中考数学专题复习：八类最值问题汇 总（解析版）-模块一

202【题型2】直角的对边是直径 208【题型3】对角互补得圆 213【题型4】定弦定角得圆 219【题型5】四点共圆 224【题型6】相切时取到最值 226【题型7】定角定高面积最小、周长最小问题 230【题型8】米勒角（最大张角）模型 235 240 240 250【题型2】构造二次函数模型求最值 255【题型3】几何构造求最值 262一、单动点问题AA ·l ·l●PlABBAPBllAPBllABPB'APAPBlBlAPABABPB'lPBA二、双动点问题（作两次对称）【问题5】在直线l1，l2上分别求点M，N，使△PMN周长NPNPMNPMP'【问题6】P，Q为定点，在直线l1，l2上分别求点M，N，使四边形PQMN周长最小Q'NNQPMNQPMP'【问题7】A，B分别为l1，l2上的定点，M，N分别为l1，l2上的动点，求AN＋MN＋BM最小值问题解决：分别作A，B关于l1，l2的对称点A'，B'，则AN＝A'N，BM＝B'M，A'B'即所求NBNBMANMABB'A'三、动线段问题（造桥选址）AMNBmnAAMNB'mnB【问题9】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN原理：通过平移构造平行四边BB'MN→BN＝B'M＝B''M，AM＋MN＋BN＝AM＋MN＋B''MABABlMNAlMB'NB四、垂线段最短P'BPAP'BPAPBA五、相对运动，平移型将军饮马llMNAAAlMA'NM'M'AMNl过点A作MN的平行线，相对MN，点A在该平行线上运动，则可转化为普通饮马问题六、瓜豆轨迹，手拉手藏轨迹【问题12】如图，点P在直线BC上运动，将点P绕定点A逆时针旋转90o，得到点Q，求Q点轨迹？QQBPABCA七、化斜为直，斜大于直【问题13】已知：AD是Rt△ABC斜边上的高ADBCACB·ACB·DBCA八、构造二次函数求最值这类问题一般无法通过纯几何方法来解决或几何方法比较复杂，需要通过面积法或者构造全等、相似建立等量关系，将待求的线段或图形的面积用含有自变量的式子来表示，一般是一个二次函数或【问题14】正方形ABCD的边长为6，点Q在边CD上，且CD=3CQ，P是边BC上一动点，连接PQ，过点P作EP⊥PQ交AB边于点E，设BP的长为x，则线段BE长度的最大值为.问题解决：根据题意，作出图形，根据两个三角形比得到BE利用二次函数求最值方法求解即可得到答案【详解】易知:△PCQ∞△EBP，丫-<0，:BE在x=3时有最大值，最大值为底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁【答案】13此时壁虎正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，D2+BD2＝13（cm【答案】C【分析】过点C作C关于OB的对称点C′日拱一卒,功不唐捐【巩固练习1】如图，点A，B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5已知CD=4，P是直线MN上的一个动点，记PA+PB的最小值为a，PA-PB的最大值为b，则【答案】A日拱一卒,功不唐捐点P,，此时P,A-P,B=AB，由三角形三边关系可知AB>PA-PB，故当点P运动到P,时PA-PB最大，过点B作BE丄AC由勾股定理求出AB的长就是PA-PB的最大值，代入计算即可得．为所求点，过点A,作直线AE丄BD，在Rt△A,EB中，根据勾股定理得，∵P,A-P,B=AB，AB>PA-PB，2-b2=(/185)2-52=160【巩固练习2】如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点E在直线AD上，从点A出发向右运动，速度为每秒0.5cm，点F在直线BC上，从点B出发向右运动，速度为每秒2cm，BE、AF【答案】10【分析】过点G作直线MN丄BC，分别交AD、BC于点M、N，过点G作直线PQ∥CD，分别交AB、DC于点P、Q，易知四边形ABNM、PBNG、GNCQ为矩形，证明△GAE∽△GFB，由相似三角形的性质可得设E、F两点运动时间为t，则AE=0.5tGN=4cm；作点C关于直线PQ的对称点K，由轴对称的性质可得CG=KG，故当B、G、K三点共线时，BG+KG的值最小，即BG+CG取最小值，此时，在Rt△BCK中，由勾股定理求得BK的【详解】解：如下图，过点G作直线MN丄BC，分别交AD、BC于点M、N，过点G作直线PQ∥CD，分别交AB、DC于点P、Q，易知四边形ABNM、PBNG、GNCQ为矩形，MN=AB=5cm，∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AB∥DC∴7GAE=7GFB，7GEA=7GBF，则有即GN=4GM，日拱一卒,功不唐捐∵四边形GNCQ为矩形，∴QC=GN=4cm，作点C关于直线PQ的对称点K，如图，则QK=QC=4cm，KC=QK+QC=8cm，当B、G、K三点共线时，BG+KG的值最小，即BG+CG取最小值，此时，在Rt△BCK中，BKcm，【巩固练习3】探究式子的最小值.小胖同学运用“数形结合”的思想：如已知y则y的最大值是．【答案】2529【分析】作C关于AB的对称点F，连接FD交AB于E,，连接CD，利用勾股定理求CE+DE的最小值即可；构造图形如图，过点D作DM丄AC交AC于M，求y的最大值结合三角形的三边关系，根据矩形的性质，利用勾股定理进行计算即可【详解】解：如图，作C关于AB的对称点F，连接FD交AB于E,，连接CD，,:AC∥BD，:四边形ABDC是平行四边形，:四边形ABDC是矩形，:DF=CF2+CD2=22+42=25,则CEDE:CE-DE的最大值为CD的长度，过点D作DM丄AC交AC于M，则四边形ABDM为矩形，:CM=2，:y的最大值为29【题型2】双动点最值问题（两次对称）【答案】70连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．丫LABC＝LADC＝90o，：LA,＝LMAB，LA"＝LNAD，丫LAMN＝LA,+LMAB＝2LA,，LANM＝LA"+LNAD＝2LA"，：LAMN+LANM＝2（LA,+LA"丫LBAD＝125o，：LA,+LA"＝180o_LBAD＝55o，：LAMN+LANM＝2X55o＝110o．：LMAN＝180o__110o＝70o，故答案为：70o【例题2】如图，在四边形ABCD中，LB=LD=90O，LDAB=140O，M，N分别是边DC，BC上的动点，当△AMN的周长最小时，LMAN=°.【答案】100【分析】作点A关于CD、CB的对称点E、F，连接EF分别交CD、CB于点H、G，连接AH、AG、EM、FN，则当点M与点H重合，点N与点G重合时，△AMN的周长最小，则易得LMAN的大【详解】解：如图，作点A关于CD、CB的对称点E、F，连接EF分别交CD、CB于点H、G，连接AH、AG、EM、FN，:AM+MN+NA=EM+MN+NF≥EF，：LGAF=LGFA，LHEA=LHAE，：LAGH=2LGFA，LAHG=2LHEA：LGAH=180O-(LAGH+LAHG)=180O-80O=1故答案为：100．【答案】6交BC于M，交DC于N，此时AN＝A′N，EM＝E′M，四边形AEMN周长＝AN+MN+ME+AE=分别是边BC、CD上的动点，连接AP，AQ，PQ，则△APQ周长的最小值为．【答案】47【分析】如图，由LB=LD=90°,作A关于BC对称的点A,，作A关于CD对称的点A,，连接A,A,,，与BC交点为P,，与CD交点为Q,，连接AP,，AQ,，由对称的性质可得AP,=A,P,，AQ,=A,Q,，A,,、P,、Q,、A,四点共线时，△APQ的周长最小为AA,E=10，根据A,A计算求解即可．【详解】解：如图，由LB=LD=90°,作A关于BC对称的点A,，作A关于CD对称的点A,，连接A,A,,，与BC交点为P,，与CD交点为Q,，连接AP,，AQ,，如图，过A,作A,,E丄AD的延长线于E，【巩固练习3】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AD、AB【答案】2【分析】作点O关于AB的对称点M，点O关于AD的对称点N，连接MN，MF，NE，AN，AM，即此时△OEF的周长最小，最小值为MN的长，证明△MAN是等边三角形，得到MN=AM=AO；过D作DPTAB交直线AB于P，由平行四边形的性质得到AD=BC=2，OD=OBBD，由含由作图得：AN=AO=AM，7NAD=7DAO，7MAB=7BAO，NE=OE，MF=OF，∴MN=AM=AO；过D作DPTAB交直线AB于P，∴AP=AD2-BD2=3，OD=OBBD【题型3】动线段问题：造桥选址（构造平行四边形）【例题1】如图，在平面直角坐标系中，已知A(3,6),B(-2,2)，在x轴上取两点C，D（点C在点D【例题2】如图，已知点A(3,0)，B(1,0)，两点C(-3,9)，D(2,4)在抛物线y=x2上，向左或向右平【答案】y【详解】解：∵A(3,0)，B(1,0)，C(-3,9)，D(2,4)，日拱一卒,功不唐捐将D''(a,4)关于x轴的对称点记为点E，则E(a,-4)，由轴对称性质可知，BD''=BE,∴当a时，其周长最小，所以抛物线向右平移了个单位，所以其解析式为：y四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为【答案】(-0.4,0)∴y=-10x-34，∴F(-3.4,0)，∴E(-0.4,0)故答案为：(-0.4,0)．【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系中有A(0,3)，D(5,0)两点．将直线l1：y=x向上平移2个单位长度得到直线l2，点B在直线l2上，过点B作直线l1的垂线，垂足为点C，连接AB，BC，点C，点D，点F三点共线时，CF+CD有最小值为DF的长，即AB+BC+CD有最小值，即可求：AF//BC，：四边形ABCF是平行四边形，【题型4】垂线段最短NPNPEMOFA【答案】22EEOFHGMNAPC于点D，点E、F分别是AD、AC边上的动点，则CE+EF的最小值为．24【答案】5【详解】解：如图，在AB上取一点F,，使AF,=AF，连接EF,，作CH丄AB，丫AD平分7BAC，\ĐDAC=ĐDAB，\EF=EF,，\CE+EF=CE+EF,，∴当点C，E，F,在同一条线上，且CETAB时，CE+EF,最小，即CE+EF最小，其值为CH，△ABCAC.BCAB.CH，24即CE+EF的最小值为5【巩固练习1】如图，在Rt△ABC中，ÐBAC=90°,AB=3,BC=5，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为．【答案】5【分析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利【详解】解：∵ÐBAC=90°,AB=3,BC=5，CME，点M落在四边形ABCE内，点N为线段CE上的动点，过点N作NP∥EM交MC于点P，PPMBDCNEA8【答案】5D D GHCMEEAB1485【巩固练习3】如图，在矩形ABCD中，CE丄BD于点E，AB=2/3，BE=3ED，P、Q分别是BD、BC上的动点，则PC+PQ的最小值为．【答案】33【分析】根据矩形的性质和解直角三角形可得DE=3，利用勾股定理得到CE=3，可得cosLDCE如图，延长CE至点C,，使C,E=CE，过点C,作C,Q,丄BC于点Q,，C,Q,交BD于点P,，连接PC,，可得点C和点C,关于BD对称，根据垂线段最短可得PC+PQ的最小值为C,Q,，然后在Rt△CC,Q,中，利用C,Q,=CC,.cosLDCE，即可得出答案．∴LDBC=LDCE，如图，延长CE至点C,，使C,E=CE，过点C,作C,Q,丄∴点C和点C,关于BD对称，∴LCC,Q,=LDCE，在Rt△CC,Q,中，CC,=2CE=6，故答案为：33．【题型5】相对运动平移型将军饮马【例题1】如图，在矩形ABCD中，AB=15，BC=20，把边AB沿对角线BD平移，点A,，B,分别【答案】917【分析】法一：过C作BD的平行线l，可以理解为点C相对线段AB是在直线l上运动，把B关于lαα965 72·E5【详解】:△AJD∽△DAB，2222【答案】3【详解】32322D'∴在Rt△AMN中，利用勾股定理得AN【例题3】如图，抛物线y=-x上的点A，C坐标分别为(0,2)，(4,0)，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且OM=2．.______【分析】设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M右平移m个单位长度作出点C关于直线y=-2对称的对称点C,，连接AC,,交直线y=-2于点M,，连接M,C则此时日拱一卒,功不唐捐MA,+M,C取得最小值，即为AC,,的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出【详解】由平移的性质可知，MA,=MA,,MC,=M,C，显然点M,在直线y=-2上运用，作出点C关于直线y=-2对称的对称点C,，连接AC,,交直线y=-2于点M,，连接M,C则此时∵点C关于直线y=-2对称的对称的点是点C,，C(4,0)∴C,(4,-4)，直线AC,,的解析式是：y又∵y=-x【答案】26过A作AD⊥BC于D，日拱一卒,功不唐捐=OF，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是。【答案】321+9∴四边形FEHA是平行四边形，2【题型6】化斜为直，斜大于直【例题1】如图，直线l1//l2//l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点．设直线l1与l2之间的距离为m，直线l2与l3之间的距离为n，若 AADBC【答案】3AADMFEBCG一个动点，连接AP交BD于点T，则AP的最大值ATDADABPTC【答案】3 APATPPCGTQBDDPDDPCTEGAABAAPAT最大，只要使AQ最大；向上平移BD，使其再次与⊙C相切，切点245AP5，4AT5，4ATPTAPTACGBDHQPTGDACBPTPT=且＝故△PBD=△PTD△PTB＝AT=且＝故△PBD=△PTD△PTB＝AT△ATDAT△ATB＝即△PBD=△ATD△ATBAT，S△ATBAT，S△ABDS△ATD+S△ATBS+S△ATD△ATBPTPT反思：这里提供的四种解法，都是借助相似或面APAT依然通过作平行线构造相似，将“斜线段之比”(即)转化为“直载段之比”(即．再借助平移变种解法，各有千秋，殊途同归，并且有许多共通之使点A落在BC边上的点F处，则CE的最大值为．ADDEBFC【答案】16－83【解析】过点E作EH⊥BC于点H．ADDEBFHC【解答】显然AB//QC,所以PQ≥CD=v2AC=4V22【巩固练习3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,AC＝5，BC＝12，P是边AB上一动点，Q是边BC上一动点，且始终有∠CPQ＝90°,则线段CQ长的取值范围为.EEBDA【答案】CAAEFBDG48【题型7】构造二次函数模型求最值PC，连接AC．则AC的最小值是日拱一卒,功不唐捐【答案】32【分析】过点C作CD丄x轴交x轴于D，设P(m，0)，利用一线三垂直模型证明△BOP出C(3+m，m)，根据勾股定理表示出AC2，然后根据二次函数的性质求解即可．∴△BOP≌△PDC(AAS)，∴C(3+m，m)，∵A(9,0)，2∴AC的最小值是32．日拱一卒,功不唐捐【分析】如图，过点A作AH丄BC于H，过点E作EM丄AB于M，过点C作CN丄AB于N，根DN=8-x，继而根据三角形的面积公式可得S△BDE，根据二次函【详解】如图，过点A作AH丄BC于H，过点E作EM丄AB于M，过点C作CN丄AB于N，△ABCBC´AHAB´CN，即CN，\CN=4，\S△ABC=10\ÐEDM=ÐDCN，\△EDM≌△DCN，\EM=DN，设BD=x，则DN=8-x，12\S△BDE的最大值为8，故答案为10，8．【巩固练习1】如图，Rt△ABC中，LACB=90°,AC=BC=8，D为AB中点．E、FBC上的动点，E从A出发向C运动，同时F以相同的速度从C出发向【答案】4【详解】解：根据题意得：AE=CF，,,12则AM长度的最大值为CABABMQPD【答案】34提示：分别过P、Q作AB的垂线，垂足分别为E、FAAPFMEQBD设AP＝x，则AQ＝PC＝3－x∴AM(x2－3x)，∴AM=-4AFDEPEPBC【答案】6HPAEDFCHPAEDFC4BB24四边形AECF＝4S△AEF4EFFADBC【答案】32EADFHBMC作AM⊥BC于M2∴AMAB＝ACAG＝ACBG＝23【题型8】通过瓜豆得出轨迹后将军饮马【答案】【答案】3称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点A(4,0)