椭圆于不同的两点口，口.

（I）求椭圆的方程；

（II）若口，且口，求口的值（口点为坐标原点）；

（III）若坐标原点口到直线口的距离为口，求口面积的最大值.

FT15.（13分）在直角坐标系口中，点口到F1口、F2口的距离之和是4,点口的轨迹

口与□轴的负半轴交于点口，不过点口的直线□:口与轨迹口交于不同的两点口

和口.

（1）求轨迹0的方程；

（2）当口时，求口与□的关系，并证明直线口过定点.（过定点）

16.（12分）已知点是椭圆上的一点，，是椭圆的两个焦点，且满足.

（I）求椭圆的方程及离心率