2025北京十一学校初三10月月考数学试题及答案

初中2025北京十一学校初三10月月考数学试卷满分：100分时间：120分钟一、选择题（共16分，每小题2分）第1-8题均有4个选项，符合题意的选项只有一个．1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.二次函数的顶点坐标是（）A. B. C. D.3.如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是（）A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形4.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，5.反比例函数（k为正整数）在第一象限的图象如图所示，已知图中点A的坐标为，则k的值是（）A.1 B.2 C.3 D.46.如图，点A、B、C为上三点，，，弧的长是（）A. B. C. D.7.壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感，如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区，已知种植区的深度为，圆形框架的半径为，则弦的长为（）A. B. C. D.8.已知，点满足，作射线，使得，作于点，则长的最大值是（）A.3 B. C. D.二、填空题（共16分，每小题2分）9.请写出一个函数表达式，使其当时，随增大而减小：________．10.如果一元二次方程有两个不等实根，则实数的取值范围是_____．11.反比例函数的图象如图所示，点是该函数图象上一点，垂直于轴，垂足是点，如果，则的值为______．12.若点和在反比例函数图象上，则________（填“>”“<”或“=”）．13.如图，，是圆的切线，切点分别为，，连接，．如果，那么的度数为_____．14.如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为_______．15.已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示：…012……116…则当时，的取值范围是________．16.某社区服务点有甲、乙、丙、丁四名志愿者，某一天每人可参与服务时间段如下表所示：志愿者可参与服务时间段1可参与服务时间段2甲乙丙丁已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的服务，任意时刻社区服务点同时最多需要2名志愿者服务，则该服务点这一天所有参与服务的志愿者的累计值守时间最短为________小时，最长为________小时（假设志愿者只要参与服务，就一定把相应时间段全部值完）三、解答题（共68分，17题6分，18题4分，19题5分，20~23题每题5分，24、25题每题6分，26~28题每题7分）17.解方程：（1）；（2）．18.已知是方程的一个根，求代数式的值．19.在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知劣弧，C是弦上一点．（1）根据提示完成尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)；①作线段的垂直平分线，分别交劣弧于点D，垂足为E；②以点D为圆心，长为半径作弧，交劣弧于点F(F，A两点不重合)，连接．（2）引理的结论为：．证明：连接，，，．∴为的垂直平分线，∴，∴．又∵四边形为圆的内接四边形∴______．（）．又∵，∴．又∵，∴__________，∴，（）．∴，∴．20.已知关于x的一元二次方程（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个根都是正整数，求m的最小值.21.如图，在等边中，在边上，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．（1）依题意补全图形；（2）求证：；（3）若，，直接写出的周长：________．22.在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．23.在坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交点为．（1）求反比例函数的解析式；（2）当时，对于的每一个值，正比例函数的值都小于反比例函数的值，且大于的值，直接写出的取值范围．24.如图，是的直径，弦垂足为，半径上有两点和，，射线，射线分别交于点、，连接交于点，过点作的平行线．（1）证明：直线是的切线；（2）当时，若，，求的长．25.小静根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小静的探究过程，请补充完整：（1）函数的自变量的取值范围是________；（2）下表是与的几组对应值．…0134……141…表中的________；（3）如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象，并写出一个该函数图象的性质________；（4）结合函数图象，点和点在函数的图象上，且成立，则的取值范围是________．26.在平面直角坐标系中，已知抛物线：过原点．（1）求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）；（2）将抛物线向右平移3个单位，得到抛物线，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点．①若，，则抛物线的解析式为________；的面积为________；②已知在点从点运动到点的过程中，至少存在两个不同位置的使得的面积相同，求的取值范围．27.在中，，，是内一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．（1）如图1，当点与点重合时，求证：；（2）如图2，当点在外部时，与交于点，取中点，连接、，直接写出的大小，并证明．28.在平面直角坐标系中，对于点和点给出如下规定：如果将点沿直线翻折后得到点，再将点沿直线翻折后得到点，点就是点关于点的“相关点”．（1）点关于点的“相关点”为________；关于点的“相关点”为________．（2）如果点，点满足，①在点，，中，是点关于点的“相关点”的是________；②点关于点的“相关点”与点的距离最小值为________．（3）如图，的半径和等边的边长均为1（与轴平行），点，点和点都在上，如果在的边上存在点关于点的“相关点”，直接写出的取值范围：________．

参考答案一、选择题（共16分，每小题2分）第1-8题均有4个选项，符合题意的选项只有一个．12345678DBCBAADC二、填空题（共16分，每小题2分）9.【答案】解：∵当时，y随x的增大而减小，∴该函数的解析式可以是．故答案为：（答案不唯一）．10.【答案】试题分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac意义，由题意得△＞0，可得关于a的不等式22-4a＞0，解不等式可得答案．试题解析：∵方程x2+2x+a=0有两个不等实根，∴△=22-4a＞0，解得：a＜1，考点：根的判别式．11.【答案】解：根据题意得，则，而，所以．故答案为：．12.【答案】解：∵反比例函数中，，∴该函数图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，∵点和都在第一象限，且，∴．故答案为：13.【答案】解：∵，是圆的切线，切点分别为，，∴，，∴，，∴，故答案为：．14.【答案】解：根据抛物线和直线的交点坐标及解析式得，方程的解为，故答案为：．15.【答案】解：设，将点代入得：，解得，∴，∴抛物线的顶点为，开口向上，当时，；当时，，∴当时，．故答案为．16.【答案】解：时间最短，即每人只参加一次值守，且选择时间最短的时间段，且同一时间值守的人不能超过两个，甲：均可，乙：，丙：，丁：，观察时间段，发现没有同一时间值守超过两个人的情况，符合题意，最短时间；时间最长，即每人尽量都参加两次值守，且同一时间值守的人不能超过两个，查看表格，时间段1，，同时有三个人值守，不符合题意，去掉时间段最短的乙，，时间段2，，同时有三个人值守，不符合题意，去掉时间段最短的丁，，最长时间=所有时间之和．故答案为：5，14．三、解答题（共68分，17题6分，18题4分，19题5分，20~23题每题5分，24、25题每题6分，26~28题每题7分）17.【答案】（1）解：，移项，得，因式分解，得，∴，，解得，．（2）解：，移项，得，∵，，，，∴方程有两个不相等的实数根，，∴，．18.【答案】解：∵是方程的一个根，∴，即，∴．故答案为：1．19.【答案】（1）①根据基本作图的基本步骤画图如下：则即为所求．②根据题意，画图如下：．则即为所求．（2）证明：连接，，，．∴为的垂直平分线，∴，∴．又∵四边形为圆的内接四边形∴．（圆的内接四边形，对角互补）．又∵，∴．又∵，∴，∴，（同圆或等圆中，等弧所对圆周角相等）．∴，∴．20.【答案】（1）证明：∵，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵，∴，，∵方程的两个根都是正数，∴且，解得，∵方程的两个根都是正整数，∴和都是正整数，∴的最小值为．21.【答案】（1）解：补全图形如图所示．（2）证明：∵是等边三角形，∴，，∵将绕点B顺时针旋转得到，∴，，∴，∴，即．∵在和中，，∴，∴．（3）解：∵，，∴，∵，，∴是等边三角形，∴，∴，即的周长是．故答案为：．22.【答案】解：设金色纸边的宽为x分米，根据题意，得(2x＋6）(2x＋8)＝80.解得：x1＝1，x2＝－8（不合题意，舍去）．答：金色纸边的宽为1分米23.【答案】（1）解：将点代入一次函数得，解得：，∴，∴，解得：，∴反比例函数的解析式．（2）解：如图：当时，随x的增大而减小，随x的增大而减小，当时，，；当时，，；∵当时，对于的每一个值，正比例函数的值都小于反比例函数的值，且大于的值，∴当时，；当时，；∴．24.【答案】（1）证明：连接，设与交于点K，∵，∴是的垂直平分线，∴，∴．∵，，∴，∴．∵，∴，即．∵，∴，∴∵是的半径，∴直线l是的切线；（2）解：连接，∵，∴，即．∵，∴．∵，∴，即是等边三角形，∴，∴．∵，∴，由（1）有，且是半径，∴，∵在中，，∴，∵在中，，∴，∵，∴，∴．25.【答案】（1）解：∵函数的自变量x应满足，即，∴函数的自变量的取值范围是．故答案为：；（2）解：当时，，即．故答案为：4；（3）解：如图所示，由图象可得，函数图象关于直线对称（答案不唯一，正确即可）；（4）解：由图象可得，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．图象上的点离对称轴越近，相应的函数值越大．∴①若点和点都在函数图象的左半支上，要使，则，该不等式组无解；②若点和点都在函数图象的右半支上，要使，则，解得；③若点在函数图象的左半支上，点在函数图象的右半支上，要使，则，解得；③若点在函数图象的右半支上，点在函数图象的左半支上，要使，则，该不等式组无解；综上所述，的取值范围是或．26.【答案】（1）解：∵抛物线：过原点，∴，∴抛物线G的解析式为，∴顶点坐标为（2）解：①当时，抛物线解析式为，∵抛物线向右平移3个单位，得到抛物线，∴抛物线解析式为，即．当时，点P的坐标为，∵过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点，把代入抛物线，得，把代入抛物线，得，∴，，∴，，∴．故答案为：；3．②∵将抛物线向右平移3个单位，得到抛物线，∴抛物线的解析式为，即．∵过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点，∴，，当时，．∵点从点O运动到点，∴，，∴．当，即时，，其对称轴为，在时，不可能存在两个不同位置的使得的面积相同，当，即时，，其对称轴为，要使存在两个不同位置的使得的面积相同，则点需在对称轴的右边，即．∴的取值范围为．当时，点在x轴的负半轴，∵点从点O运动到点，∴点P也在x轴的负半轴，∵抛物线向右平移3个单位，得到抛物线，∴由图象可得，在y轴的左侧，抛物线G在抛物线的上方，∴∴当给定a的值时，随着t的减小而增大，即当点P向点A运动中，逐渐增大，也逐渐增大，由，可得的面积逐渐增大，∴不存在两个不同位置的使得的面积相同．综上所述，的取值范围为．27.【答案】（1）证明：由题意可知，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴．（2）解：的大小为．证明如下：如图，延长至点G，使得，连接、，．∵是中点，∴．∵，∴．∴，．∴．∴，∵，，∴在四边形中，．∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∵．∴．∴．28.【答案】（1）解：根据定义，得点与点关于点对称，设点关于点的“相关点”为M，根据原点对称意义，得；设关于点的“相关点”为N，且，根据题意，得，解得，故，故答案为：；．（2）解：①设点关于点的“相关点”为，根据点满足，得到，根据题意，得，解得，故，令，解得，故点关于点的“相关点”都在直线上，当时，，在直线上，故点是点关于点的“相关点”；当时，，故在直线上，故点是点关于点的“相关点”；当时，，故不在直线上，故点不是点关于点的“相关点”；故答案为：，．②解：由，，故，由，故，故点关于点的“相关点”与点的距离最小值为，故答案为：．（3