2025北京清华附中初三10月月考数学试题及答案

初中2025北京清华附中初三10月月考数学一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.敦煌莫高窟是世界优秀文化遗产．下列是莫高窟壁画中的部分图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.抛物线的函数表达式为，若将抛物线先向上平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，则平移后该抛物线的函数表达式为（）A. B.C. D.3.已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.4.二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（）A. B. C. D.5.如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则度数是（）A. B. C. D.6.如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为，则的度数为（）A. B. C. D.7.已知一元二次方程的两个实数解分别为，则的值为（）A. B. C. D.8.如图，为直径，点为上方半圆上的一个动点（不与重合），连接，过点作交于．取弧的中点，连接，交于点，连接，则下列说法正确的有（）①；②当为线段的中点时，；③若点为弧的中点，；④连接，当点为弧的中点时，的面积取到最大值．A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④二、填空题（本题共24分，每小题3分）9.在平面直角坐标系中，点和关于原点对称，则_______________．10.已知反比例函数的图象在第二、四象限，请写出一个符合题意的值是_____．11.已知是一元二次方程的一个根，则另一个根是_____．12.如图是一块扇面宣传展板示意图，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）．13.若二次函数的部分图像如图所示，对称轴为直线，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解____________．14.如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转后得到，则凹五边形（阴影部分）的面积为____________．15.如图，在菱形中，，对角线相交于点，点是对角线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针方向旋转，得到中，连接，则的最小值是____________．16.某校为校庆做筹备工作，共有十项工序，筹备过程需满足以下要求：（1）只能在两项工序均完成后才能开始；（2）只能在两项工序均完成后才能开始；（3）只能在两项工序均完成后才能开始；（4）其余每项工序相互独立，无先后依赖关系；（5）一项工序只能由一名员工负责，该工序完成后员工才能接手其他工序．各项工序所需时间如表所示：工序所需时间（天）2018191514116543在不考虑其他因素的前提下，若由若干名员工合作完成筹备工作，则至少需要___________天才能全部完成；若要在最短时间内合作完成筹备工作，则最少需要_______________名员工共同参与．三、解答题（本题共72分，其中17、18、19、20、21、22题每小题5分，23、24题每小题6分，25、26题每小题7分，27、28题每小题8分）17.解方程：．18.解不等式组：．19.如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为．（1）画出关于原点成中心对称的；（2）若点在第二象限，且以点为顶点的四边形是平行四边形，则的坐标为___________________．20.二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：……01…………33……根据以上列表，回答下列问题：（1）直接写出的值；（2）求此二次函数的解析式．21.关于x的方程．（1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根；（2）若该方程有两个实数根，且，求m的值．22.一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”、“好”、“数”、“学”四个字，卡片除文字外都相同、并将四张卡片充分搅匀．（1）从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到写有“数”的卡片概率是____________；（2）一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张写有“数”、1张写有“学”的概率．23.造纸术、印刷术、指南针和火药是中图古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长，宽的展板上展出介绍四大发明的海报，每辐海报面积均为．若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为的彩色纸带，求彩色纸带的宽度．24.如图所示，为上的三点，，延长交于点，过点作的切线交射线于．（1）求证：；（2）连接，若，求半径和的长．25.喜欢物理的小颖用如图1所示电路研究导体中的电流与电阻的关系，电源电压恒为，调节滑动变阻器的滑片可改变电阻的阻值．（），同时电流大小会随之改变．已知串联电路中，电流与电阻及之间关系为，滑动变阻器消耗的功率与电流及它自身电阻之间关系为，其中，通过实验和计算小颖得到了如下数据：0510203040501.21.00.80.60.40.30.240.202.03.23.62.72.3042.0（1）补全表格中的信息：_________________，___________________．（2）结合表格信息，在图2中画出关于的函数图象，并写出其解析式：_________________．（3）小颖通过计算得到关于的函数解析式为，并借助计算机得到其函数图象如图3所示，由此她认为有最大值，为了证明这个结论，她查阅资料自学均值不等式的知识：“对于任意的两个正数，都有，当且仅当时等号成立”，请你补全下方小颖的证明过程：首先∵时∴只需考虑的情况，此时，又∵__________________，∴__________________，当且仅当_____________时等号成立．26.已知抛物线经过点，点在抛物线上，横坐标为，点与点不重合．（1）求此抛物线的解析式；（2）将抛物线上两点之间的部分（包括端点）记作图象，过点作轴的垂线，若图象的最高点与最低点分别在直线的上方和下方，求的取值范围．27.如图，在锐角中，，，将射线绕点顺时针旋转得到射线，点为射线上一点，过点作交射线于点，过点作交射线于点，取中点，连接．（1）求证：；（2）当时，用等式表示线段的数量关系，并证明．28.在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在点，使得是直角三角形且，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（1）如图，的半径为2．①在点中，点_____________是的关联点且其与的关联角度大于，该点与的关联角度为_________________°；②点在第一象限，若对于任意长度小于1的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为________________；（2）已知点，的半径为4，若线段上所有的点都是的关联点，且这些点与的关联角度都小于等于，直接写出的取值范围．

参考答案一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．题号12345678答案DDBDAAAA二、填空题（本题共24分，每小题3分）9.【答案】【分析】本题主要考查了关于原点对称的两个点的横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数．根据关于原点对称的点的坐标特点确定m的值即可．【详解】解：∵点和关于原点对称，∴，故答案为：．10.【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查了反比例函数的图象性质．对于反比例函数，（1）当时，反比例函数图象在一、三象限；（2）当时，反比例函数图象在第二、四象限内．根据反比例函数的图象在第二、四象限，列出不等式，求得m的取值范围，然后在m的取值范围内任取一个m值．【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，∴，∴，∴m可以取，故答案为：（答案不唯一）．11.【答案】5【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据是一元二次方程的两个实数根，得出，据此列式，代入数值，进行计算，即可作答．【详解】解：设该方程的另一个根为，∵是一元二次方程的一个根，∴，∴，故答案为：5．12.【答案】【分析】本题主要考查了扇形的面积计算，根据列式求解即可．【详解】解：由题意得，，故答案为：．13.【答案】【分析】本题考查了根据二次函数的图像确定相应方程的根，二次函数图像上点的纵坐标相等时，横坐标关于对称轴对称是解题关键.根据二次函数图像上点的纵坐标相等时，横坐标关于对称轴对称，可得答案.【详解】解：二次函数的部分图像如图所示，对称轴为直线，关于的一元二次方程的一个解.∵与关于对称，,即，∴.故答案为：.14.【答案】【分析】题目主要考查旋转的性质及含30度角的直角三角形的性质，结合图形，熟练掌握旋转的性质是解题关键．过A作于D，如图：根据旋转的性质得出，，利用含30度角的直角三角形的性质得出，结合图形得出即可求解．【详解】解：过A作于D，如图：在中，，将绕点逆时针方向旋转30°后得到，∴∴∴是等腰三角形，∵∴∴又∵，且∴故答案为：.15.【答案】【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据菱形的性质推出是等边三角形，得到，，继而得到，连接，证明，得，得到点在射线上，当时，有最小值，最小值为，即可得到答案．【详解】解：如图，连接，菱形，，，，，是等边三角形，，，，，绕点按逆时针方向旋转，得到，，，，，，，点在射线上，∴当时，有最小值，最小值为，的最小值是，故答案为：．16.【答案】①.25②.5【分析】本题可通过分析各工序的先后依赖关系，理安排工序，分别计算出单独完成和合作完成时的最短时间与最少员工数．工序A(20天)、B(18天)可并行这部分最长时间由A决定，为20天，之后H(5天)才能开始．工序C(19天)、D(15天)可并行最长时间由C决定，为19天，之后J(3天)才能开始．工序E(14天)、G(6天)可并行最长时间由E决定，为14天，之后I(4天)才能开始．工序F(11天)可单独进行．然后，计算各部分的时间即可得出答案．把各工序的时间相加然后除以最短的天数即可得出答案。【详解】解：A、B并行后H所需时间∶(天)．C、D并行后J所需时间∶(天)．E、G并行后I时间∶(天)F单独所需时间∶11天．取各部分时间的最大值，即25天，所以单独完成最少需要25天．（人）因为员工为整数，所以人数取5，所以，最少需5名员工共同参与．故答案为：25；5三、解答题（本题共72分，其中17、18、19、20、21、22题每小题5分，23、24题每小题6分，25、26题每小题7分，27、28题每小题8分）17.【答案】解：∵，，，∴，∴，∴，．18.【答案】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为：．19.【答案】【小问1详解】解：如图，即为所求：【小问2详解】解：①四边形是平行四边形时，，．根据平移的性质把向左移3个单位，再向上移1个单位，就可得到．因此将向左移3个单位，再向上移1个单位，即可得到，在第二象限，符合题意，②四边形是平行四边形时，，，根据平移的性质把向左移2个单位，再向上移3个单位，就可得到．因此将向左移2个单位，再向上移3个单位，就可得到，在第二象限，符合题意，③四边形是平行四边形时，，．根据平移的性质把

向右移2个单位，再向下移3个单位，就可得到．因此将向右移2个单位，再向下移3个单位，即可得到，此时在x轴上，不符合题意，舍去．综上，满足条件的D点的坐标为．故答案为：．20.【答案】【小问1详解】解：由表格可知，当和当时的函数值相同，∴对称轴为直线，∴当时的函数值与时的函数值相同，∴；∵当时，，∴；【小问2详解】解：由题意得，，∴，∴抛物线解析式为．21.【答案】【小问1详解】证明：，∴，∴不论取何值，方程总有两个实数根；【小问2详解】解：∵，∴，∵∴，∴，∴，解得：．∴m的值为1或3．22.【答案】【小问1详解】解：盒子里装有四张卡片，从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“数”的概率是，故答案为：．【小问2详解】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“数”，1张为“学”的结果有2种，∴抽取的卡片恰好1张为“数”、1张为“学”的概率为：．23.【答案】解：设彩色纸带的宽为，根据题意，得，解方程，得，（不合题意，舍去)．答：彩色纸带的宽为．24.【答案】【小问1详解】证明：连接、，，，，，∵是的切线，∴，．∵，，，，，，即；【小问2详解】解：连接，如图，是的直径，，∵，∴，∵由（1）得，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴半径为．25.【答案】【小问1详解】解：∵，∴，；∴；故答案为：2，3.2；【小问2详解】描点，连线，画出函数图象如图：由题意，可知：；【小问3详解】首先∵时∴只需考虑的情况，此时，又∵，∴，当且仅当，即时等号成立．故答案为：40，3.6，1026.【答案】【小问1详解】解：∵抛物线经过点，∴，解得，∴抛物线的解析式为；【小问2详解】∵抛物线，∴抛物线的对称轴为直线，顶点为①当时，如图，图象的最高点为点，最低点为点，∵图象的最高点与最低点分别在直线的上方和下方，其中直线的方程为，∴，解得，∴；②当时，如图，图象的最高点为点，最低点为点，∵图象的最高点与最低点分别在直线的上方和下方，其中直线的方程为，∴，解得，∴；③当时，如图，图象的最高点为最低点为抛物线的顶点∵图象的最高点与最低点分别在直线的上方和下方，其中直线的方程为，∴，∴，∴；④当时，，如图，图象的最高点为最低点为抛物线的顶点∵图象的最高点与最低点分别在直线的上方和下方，其中直线的方程为，