2026年常州高中竞赛试卷及答案

2026年常州高中竞赛试卷及答案一、单选题1.下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）（2分）A.y=-2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=|x|【答案】D【解析】y=|x|在x≥0时单调递增，在x<0时单调递减，故在整个定义域内不是单调递增函数。2.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-mx+2=0}，且B⊆A，则实数m的取值集合为（）（2分）A.{1,2}B.{1,3}C.{1,2,3}D.{1}【答案】D【解析】A={1,2}，当B⊆A时，m=1，故选D。3.已知向量a=(1,2)，b=(-3,4)，则向量a与b的夹角θ满足（）（2分）A.sinθ=7/5B.cosθ=-7/5√5C.tanθ=-8/6D.cosθ=7/25【答案】B【解析】cosθ=(a·b)/(|a||b|)=(-3+8)/(√5√25)=-7/5√5。4.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）i=1;s=0;whilei<=10dos=s+i;i=i+2;endA.55B.30C.15D.10【答案】C【解析】s=1+3+5+7+9=25。5.在△ABC中，若cosA=1/2，则sinA的值为（）（2分）A.√3/2B.1/2C.√3/4D.-√3/2【答案】A【解析】sinA=√(1-cos^2A)=√(1-(1/2)^2)=√3/2。6.某校从6名男生和4名女生中选出3人参加比赛，则恰好有2名男生的选法有（）种（2分）A.12B.18C.24D.36【答案】C【解析】C(6,2)×C(4,1)=15×4=60。7.若复数z满足|z|=2且argz=π/3，则z的代数形式为（）（2分）A.2+√3iB.1+√3iC.2√3+2iD.1+2i【答案】A【解析】z=2(cosπ/3+isinπ/3)=2(1/2+√3/2i)=1+√3i。8.函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值是（）（2分）A.2B.4C.8D.16【答案】B【解析】f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-2)=-2，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=4，故最大值为4。9.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=a_(n-1)+2n，则a_5的值为（）（2分）A.21B.25C.29D.33【答案】A【解析】a_2=3，a_3=7，a_4=13，a_5=21。10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（2分）A.8πB.16πC.24πD.32π【答案】B【解析】该几何体为圆柱，底面半径为2，高为4，体积=π×2^2×4=16π。二、多选题（每题4分，共20分）1.下列命题中，正确的是（）A.空集是任何集合的子集B.若a>b，则a^2>b^2C.若sinα=sinβ，则α=βD.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f(x)在该区间上有最小值【答案】A、D【解析】B错误，如a=1>b=-2；C错误，sinα=sinβ⇒α=β+2kπ或α=π-β+2kπ。2.已知直线l：ax+by+c=0与圆O：x^2+y^2=r^2相交于A、B两点，则（）A.若l过圆心O，则|AB|=2rB.若|AB|=r，则l与O相切C.若l与O相切，则|AB|=rD.若l与O相交，则|AB|>r【答案】A、B【解析】A正确，圆心到直线距离为0；B正确，弦长公式|AB|=2√(r^2-d^2)，d=r⇒|AB|=r；C错误，d=r时|AB|=0；D错误，|AB|≤2r。3.若函数f(x)满足f(x)+f(1-x)=2，则下列结论正确的是（）A.f(0)+f(1)=2B.f(π/4)+f(π/4)=2C.f(-x)+f(1+x)=2D.f(2x)+f(1-2x)=2【答案】A、C、D【解析】令x=0、x=1、x=-x得A、C、D正确。4.在△ABC中，下列条件中能确定△ABC的是（）A.三边长B.两边及夹角C.一边及两角D.两角及其中一角的对边【答案】A、B、C【解析】全等判定定理SSS、SAS、ASA、AAS。5.若函数f(x)=x^2+px+q在x=1处取得极值，则下列说法正确的是（）A.p=2B.q=1C.f(1)=-2D.p^2-4q=0【答案】A、D【解析】f'(x)=2x+p，x=1⇒p=-2，f(1)=1-p+q=-2⇒q=-1，p^2-4q=4-4(-1)=8≠0。三、填空题1.若sinα+cosα=√2，则sin2α的值为______（4分）【答案】1【解析】(sinα+cosα)^2=1+2sinαcosα=2⇒sinαcosα=1/2⇒sin2α=2sinαcosα=1。2.若集合A={x|x^2-5x+6=0}，B={x|x^2-px+q=0}，且B⊆A，则实数p+q的取值集合为______（4分）【答案】{5,7}【解析】A={2,3}，B={2}⇒p=4,q=6⇒p+q=10；B={3}⇒p=6,q=9⇒p+q=15；B={2,3}⇒p=5,q=6⇒p+q=11；B=∅⇒p=5,q=6⇒p+q=11。3.若函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差为______（4分）【答案】8【解析】f(-2)=-8，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=2，最大值3，最小值-8，差为11。4.若复数z=(1+i)/(1-i)，则|z|的值为______（4分）【答案】1【解析】z=(1+i)/(1-i)=i⇒|z|=|i|=1。5.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=a_(n-1)+n，则a_5的值为______（4分）【答案】15【解析】a_2=2，a_3=4，a_4=7，a_5=11。四、判断题（每题2分，共10分）1.若a>b，则a^2>b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1>b=-2⇒1^2=1>-2^2=4。2.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f(x)在该区间上有最小值（）（2分）【答案】（√）【解析】如f(x)=x在(-∞,+∞)上单调递增，最小值为-∞。3.若sinα=sinβ，则α=β（）（2分）【答案】（×）【解析】sinα=sinβ⇒α=β+2kπ或α=π-β+2kπ。4.若直线l：ax+by+c=0与圆O：x^2+y^2=r^2相切，则圆心到直线距离等于r（）（2分）【答案】（√）【解析】相切⇒圆心到直线距离等于半径。5.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n^2}也是等差数列（）（2分）【答案】（×）【解析】如a_n=n，a_n^2=n^2，a_(n+1)^2-a_n^2=(n+1)^2-n^2=2n+1，不是等差数列。五、简答题（每题4分，共20分）1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值与最小值。（4分）【答案】最大值2，最小值-2【解析】f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0,2，f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，最大值2，最小值-2。2.求过点A(1,2)且与直线l：2x+y-1=0垂直的直线方程。（4分）【答案】x-2y+3=0【解析】垂直⇒斜率乘积为-1⇒斜率为-1/2⇒y-2=-1/2(x-1)⇒x-2y+3=0。3.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值。（4分）【答案】最小值3，x=-2【解析】f(x)=3-2|x|，当x=-2时取得最小值3。4.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=a_(n-1)+2n，求a_5的值。（4分）【答案】15【解析】a_2=3，a_3=5，a_4=9，a_5=15。5.求过点A(1,2)且与圆O：x^2+y^2-2x+4y-3=0相切的直线方程。（4分）【答案】5x-12y+23=0【解析】圆心(1,-2)，半径√10，过A的切线方程为y-2=k(x-1)⇒kx-y-k+2=0⇒|k-2|/√(k^2+1)=√10⇒k=-12/5⇒5x-12y+23=0。六、分析题（每题10分，共20分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在区间[-2,4]上的单调区间。（10分）【答案】递增(-∞,0)∪(2,4)，递减(0,2)【解析】f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0,2，f(x)在(-∞,0)∪(2,4)上递增，在(0,2)上递减。2.已知函数f(x)=x^3-px+q在x=1和x=-1处取得极值，求p、q的值，并求f(x)的最大值与最小值。（10分）【答案】p=3，q=-1，最大值1，最小值-3【解析】f'(x)=3x^2-p，x=1⇒p=3，f'(-1)=3-p⇒p=5⇒矛盾，x=-1⇒p=3，f'(-1)=3-p⇒p=-1⇒矛盾，正确解法：f'(x)=3x^2-p=0⇒x=±√(p/3)，f(1)=1-p+q=0⇒p=q+1，f(-1)=-1-p+q=0⇒p=1-q⇒q=-1，p=3⇒f(x)=x^3-3x-1，f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-1)=-3，f(1)=1，最大值1，最小值-3。七、综合应用题（每题25分，共50分）1.某几何体的三视图如图所示，该几何体由一个圆柱和一个圆锥组合而成，圆柱底面半径为2，高为4，圆锥底面半径为2，高为3，求该几何体的体积。（25分）【答案】62π【解析】圆柱体积=π×2^2×4=16π，圆锥体积=1/3×π×2^2×3=4π，总体积=16π+4π=20π。2.某学校从6名男生和4名女生中选出3人参加比赛，要求至少有2名男生，求恰好有2名男生的选法有多少种？并求至少有1名女生的选法有多少种？（25分）【答案】恰好2名男生：C(6,2)×C(4,1)=60种；至少1名女生：C(10,3)-C(6,3)=120-20=100种。【解析】恰好2名男生：C(6,2)×C(4,1)=15×4=60种；至少1名女生：C(10,3)-C(6,3)=120-20=100种。---标准答案---一、单选题1.D2.D3.B4.C5.A6.C7.A8.B9.A10.B二、多选题1.A、