初中数学九年级下册相似三角形专题复习高阶教案

初中数学九年级下册相似三角形专题复习高阶教案

一、教学背景与设计理念

（一）【基础】学情定位与内容解析

本课设计基于学生已完成相似三角形的基本概念、判定定理及性质定理的新课学习。此时，学生面临的核心挑战并非知识点的简单回忆，而是如何将零散的知识点系统化、结构化，并能在复杂多变的几何图形中精准提取相似模型，实现知识的综合迁移与应用。本节课处于中考一轮复习的关键节点，其内容上承全等三角形，下启锐角三角函数及圆的相关性质，是培养学生几何直观、逻辑推理与数学建模素养的黄金载体。本节课内容不仅包括对判定与性质的重温，更侧重于通过对基本图形的演变与嵌套，揭示图形内部的数形关系，为后续解决动态几何问题与代数几何综合题铺平道路。

（二）【重要】设计理念与课改融合

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，本设计摒弃传统的“习题堆砌”式复习模式，践行“大单元教学”与“主题式教学”理念。以“从基础图形到综合应用”为主线，通过“一题一课”、“图形变式”和“问题链驱动”的策略，引导学生经历“回顾—提炼—探究—建模—迁移”的完整认知过程。课堂强调从“教会学生知识”转向“培养学生思维”，让学生在自主探究与合作交流中，感悟类比、转化、数形结合、分类讨论及方程思想，实现“做中学、悟中学”，从而提升学生解决复杂问题的关键能力，打造一节有深度、有广度、有思维张力的高阶复习课。

二、教学目标

（一）知识与技能

1.熟练掌握相似三角形的四种判定方法（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例、平行线法）以及两个直角三角形相似的特殊判定，【重要】能准确叙述相似三角形的性质（对应边、对应角、周长比、面积比、对应线段比）。

2.能够从复杂的几何图形中准确识别并分离出“A型”、“X型”、“母子型”、“一线三等角（含K型）”等基本相似图形。

3.熟练运用相似三角形的性质建立线段之间的比例关系，解决有关线段求值、图形面积、函数解析式等问题。

（二）过程与方法

1.通过对基本图形的变式与组合，经历从特殊到一般、再从一般到特殊的认知过程，提升几何直观与抽象概括能力。

2.通过探究动态几何问题，学习运用方程思想、分类讨论思想和转化思想分析图形运动变化中的不变量与规律。

3.在问题链的引导下，逐步构建解决相似三角形综合问题的思维框架，提高逻辑推理能力和数学建模素养。

（三）情感、态度与价值观

1.在破解由基本图形衍生出的系列挑战中，体验数学探究的乐趣，增强学好数学的自信心。

2.感悟几何图形的内在和谐美，体会数学思维的严谨性与逻辑性，培养求真务实的科学态度。

3.通过小组协作解决难题，培养团队合作意识与交流表达能力。

三、教学重难点

（一）【重点】构建知识网络，识别基本图形

能够系统梳理相似三角形的判定与性质，并能在不同背景下快速识别和提取基本相似模型。

（二）【难点】【高频考点】综合运用相似三角形知识解决动态几何及图形变换中的问题，特别是涉及分类讨论、构造方程以及探究函数关系的问题。

四、教学准备

多媒体课件（PPT演示几何画板动态演示）、导学案（含课前预热题、课堂探究题、课后拓展题）、直尺、三角板。

五、教学实施过程（核心环节）

（一）预热启思：知识网络速建与基础模型识别

上课伊始，教师通过PPT展示一组简单图形，引导学生快速回顾核心知识，构建知识网络。此环节旨在激活学生已有认知，为后续的深度探究奠定基础。

1.自主梳理：

教师出示问题串，要求学生独立完成导学案上的填空与口答。

（1）【基础】如图，在△ABC中，DE∥BC，则△ADE∽△______，这个基本图形叫做“型”。

（2）如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE交AB、AC的延长线于点D、E，则△ABC∽△，这个基本图形叫做“______型”。

（3）【重要】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中有几对相似三角形？请写出来。这个基本图形叫做“______型”或“双垂直模型”。

2.归纳提炼：

学生完成后，教师指名回答，并利用多媒体动态展示基本图形的形成过程。教师强调：这“A型”、“X型”、“母子型”是构成复杂图形的基础组件，是解决相似三角形问题的“钥匙”。同时，引导学生梳理出完整的知识框架：相似三角形的定义、判定的五个定理、性质的四方面（对应边、对应角、周长、面积、对应线段）、以及位似的概念。通过此环节，将点状知识连成线、织成网，落实【基础】要求。

（二）核心探究一：从单一模型到复合图形——“一线三等角”的变式之旅

本环节从一个基本模型出发，通过不断变换条件，引导学生探究图形的内在联系，感受“万变不离其宗”的数学奥秘，这是培养几何直观与逻辑推理的关键步骤。

1.初始模型呈现——【基础】“K型图”的识别：

【问题1】如图1，在一条直线l上，依次有B、C、D三点，且AB⊥l于B，DE⊥l于D，AC⊥CE于点C。若BC=3，CD=4，AB=2，求DE的长。

学生独立思考后，小组内交流解法。教师请一名学生简述思路：利用“同角的余角相等”证明∠ACB=∠CED，从而得到Rt△ABC∽Rt△CDE，再由对应边成比例求解。教师总结：这种在一条直线上出现三个直角的结构，我们称之为“一线三直角”或“K型图”，是“一线三等角”的特殊形式。

2.模型一般化——【重要】“一线三等角”的推广：

【问题2】（图形变式）如果将图1中的直角改为一般的锐角，即∠B=∠ACE=∠D=α，如图2所示，请问△ABC与△CDE还相似吗？请说明理由。

学生通过观察和讨论发现，利用三角形内角和及外角性质，可以证明∠ACB=∠E，从而得出两个三角形仍然相似的结论。教师利用几何画板改变α的大小，验证结论始终成立，强化学生对模型本质的理解：无论三个角是锐角、直角还是钝角，只要它们相等，且顶点在同一直线上，即可推出相似。教师指出，这是“一线三等角”模型的核心。

3.模型在复杂图形中的应用——【难点】模型组合与数形结合：

【问题3】（图形叠加）如图3，在等边三角形ABC中，边长为6，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，且∠EDF=60°。设BF=x，CE=y。

（1）求证：△BDF∽△CED；

（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。

学生审题后发现，等边三角形的内角为60°，而B、D、C三点共线，∠B=∠EDF=∠C=60°，这正是“一线三等角”模型的应用。第一问证明相对容易，关键是引导学生将证明相似的目光聚焦到△BDF与△CED上，利用外角性质或三角形内角和证明∠BFD=∠CDE。第二问，则是在相似的基础上，由对应边成比例（BF:CD=BD:CE），代入BD=6-CD及CD的表达式，建立起x与y的函数关系。教师引导学生回顾建立函数模型的全过程：识别几何模型（一线三等角）→证明三角形相似→列出比例式→代入已知量及变量→化简得到函数解析式→结合几何意义确定自变量取值范围。此环节将几何推理与代数表达深度融合，是【高频考点】的典型呈现方式。

（三）核心探究二：从静态到动态——“母子型相似”下的运动与探究

本环节引入动态元素，让学生在图形变化中寻找不变的相似关系，并尝试用函数思想刻画变化规律，进一步提升学生的综合素养。

1.回顾“母子型”——【重要】基本图形再认：

教师出示Rt△ABC（∠ACB=90°），CD⊥AB于D。引导学生回顾“母子型”相似（△ACD∽△ABC∽△CBD），并强调其重要结论：AC²=AD·AB，BC²=BD·BA，CD²=AD·DB（即射影定理）。指出这是解决直角三角形相关问题的利器。

2.静态问题铺垫：

【问题4】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3。D为AB边上一点，过D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连接EF。求EF的最小值。

学生小组讨论。此问题的关键在于：由三个垂直易得四边形DECF为矩形，所以EF=CD。因此，求EF的最小值转化为求线段CD的最小值。由“垂线段最短”可知，当CD⊥AB时，CD最短。再利用“母子型”相似或面积法求出CD的长度即可。此环节引导学生学会转化，将陌生问题转化为熟悉模型。

3.动态问题探究——【难点】【高频考点】引入动点与函数：

【问题5】（拓展变式）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm。点P从点B出发，沿B→A→C的路径向终点C运动，速度为1cm/s；点Q从点C出发，沿C→A路径向终点A运动，速度为2cm/s。两点同时出发，设运动时间为t秒。

（1）当点P在BA上运动时，是否存在某一时刻t，使得以P、A、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由。

（2）当点P在AC上运动时，以P为圆心，PA长为半径作圆，当⊙P与直线BC相切时，求t的值。

这是一个多情形、多层次的综合性问题，对学生能力要求很高。

针对第（1）问，教师引导学生分析：

【难点分解】首先，确定点P在BA上，0<t<5（AB=5）。此时，AP=5-t，AQ=4-2t（注意：点Q先到达A点，需考虑时间范围）。∠A是公共角。

其次，进行分类讨论：

情况一：若△APQ∽△ABC，则AP:AB=AQ:AC，即(5-t):5=(4-2t):4。解方程并检验t是否在取值范围内且使AQ≥0。

情况二：若△AQP∽△ABC，则AQ:AB=AP:AC，即(4-2t):5=(5-t):4。同样解方程并检验。

学生演算后，教师用几何画板演示，直观展示两种相似关系下图形的位置差异，强调分类讨论的严谨性。

针对第（2）问，当点P在AC上（5≤t<(5+4)/1=9），圆P与BC相切。教师引导学生画出图形，此时P在AC上，PA为半径。由于BC与圆相切，切点即为过P向BC作垂线的垂足H。通过几何关系发现，四边形PECH（E为AC与BC的交点C？需要明确，P在AC上，过P作BC垂线，垂足为H，则PH⊥BC，而AC⊥BC，所以PH∥AC，但这显然不成立。更准确地说，因为∠C=90°，所以AC⊥BC，那么过圆上一点P作BC的垂线，垂足即为切点H，且P、C、H可能构成三角形。）实际上，当圆P与BC相切时，切点必定使得PH⊥BC。由于AC⊥BC，所以PH∥AC。但P在AC上，PH∥AC意味着P、H、C构成一个直角三角形？这里需要重新构建相似关系。观察可得，Rt△PHB∽Rt△ACB，或利用三角函数。设此时AP=r（半径），则PC=4-AP=4-r，PB=？P在AC上，从B到P的路程为AB+AP=5+r，所以t=(5+r)/1=5+r。在Rt△PHB中，PH=r，∠PBH=∠ABC。由sin∠ABC=AC/AB=4/5=PH/PB=r/PB，可得PB=(5/4)r。在Rt△PBC中，由勾股定理：PC²+BC²=PB²，即(4-r)²+3²=[(5/4)r]²。解出r，进而求得t。教师引导学生一步步分析，理清数量关系，感受几何与代数的深度融合。此环节充分体现了【难点】的突破过程。

（四）建模应用：相似三角形在实际测量中的运用

数学源于生活，又服务于生活。本环节通过一个实际问题，让学生经历“实际问题—数学建模—模型求解—解释应用”的全过程。

【问题6】实践操作：为了测量学校教学楼的高度，数学兴趣小组的同学制定了测量方案。他们站在距离教学楼底端B点20米的C处，调整手臂的位置，使手中的小尺（长20厘米）竖直且恰好遮挡住教学楼（即眼睛D、小尺顶端E、教学楼顶A三点共线，眼睛D、小尺底端F、教学楼底端B三点共线）。已知同学的眼睛距离地面的高度DC为1.6米，手臂长度（眼睛到小尺的距离）为60厘米。请你帮助他们求出教学楼AB的高度。

1.建模指导：

教师引导学生将实际问题抽象为数学图形。首先，画出几何示意图：AB表示教学楼，DC表示人的身高，EF表示小尺（EF⊥DF），且EF∥AB。点D是眼睛的位置，DG表示眼睛到小尺的距离，且DG垂直于EF和AB（即DG是点到直线的距离）。这样，问题就转化为：在梯形ABFD中，已知DC=1.6m，BF=20m，DG=0.6m，EF=0.2m，且EF∥AB，求AB。

2.模型识别与求解：

学生观察图形，发现过D作DH⊥AB于H，则DH=BF=20m，BH=DC=1.6m。同时，DG是点D到EF的距离。关键是要建立EF与AB的联系。由于EF∥AB，不难发现△DGE∽△DHA。由此可得比例式：DG:DH=EG:AH。其中，EG=EF/2=0.1m？这里要注意，小尺竖直且遮挡住整个楼，意味着从D点看，小尺的顶端E对应楼顶A，小尺的底端F对应楼底B。因此，视线DE对应DA，视线DF对应DB。而DG是D到EF的距离，也是D到AB的距离的组成部分。更严谨的解法是利用相似三角形对应高的比等于相似比。

解法一：过点D分别向EF和AB作垂线，垂足为G和H。由EF∥AB，可得△DEF∽△DAB？这里D、E、A不共线吗？实际上，D、E、A共线，D、F、B共线，所以△DEF和△DAB是共用顶点D的两个三角形，且EF∥AB，因此△DEF∽△DAB。它们的相似比等于对应高的比，即DG:DH。而DH=DC+CH？DH即D到AB的水平距离，等于BC=20m。DG=0.6m。同时，EF=0.2m。由相似三角形性质：EF:AB=DG:DH，即0.2:AB=0.6:20，解得AB≈6.67m。然后再加上BH？不，此处的AB是教学楼的高度，相似三角形对应边是EF和AB，这里的AB已经是整座楼的高了，包含了BH部分吗？需要谨慎。如果EF∥AB，且D、E、A共线，D、F、B共线，那么A、B的位置是确定的。此时，AB应包含BH部分。但计算出的6.67m似乎偏小。原因在于D到AB的距离并不是BC，而是D到AB所在直线的垂直距离，这个距离等于BC吗？当人的眼睛D、楼底B、楼顶A构成的平面中，从D向AB作垂线，垂足H确实在AB上吗？不一定。因此，这种解法存在瑕疵。

解法二（推荐）：过点D作AB的垂线，分别交EF于点G，交AB于点H。则GH=BF=20m，DG=0.6m，DH=DG+GH=20.6m。由EF∥AB，可得△DEG∽△DAH，△DFG∽△DBH。由△DEG∽△DAH，得EG:AH=DG:DH，即0.1:AH=0.6:20.6，解得AH≈3.43m。由△DFG∽△DBH，得FG:BH=DG:DH，即0.1:BH=0.6:20.6，解得BH≈3.43m。所以AB=AH+BH≈6.86m。再加上人的眼睛高度？注意AH是从H到A，BH是从H到B，H是垂足，AB=AH+BH，而BH就是楼底B到水平视线DH的距离，它恰好等于D到地面的距离吗？实际上，BH应该等于DC=1.6m，因为我们过D作水平线交AB于某点，那个点并不是H。这里图形复杂，容易混淆。

【模型修正】更简洁的模型是构造相似三角形。分别过E、F作DM的平行线，或者利用光的直线传播原理，将实际问题简化为两个相似三角形：△DGE∽△DHA和△DGF∽△DHB。其中，DG为人眼到小尺的距离，GH为人眼到楼的距离（BC），EF为小尺长，AB为楼高。通过两组相似，可以分别求出AH和BH，两者之和即为AB。计算过程中要统一单位。

教师带领学生共同完成计算，强调单位换算和模型选择的准确性。此环节旨在培养学生用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界的能力，体现了【应用意识】的培养。

（五）课堂小结与反思

教师引导学生从以下三个维度进行总结，鼓励学生畅所欲言。

1.知识维度：回顾了相似三角形的判定与性质，重点梳理了“A型”、“X型”、“母子型”、“一线三等角”等基本图形