2025北京首师大附中初三10月月考数学试题及答案

初中2025北京首都师大附中初三10月月考数学一、选择题（共16分，每题2分）1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A.B.C.D.2.在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线的表达式为（）A. B.C. D.3.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.4.下列正多边形中，绕其中心旋转后，能和自身重合的是（）A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正八边形5.如图，C是⊙O上一点，O是圆心，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（）A.35° B.70° C.105° D.150°6.二次函数的图象如图所示，下列结论中错误的是（）A.函数有最大值B.当时，C.D.当时，随的增大而减小7.九州大厦将进价为40元/件的衬衫以60元/件出售时，平均每天能卖出30件，若每降价1元，则每天可多卖出5件，如果降价元，每天盈利800元，那么可列方程为（）A. B.C. D.8.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为是轴上的点，四边形为矩形，．若抛物线与矩形的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是（）A.或 B.C.或 D.二、填空题（共16分，每题2分）9.在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标是______．10.如图，点，，，在上，，，，则________．11.抛物线与轴只有一个交点，则________．12.如图，在中，，，将绕点C按顺时针方向旋转后得到，此时点D在边上，则旋转角的大小为________13.如图，为的直径，弦于点E，已知，，则的半径为________．14.已知二次函数，函数值与自变量的部分对应值如下表：…-1012……0343…当时，的取值范围是___________．15.图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________．16.如图，等边的边长为1，将边，，分别绕点，，逆时针旋转得到线段，连接．对给出下面三个结论：①对任意都有是等边三角形；②存在唯一一点到点的距离相等；③当时，的周长是．上述结论中，所有正确结论的序号是___________．三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）17.解方程：x2+10x+9＝0．18.已知是方程的一个根，求代数式的值．19.关于的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为非负数，求的取值范围．20.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，．（1）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出的坐标；（2）将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出，并写出的坐标；（3）若可以看作绕某点旋转得到，直接写出旋转中心的坐标．21.如图，是的直径，于点，连接交于点．（1）求证：．（2）若，求的长．22.在平面直角坐标系中，函数与函数的图象交于点．（1）求的值；（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围．23.已知乒乓球桌的长度为，某人从球桌边缘正上方高处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度（单位：cm）与水平距离（单位：cm）近似满足函数关系．乒乓球的水平距离与竖直高度的几组数据如表所示．根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式；水平距离04080120160竖直高度1842504218（2）乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由．24.综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分（如图3所示）．（1）若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边___________，___________；（2）如图3，若收纳盒的底面积是，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（要能盖上盖子，且不考虑倾斜放入）25.在平面直角坐标系中，已知是抛物线上两点，且抛物线经过．（1）用含的式子表示；（2）若对于，都有，求的取值范围．26.在中，，点在边上，为射线上一动点，．点关于点的对称点为点，连接为的中点，连接，．（1）如图1，当点与点重合时，直接写出线段与之间的位置关系与数量关系；（2）如图2，当点在线段延长线上时（不与点重合），判断（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例．27.在平面直角坐标系中，对于点和直线给出如下定义：作点关于直线的对称点，再作点关于直线的对称点，则称点为点与直线的成达点．点的坐标为过点过点且与轴平行．点与轴，的成达点为点，点与轴，的成达点为点，（1）若，则___________，___________．（2）若点为第四象限内任意一个点，则（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由：若成立，请仅就图2的情形加以证明．（3）若点为，点在第四象限内，且，请你直接写出线段的长，使得直线与或平行．

参考答案一、选择题（共16分，每题2分）题号12345678答案BABDBCDD二、填空题（共16分，每题2分）9.【答案】解：点（2，3）关于原点对称的点的坐标是（-2，-3），故答案为：（-2，-3）．10.【答案】∵=，∴，∴，∵，∴．故答案为11.【答案】解：令，则依题意，解得：．故答案为：．12.【答案】解：在中，∵，，∴，∵，∴是等腰三角形，∴；即旋转角为，故答案是52．13.【答案】解：如图，连接，为的直径，弦于点E，，，，设的半径为，则，，在中，，，解得：，即的半径为5，故答案为：5．14.【答案】解：在抛物线上关于对称轴对称的两点纵坐标相等，由表格可知，关于对称轴对称，∴对称轴为直线，则关于对称轴的对称点为，由表格知，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，∴当时，的取值范围是或．故答案为：或．15.【答案】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，，设抛物线的解析式为，将代入，得，解得：，∴抛物线的解析式为，将代入得：，解得：，，故答案为：40．16.【答案】解：连接、、，是等边三角形，，，在和中，，，，，同理可得，，，在和中，，，同理可证，，故是等边三角形，故①对；到点的距离相等的点是三边的中垂线的交点，存在唯一一点到点，，的距离相等，故②对；当时，则、、共线，，，如图，过作于点，则，，，，，，故③对，故答案为：①②③．三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）17.【答案】解：方程分解得：（x+1）（x+9）＝0，可得x+1＝0或x+9＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣9．18.【答案】解：=．∵a是方程的根∴．∴．∴原式=6．19.【答案】（1）证明：，，方程总有两个实数根；（2）解：，，或，方程有一个根为非负数，，．20.【答案】（1）解：如图所示：的坐标为；（2）解：如图所示，的坐标为；（3）解：如图，若可以看作绕某点旋转得到，作和的垂直平分线，它们的交点P即为旋转中心的坐标，由图可得．21.【答案】（1）证明：连接，是的直径，，，，，．又，，，，；（2）解：连接，交于点，，是等边三角形，，，且，，在Rt中，，，，，，即，（负值舍去），，，，∴，∴．22.【答案】（1）解：函数与函数的图象交于点，将点代入，解得，将点代入，解得．（2）解：如图所示，把代入，解得，把代入，解得，∵当时，的值大于函数的值，且小于函数的值，∴当时，，解得：．23.【答案】（1），（2）乒乓球再次落下时仍落在球桌上，理由见解析【分析】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质；（1）从表格中发现高度的最大值为50，可知顶点为，可知，再将代入即可求出；（2）乒乓球在桌面的落点就是抛物线与x轴的交点，在中令，即可求出球第一次落在球桌面上的落点，再将代入到求出弹起后满足的关系式，再令，就可求出第二次的落点，然后跟桌面长度比较即可，注意乒乓球是向前运动的，即在坐标系中是向右运动的，所以求出在左侧的落点要舍去.（1）解：乒乓球竖直高度的最大值依题意，，∴与的函数关系式为，把代入函数解析式得：，解得，∴与的函数关系式为.（2）解：乒乓球再次落下时仍落在球桌上，理由如下：令，则，解得或（舍去），∴球第一次落在球桌面上的点为，把代入，得，解得（舍去）或，∴乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，当时，，解得或（舍去），∵，∴乒乓球再次落下时仍落在球桌上．24.【答案】（1）解：由题意得，，．故答案为：20；40；（2）解：设收纳盒高为，根据题意得，，（舍去），收纳盒长、宽、高分别为、、，，玩具机械狗不能放入该收纳盒．25.【答案】（1）解：抛物线经过，，；（2）解：抛物线的对称轴为直线，关于对称轴的对称点为，，，关于对称轴的对称点为，，抛物线的开口向上，又对于，都有，当在对称轴右侧时，则，解得又，．当在对称轴左侧时，，∴综上所述：或．26.【答案】（1）解：．理由如下：由题意知三点重合，，，，，，∴为线段的中点，∵是中点，∴是的中位线，，，．（2）解：，的关系仍成立．证明：连接，延长到点．使得，连接．，．，是等边三角形，．为的中点，．，，．．．．设，．，．．关于点对称，．．．，．．∴是等边三角形．为的中点，．在中，，，即．27.【答案】（1）解：过点作轴交轴于点，作点关于轴的对称点，再作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，设交轴于点，交于点，如图所示：，在同一直线上，过点，，，，，，，，，，，作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，，都在直线上，，，，故答案为：，；（2）解：仍然成立，理由如下：过点作轴交轴于点，作点关于轴的对称点，再作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，设交轴于点，交于点，如图所示：，在同一直线上，由（1）可知，，设，作点关于轴的对称点，作点关于直线