专项素养综合全练　角平分线中常用的四种作辅助线的方法

专项素养综合全练(一)角平分线中常用的四种作辅助线的方法类型一截长法作对称图形1.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B.求证:AC+CD=

AB.

证明

如图,在AB边上截取AE,使AE=AC,连接DE.

∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠CAD.在△ADE和△ADC中,

∴△ADE≌△ADC(SAS),∴ED=CD,∠AED=∠C.∵∠AED=∠B+∠EDB,∴∠C=∠B+∠EDB.又∵∠C=2∠B,∴∠B=∠EDB,∴BE=DE,∴BE=CD,∴AB=AE+BE=AC+CD,即AC+CD=AB.方法解读本题运用截长法,在AB上截取AE,使AE=AC,再利

用角平分线的性质和等角对等边求解.类型二作两边的垂线段法2.如图,点F,G是OA上的两点,点M,N是OB上的两点,且FG=

MN,△PFG和△PMN的面积相等.试判断点P是否在∠AOB的

平分线上,并说明理由.

解析

点P在∠AOB的平分线上.理由:如图,作PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.

∵S△PFG=

FG·PD,S△PMN=

MN·PE,S△PFG=S△PMN,∴

FG·PD=

MN·PE.又∵FG=MN,∴PD=PE,∴点P在∠AOB的平分线上.3.如图,已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角尺的

直角顶点P沿射线OM滑动,两直角边分别与OA,OB交于点C,

D.求证:PC=PD.

证明如图,过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,∴∠PEC=∠PFD=90°.∵OM是∠AOB的平分线,∴PE=PF.∵∠AOB=90°,∠CPD=90°,∴∠PCE+∠PDO=360°-90°-90°=180°.∵∠PDO+∠PDF=180°,∴∠PCE=∠PDF.在△PCE和△PDF中,

∴△PCE≌△PDF(AAS),∴PC=PD.4.如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分线,求△ABD与△ACD的面积之比.

解析如图,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC的延长线

于点F.

∵AD平分∠BAC,∴DE=DF.∵S△ABD=

AB·DE=

×4DE=2DE,S△ACD=

AC·DF=

×3DF=

DF,∴S△ABD∶S△ACD=2DE∶

DF=4∶3,即△ABD与△ACD的面积之比为4∶3.类型三补形法构造对称图形5.(2022重庆一中模拟)如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,

D是AB上一点,连接CD,作AE⊥CD交CD的延长线于点E,且

AE=

CD,BD=8cm.求点D到AC的距离.

解析如图,延长AE,CB,交于点F,过点D作DM⊥AC于点M.

∵∠ABC=90°,AE⊥CD,∴∠FAB+∠F=90°,∠FCE+∠F=90°.∴∠FAB=∠FCE.在△ABF和△CBD中,

∴△ABF≌△CBD(ASA).∴AF=CD.∵AE=

CD,∴AE=

AF=EF.在△ACE和△FCE中,

∴△ACE≌△FCE(SAS).∴∠ACE=∠FCE,即CD平分∠ACB.又∵DM⊥AC,∠ABC=90°,BD=8cm,∴DM=DB=8cm,即点D到AC的距离为8cm.类型四翻折法构造对称图形6.如图,AD为△ABC的中线,DE,DF分别是△ADB和△ADC的

角平分线.求证:BE+CF>EF.

证明如图,在AD上截取DH,使DH=BD,连接EH,FH.∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,即BD=CD=DH.∵DE平分∠ADB,∴∠BDE=∠HDE.又∵DE=DE,∴