湖北省荆州市沙市中学2024-2025学年高三上学期12月月考试题 数学 含答案

PAGE\*ArabicPAGE\*Arabic52024—2025学年度上学期2022级12月月考数学试卷命题人：郭松审题人：冷劲松考试时间：2024年12月26日一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数（其中为虚数单位），则（

）A． B． C． D．2．用最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为，若，则（）A．11 B．13 C．63 D．783．已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（）A． B． C． D．4．设为单位向量，在方向上的投影向量为，则（）A． B． C． D．5．已知函数的图象向左平移后所得的函数为奇函数，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．86．记抛物线的焦点为为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则（

）A． B． C．2 D．37．直三棱柱中，，P为BC中点，，Q为上一点，，则经过A，P，Q三点的平面截此三棱柱所成截面的面积是（

）A． B．4 C． D．58．若函数定义域为，且为偶函数，关于点成中心对称，则的值是（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列关于平面向量的说法中正确的是（

）A．已知点是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且，则B．已知向量，且与的夹角为锐角，则的取值范围是C．已知点G为三条边的中线的交点，则D．已知，则在上的投影的坐标为10．如图所示，若长方体AC的底面是边长为2的正方形，高为4．E是的中点，则（

）A．B．三棱锥的体积为C．D．三棱锥的外接球的表面积为24π11．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则（

）A． B．C．双曲线的渐近线方程为 D．直线的斜率为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．的展开式中，的系数为15，则a=________.（用数字填写答案）13．已知正实数满足，则______.14．在四面体中，是边长为的等边三角形，，，，点在棱上，且，过点作四面体的外接球的截面，则所得截面圆的面积最小值与球的表面积之比为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，求b的取值范围．16．已知函数.函数在处取得极值.（1）求实数a；（2）对于任意，，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.17．如图，在棱长为2的正方体中，、、分别为棱、、的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦.18．已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.（i）求证：为定值；（ii）求面积的最大值.19．给定正整数，设数列是的一个排列，对表示以为首项的递增子列的最大长度（数列中项的个数叫做数列的长度），表示以为首项的递减子列的最大长度.我们规定：当后面的项没有比大时，，当后面的项没有比小时，.例如数列：，则.，.（1）若，求和；（2）求证：；（3）求的最值.高三年级12月月考数学答案1．C2．D3．B4．D5．D6．C7．A8．C9．ACD10．BD11．BC12．13.14．/1：815.(1)(2)(1)由正弦定理及可得，又，则，即，则，因为，所以，，因为，所以．(2)由余弦定理得，因为，，所以，当且仅当时取等号．又因为，所以．综上所述，，b的取值范围是．16.(1)(2)（1），因为在处取得极值，故，解得.当时，，，故在处导函数为0，且在左右导函数异号，满足极值点条件，故（2），构造函数，即，因为任意，，当时，不等式恒成立，所以函数在上单调递减，即在上恒成立，由，设，因为，所以，所以函数单调递减，故，因此，故实数m的取值范围为17.（1）证明见解析（2）【解析】（1）证明：正方体中，，分别为棱，的中点，所以，平面，平面，所以，所以，正方形中，为的中点，为的中点，所以，所以，设、交点为，则，所以，即；又、平面，，所以平面.（2）如图，以点为原点，分别以、、为，，轴建立空间直角坐标系.因为正方体棱长为2，，，分别为棱，，的中点.所以，，，，.所以，.由（1）知平面.所以是平面的一个法向量，设是平面的法向量，则取，得，所以，所以二面角的余弦值为，18.（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）面积的最大值为.【小问1详解】由题意可得椭圆焦点在x轴上，且，所以椭圆的方程为.【小问2详解】（i）证明：由题意可知直线斜率存在，当直线斜率为0时，显然，所以；当直线斜率不为0时，设直线方程为，联立，则，设，则，所以，因为，所以.综上，为定值0.（ii）由（i）可得，所以，所以，当且仅当即时等号成立，所以面积的最大值为.19.（1），（2）证明见解析；（3）当为偶数时，的最小值为；当为奇数时，的最小值为；【小问1详解】以为首项的最长递增子列是，所以，因为后面的项都比小，所以，以为首项的最长递增子列是，所以，因为后面没有项，所以；因为后面的项都比大，所以，以为首项的最长递减子列是或者，所以；因为后面的项都比大，所以，因为后面没有项，所以；所以，即，【小问2详解】对于，由于数列是的一个排列，故，若，则每个以为首项的递增子列都可以在前面加一个，得到一个以为首项的更长的递增子列，所以，而每个以为首项的递减子列都不包含，且，故可将替换为，得到一个长度相同的递减子列，所以，这意味着；若，同理有，，故，总之，且和不能同时为零，故.【小问3详解】由（2）可知和不能同时为零，故，当为偶数时，设，一