2025北京四中初三（上）开学考数学试题及答案

初中2025北京四中初三（上）开学考数学学生须知1．本练习卷共8页，共27道小题，满分110分．练习时间100分钟．2．在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号．3．答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效．一、选择题（每小题2分，共16分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.下列四个前沿的大模型的图标中，是中心对称图形的是（）A.B.C. D.2.在中，，，的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（）A. B.C. D.3.用配方法解一元二次方程，此方程可化为（）A. B.C. D.4.反比例函数的图象，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（）A. B. C. D.5.关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（）A. B.且 C.且 D.6.如图，在四边形中，对角线．且，，点，分别是边，的中点，则的长度是（）A. B.3 C. D.27.如图，四边形是正方形，点分别在的延长线上，且，设．给出下面三个结论：①；②；③上述结论中，所有正确结论的序号是（）A.①② B.②③ C.①③ D.①②③8.关于x的函数图象如图所示，其图象分两部分，一部分在直线（）和直线之间，另一部分在直线的右侧，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.二、填空题（每小题2分，共16分）9.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．10.如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为__________．11.如图，在中，点，分别是，的中点．只需添加一个条件即可证明四边形是矩形，这个条件可以是___________(写出一个即可)．12.据了解，某展览中心2月份的参观人数为14.4万人，4月份的参观人数为16.9万人．设2至4月参观人数的月平均增长率为，则可列方程为_______．13.如图，是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则甲、乙两人成绩较稳定的是______；如果甲又连续射击了5次，且环数均为9环，那么甲的方差变化情况是______（填“变大”“变小”或“不变”）．14.反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为_______．（用“<”连接）15.图1是一种常见的倾斜式停车位．将其中一个停车位抽象成，车辆停放区域的轮廓近似看成矩形，如图2所示．已知，，．现有一辆长，宽的轿车，___________（填“能”或“不能”）完全停入矩形内．（参考数值：，）16.如图，矩形中，，点在上，，点在线段边上运动（不与、重合），线段绕着点顺时针旋转得到，连接．（1）当时，则____________；（2）在运动的过程中，的最小值为__________．三、解答题（共68分）17.计算：（1）（2）18.解方程（1）（2）19.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，．（1）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出的坐标；（2）将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出，并写出的坐标；（3）若可以看作绕某点旋转得到，直接写出旋转中心的坐标．20.已知关于的一元二次方程．（1）求证：无论为何值，该方程总有两个不等实根．（2）当的斜边，且两直角边恰好是这个方程的两个根，求的值．21.已知：如图，在平行四边形中，点O为对角线的中点，过点O作交边、于点E、F，联结、．（1）求证：四边形为菱形；（2）如果四边形为矩形，，，求的长．22.在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．（1）求k，b的值；（2）当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围．23.综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动，【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：12345678910芒果树叶的长宽比3.83.73.53.43.84.03.64.03.64.0荔枝树叶的长宽比2.02.02.02.41.81.91.82.01.31.9【实践探究】分析数据如下：平均数中位数众数方差芒果树叶的长宽比3.74m4.00.0424荔枝树叶的长宽比1.912.0n0.0669【问题解决】（1）上述表格中，________，________；（2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”上面两位同学的说法中，合理的是________（填序号）（3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树?并给出你的理由．24.如图，一次函数的图象分别交轴、轴于两点，点为反比例函数（）图象上一点，过点分别作轴、轴的平行线交直线于点，直线交轴于点．连接，将绕着点逆时针旋转后得到线段．（1）若，，求点的坐标；（2）求点的横坐标；（3）是否存在一个的值，使得无论点位于反比例函数图象上何处时，总有点、、三点在同一直线上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．25.如图，在中，，，点D为边上一点，点E为的中点，连接．将绕点E顺时针旋转90°得到，连接并延长交于点G，过E作交于点H，（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段，之间的数量关系，并证明；（3）若，点M为边中点，连接，直接写出点D在边上运动的过程中，线段长的最小值．四、选做题（共2小题，共10分）26.高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口10分钟通过小客车的数量分别都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口10分钟一共通过的小客车数量记录如下：收费出口编号A，BB，CC，DD，EE，A通过小客车数（辆）130160150180120（1）每10分钟通过的小客车数量比较：A收费出口______C收费出口．（填“多于”、“少于”或“等于”）；（2）在A，B，C，D，E五个收费出口中，每10分钟通过小客车数量最多的收费出口编号是______．27.在平面直角坐标系中，对于点，称点为点A的“k倍差点”．（1）已知点，①点P的“2倍差点”的坐标为__________________；②若对于任意的k，以线段为一条对角线的正方形上都不存在点P的“k倍差点”，求a的取值范围；（2）已知点，点，以线段为对角线作菱形，且，点S是菱形边上的动点，点A是直线上的动点，若对于每一个点S，都存在对应的点A和k的值，使得点S是点A的一个“k倍差点”，请直接写出k的取值范围．

参考答案一、选择题（每小题2分，共16分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．12345678CACABCAA二、填空题（每小题2分，共16分）9.【答案】【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数求解即可．【详解】解：要使在实数范围内有意义，则，即．故答案为：10.【答案】【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．先求出点P的坐标为，再观察图象可得当时，直线位于直线的上方，即可求解．【详解】解：对于，当时，，∴点P的坐标为，观察图象得：当时，直线位于直线的上方，∴不等式的解集为．故答案为：11.【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定．先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定方法添加条件即可．【详解】解：∵，∴，，∵点，分别是，的中点，∴，∴四边形是平行四边形，∴当时，平行四边形是矩形，故答案为：（答案不唯一）．12.【答案】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该展览中心月份的参观人数该展览中心月份的参观人数参观人数的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，此题得解．【详解】解：根据题意得：．故答案为：．13.【答案】①.乙②.变小【分析】根据统计图得出甲和乙的成绩，进而计算方差，比较即可求解．【详解】解：甲的成绩为，平均分为，∴甲的成绩的方差为：乙的成绩为平均分为，∴乙的成绩的方差为：∴则乙的成绩更稳定，如果甲又连续射击了5次，且环数均为9环，则甲的成绩的方差为：那么甲的方差变化情况是变小，故答案为：乙、变小．14.【答案】【分析】本题考查反比例函数图像与性质，由图可知图像在第三象限，；，图像在第四象限，、；再取，如图所示，即可比较，的大小，熟记反比例函数图像与性质，数形结合是解决问题的关键．【详解】解：由图可知，图像在第三象限，；，图像在第四象限，、；取，如图所示：；综上所述，，故答案为：．15.【答案】不能【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形，矩形．根据题意，分别计算矩形的长，宽，与轿车的长，宽相比较即可得到结果．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∵在中，，，，∴，∴，∵，∴，∵现有一辆轿车的长，宽，，∴这辆轿车不能完全停入矩形内．故答案为：不能．16.【答案】①.②.【分析】（1）旋转得到，勾股定理结合锐角三角形函数得到，进而推出，勾股定理求出的长即可；（2）过点作线段，使且，证明，得到，进而得到点在垂直于的直线上，作交于点，则即为的最小值，进行求解即可．【详解】解：（1）线段绕着点顺时针旋转得到，，在矩形中，，∴，∴，，，，即，在中，；故答案为：．（2）过点作线段，使且，，∵，，∴点在垂直于的直线上，如图，作交于点，则即为的最小值，作交于点．则：四边形是矩形，，，∴，在中．，，；故的最小值为．故答案为：．三、解答题（共68分）17.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据二次根式混合运算法则进行解答即可；（2）根据平方差公式、完全平方公式及二次根式混合运算法则进行解答即可．本题考查二次根式的混合运算及平方差公式和完全平方公式的应用，解题关键是掌握二次根式的混合运算法则．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：原式．18.【答案】（1），（2），【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式进而解方程即可；（2）利用公式法解方程得出答案．【小问1详解】解：，则，故，解得：，；【小问2详解】，∵，则，解得：，．19.【答案】（1）图见解析，（2）图见解析，（3）【分析】本题考查了作图-旋转变换、平移．（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点、，再顺次连接即可；（2）利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，再顺次连接即可；（3）作和的垂直平分线，它们的交点P满足条件．【小问1详解】解：如图所示：的坐标为；【小问2详解】解：如图所示，的坐标为；【小问3详解】解：如图，若可以看作绕某点旋转得到，作和的垂直平分线，它们的交点P即为旋转中心的坐标，由图可得．20.【答案】（1）见解析（2）【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．（1）根据即可证明无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于的方程，解出即可得出答案．【小问1详解】解：关于的一元二次方程，，，，无论为何值，，无论为何值，该方程总有两个不等实根；【小问2详解】解：和恰好是方程的两个根，，，是直角三角形，斜边为，，，，化简得，解得或，又时，，不合题意舍去，．21.【答案】（1）见解析（2）【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题关键．（1）由矩形的性质可，进而得出，结合O为对角线的中点得出，即，即可得出四边形是平行四边形，结合即可得出四边形是菱形；（2）根据勾股定理求出，然后根据菱形的性质和勾股定理求出，进而可以解决问题．【小问1详解】证明：∵四边形是矩形，∴，∴，∵O为对角线的中点，∴，∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形；【小问2详解】解：∵四边形为矩形，，，∴，∴，∴，∵四边形是菱形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．22.【答案】（1）（2）【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，当时，则，当时，则，根据当时，两个不等式都成立可得；当，时，和恒成立；当时，则且，再分当时，则，当时，则，两种情况分别解不等式即可得到答案．【小问1详解】解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，∴，解得；【小问2详解】解：由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，当时，则，当时，则，∵当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，∴，且，∴，当，时，和恒成立，故符合题意；当时，则且，当时，则，解不等式得，解不等式，∴；当时，则，解不等式得，解不等式得，此时不符合题意；综上所述，．23.【答案】（1）3.75，2.0（2）②（3）这片树叶更可能来自于荔枝，理由见解析【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；（2）根据方差的定义，方差越小，形状差别越小，根据树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，即可判断荔枝树叶的长宽比；（3）计算该树叶的长宽比即可判断来自哪颗树．【小问1详解】芒果树叶的长宽比中数据从小到大排序处在第5、6位的两个数的平均数为，因此中位数m=3.75；荔枝树叶的长宽比中数据出现次数最多的是2.0，因此众数n=2.0；故答案为：3.75，2.0；【小问2详解】合理的是②，理由如下：从树叶的长宽比的方差来看，芒果树叶的长宽比的方差较小，所以芒果叶形状差别更小；从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，荔枝树叶的长宽比为2，所以荔枝树叶的长约为宽的两倍；故答案为：②；【小问3详解】这片树叶更可能来自荔枝，理由如下：这片树叶长，宽，长宽比大约为2.0，根据平均数这片树叶可能来自荔枝树．24.【答案】（1）；（2）点横坐标为；（3）存在，．【分析】（）根据条件求出点坐标，利用直线解析式求出点坐标即可；（）设点的坐标为，利用一线三直接全等，则有即可．（）设点，则，，由推导出点，三点共线时，点点的纵横坐标之比相等列出关于的等式，化简可得；本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，旋转的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，掌握三点共线时，点的纵横坐标之比相等，都等于正比例函数的常数值是解题的关键．【小问1详解】解：∵，∴反比例函数解析式为，∵，∴点的纵坐标为，把代入得，，∴，∴，∵轴，∴点的横坐标为，把代入得，，∴；【小问2详解】解：设点的坐标为，过点作，垂足为，则，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴点横坐标为；【小问3详解】解：存在一个的值，使得无论点位于反比例函数图象上何处时，总有点三点在同一直上，理由如下：设点的坐标为，则，，由（）可知，点点横坐标为，纵坐标为，∴，∵三点在一条直线上时，点的纵横坐标比值相等，∴，整理得，，∴．25.【答案】（1）见解析（2），证明见解析（3）【分析】本题主要考查了旋转全等三角形模型和等腰直角三角形性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．（1）根据题意补全图形即可，（2）如图所示，过点作于点，连接，．由直角三角形斜边上的中线的性质得到，则，，进而利用三角形外角的性质证明，由旋转的性质得到，证明，得到，再证明，即可证明；（3）延长交于，根据证明；由此得出是等腰顶角的平分线，在上运动，根据点到直线的距离垂线最短可得当时，最小，此时是等腰直角三角形，由此求解.【小问1详解】解：补全图形，如图所示：【小问2详解】，证明如下：如图所示，过点作于点，连接，．∴，在中，点为的中点，∴，∴，∴，在中，点E为的中点，∴，∴，∴，∵，∴，∵绕点E顺时针旋转得到，∴，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴；【小问3详解】延长交于，交于，由（2）得：，∴，∴∵，，，∴，，，∴是等腰顶角的平分线，∴在上运动，当时，最小，此时是等腰直角三角形，∵点M为边中点，∴，∴，综上所述：点D在边上运动的过程中，线段长的最小值为.四、选做题（共2小题，共10分）26.【答案】①.少于②.B【分析】根据表中数据两两相比较即可得到结论．【详解】解：（1）∵同时开放A、B两个出口通过的小客车数量为130辆，同时开放B、C两个出口通过的小客车数量为160辆，∴A收费出口10分钟通过的小客车数量少于C收费出口10分钟通过的小客车数量，故答案为：少于；（2）同（1）可知B收费出口多于D收费出口，C收费出口少于E收费出口，E收费出口少于B收费出口，∴在A，B，C，D，E五个收费出口中，每10分钟通过小客车数量最多的收费出口编号是B，故答案为：B27.【