2025北京清华附中初三（上）统练九数学试题及答案

初中2025北京清华附中初三（上）统练九数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.用配方法解方程，下列配方正确的是（）A. B. C. D.3.已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.4.不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（）A. B. C. D.5.如图，点，，在中，若，则的度数是（）A. B. C. D.6.已知的三边长为1，，2，在下列给定条件中，与不一定相似的是（）A.，， B.，C.，， D.，，7.在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致为（）A. B. C. D.8.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：）与旋钮的旋转角度（单位：度）近似满足函数关系．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A. B. C. D.二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.已知a是方程的一个实数根，则的值为__________．10.如图，在平面直角坐标系中，点．将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为___________．11.一个圆锥的侧面积是，母线长是，底面半径是_____．12.如图，在矩形中，点E在上，于点F，于点G．若，，，则的长为____________________．13.如图所示，将球放在顶部，让它们从顶部沿轨道落下，每一个小球在交点处有一半的可能向左滑落，有一半的可能向右滑落．球落到底部最中间的概率是___________．14.已知实数、满足，则的最大值为___________．15.如图，已知的三个顶点均在小正方形的方格顶点上，那么的值是____．16.如图，在中，，是内的一个动点，满足．若，，则长的最小值为_______．三、解答题（本题共68分，第17、19-21题，每题5分，第18、22、23、24题6分，第25、26题每题7分，第27题10分）17.计算：．18.解方程：（1）．（2）．19.如图，在中，点在边上，，，，求的长．

20.已知二次函数．（1）将配方得______；（2）在坐标系中利用描点法画出此拋物线；…………（3）当______时，；（4）当时，函数的取值范围为，则的值为______．21.将背面完全相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．（1）小明从四张卡片中随机抽取一张，抽到卡片上的数字是偶数的概率为___________；（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，卡片上的数字记为，再从剩下的卡片中随机抽取一张，卡片上的数字记为．请用列表或画树状图的方法求关于的一元二次方程有实根的概率．22.在平面直角坐标系中，点在函数的图象上．（1）求的值；（2）当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围．23.如图，为的直径，点，在上，平分，连接．（1）求证：；（2）过点作的切线，分别交，的延长线于点，，连接，交于点．若，求的长．24.如图，在等边中，，点是的中点，点是边上一个动点，连接，．设，两点间的距离为，．小明根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了与的几组对应值：00.511.522.533.544.5554.64.34.14.24.65.15.66.26.8的值为（保留一位小数）；（2）在平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题（保留一位小数）：①当时，两点间的距离约为；②当时，两点间的距离约为．25.在平面坐标系中，点在抛物线上，其中．（1）当，时．求抛物线的对称轴；（2）已知当时，总有．①求证：；②点，在该抛物线上，是否存在a，b，使得当时，都有？若存在，求出与之间的数量关系；若不存在，说明理由．26.如图，在△ABC中，，，延长CB，并将射线CB绕点C逆时针旋转90°得到射线l，D为射线l上一动点，点E在线段CB的延长线上，且，连接DE，过点A作于M．（1）依题意补全图1，并用等式表示线段DM与ME之间的数量关系，并证明；（2）取BE的中点N，连接AN，添加一个条件：CD的长为_______，使得成立，并证明．

参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．题号12345678答案CCBDBDCB二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.【答案】解：∵是方程的一个实数根，∴，即．则．故答案为：2025．10.【答案】解：∵点，∴，过点作轴于点D，则由旋转得，，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．11.【答案】解：已知圆锥的侧面积，母线长，∵，∴，解得：，故底面半径为，故答案为：．12.【答案】解：，，，，四边形为矩形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．故答案为：．13.【答案】解：画出每一个交点处的概率，如图所示：球落到底部的从左至右的概率依次是：，，，，，则球落到底部最中间的概率是，故答案为：．14.【答案】解：由，整理得．代入，得，这是一个二次函数，开口向下，最大值在顶点处．顶点横坐标，将代入得．故答案为．15.【答案】解：如下图所示，过点作，在中，，，，当以为的底边时，对应的高为，，，解得：，．故答案为：

．16.【答案】解：如图所示，取AC中点O，∵，即，∴∠ADC=90°，∴点D在以O为圆心，以AC为直径的圆上，作△ADC外接圆，连接BO，交圆O于，则长的最小值即为，∵，，∠ACB=90°，∴，∴，∴，∴，故答案为：2．三、解答题（本题共68分，第17、19-21题，每题5分，第18、22、23、24题6分，第25、26题每题7分，第27题10分）17.【答案】解：原式．18.【答案】（1）解：移项得，配方得，即，开方得，解得，；（2）解：，因式分解得，则或，解得，．19.【答案】解：，，，，即，解得：．20.【答案】（1）解：，故答案为：；（2）解：列表：…0……41014…描点，连线，如图：（3）解：由图象知：抛物线开口方向向上，对称轴为直线，顶点在轴上，所以，当时，，故答案为：；（4）解：当时，，解得，，∵，∴，∴，故答案为：2．21.【答案】（1）解：（2）树状图为：∵有实数根的概率∴∴共有12种等可能结果，其中满足方程有实数根的结果有6种，（方程有实数根）．22.【答案】（1）解：将点代入，得，；（2）解：如图，当时，，把代入，求得，当时，，把代入，求得，∵当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，∴的最小值为的取值范围是．23.【答案】（1）证明：为上的点，，平分，，，∴；（2）解：如图，与相切于点，∴，，∵，，，，，∴在中，，，设的半径为，则，解得，∴，，∴，，，∵，∴，．24.【答案】（1）解：当时，如图：，则，为的中点，是等边三角形，，，点是的中点，是的中位线，，，；（2）解：画出图象如图所示：；（3）解：①由图象可得：当时，两点间的距离约为或；②如图：当时，两点间的距离约为．25.【答案】（1）解：由题意可知，点在抛物线上，，，，抛物线的对称轴为直线；（2）解：①方法一：令，则，解得：或，抛物线与轴交于点，，，抛物线开口向上，（i）当时，，当时，；当或时，，当时，总有，，，，（ii）当时，，当时，；当或时，，当时，，不符合题意，综上，，方法二：由题意可知，．若，则．，．，．当时，．当时，总有．．，，②存在，设抛物线的对称轴为，则，，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，，，，（i）当时，，，符合题意，（ii）当时，当时，，，当时，设点关于抛物线对称轴的对称点为点，则，，，，，，，，，，当时，符合题意，（iii）当时，令，，则，不符合题意，（iv）当时，令，则，，不符合题意，（v）当时，，，不符合题意，当，即时，符合题意，，，由（1）可得，．26.【答案】（1）补全图形如下图，DM与ME之间的数量关系为DM=ME．证明：连接AE，AD，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠ABE=180°-∠ABC=135°．∵由旋转，∠BCD=90°，∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=135°．∴∠ABE=∠ACD．∵AB=AC，BE=CD，∴△ABE≌△ACD．∴AE=AD．∵AM⊥DE于M，∴DM=EM．（2）证明：连接AD，AE，BM．∵AB=AC=1，∠BAC=90°，∴．∵，∴．∵由（1）得DM=EM，∴BM是△CDE的中位线．∴，BM∥CD．∴