《二次根式及其性质》课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

二次根式及其性质问题：（1）面积为3的正方形的边长为_______，面积为S的正方形的边长为_______．（1）中式子你是怎么得到？得到的两个式子有什么不同？问题：（2）一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为______m．（2）中得到的式子有什么意义？

问题：（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，则

_____．（3）中当h的值分别为0，10，15，20，25时，得到的结果分别是什么？表示的数怎样变化？

t

=

（1）这些式子分别表示什么意义？（2）这些式子有什么共同特征？这些式子的共同特征是：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．分别表示3，S，65，的算术平方根．

上面问题中，得到的结果分别是：，，，．

把形如

，，，

这样用来表示一个非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式．

（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．二次根式：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

②被开方数a≥0．③a可以是数，也可以是含有字母的式子．定义包含三个内容:①必需含有二次根号“”．例1当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？当x≥2时，

在实数范围内有意义．解：由x－2≥0，得

x≥2．例2当x是怎样的实数时，在实数范围内有意

义？呢？所以，当x为任意实数时，在实数范围内有意义．解：因为

≥0，当x≥

0时，在实数范围内有意义．由

≥0，得

x≥0．当a＞0时，表示a的算术平方根，因此＞0；这就是说，（a≥0）是一个非负数．当a＝0时，表示0

的算术平方根，因此＝0；问题请比较

和0的大小．分类讨论思想双重非负性二次根式根号内字母的取值范围必须满足：被开方数大于或等于零.练习1

判断下列各式哪些是二次根式：

（1）；（2）；（3）；（4）．＞≤×√√√练习2

当x是什么实数时，下列各式有意义．（1）；（2）；（3）；（4）．解:（1）由

，得

；（2）由

得

且

；（3）由

，得x为任意实数，

都无意义；（4）由

，且

，得x＝2．（1）本节课你学到了哪一类新的式子？（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？（3）二次根式与算术平方根有什么关系？

一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．双重非负性≥．中的a≥0；

二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算术平方根是二次根式．布置作业这些式子都表示一个非负数的算术平方根的平方．问题1你能解释下列式子的含义吗？，，，．问题2根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据．0

42把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：（a≥0）．你能说说依据吗？例1计算下列各式：（1）

；（2）．

解：（1）

；（2）

．问题1

填空，你能说说这样做的依据吗？_____；_____；_____；_____．你能说说依据吗？

把得到的结论推广到一般，并用含字母的二次根式表示：（a≥0）．02

0.1-a由算术平方根的定义，可得（1）

；（2）

．解：（1）；例2化简：（1）

；（2）

．（2）．（1）你知道了二次根式的哪些性质？（2）运用二次根式性质进行化简需要注意什么？（3）请谈谈发现二次根式性质的思考过程．（4）想一想，到现在为止，你学