小学数学二年级下册《有余数的除法：从平均分到数学表达》学习任务单（导学案）

小学数学二年级下册《有余数的除法：从平均分到数学表达》学习任务单（导学案）

  一、设计理念与理论依据

  本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为指导，立足于发展学生的核心素养，特别是数感、运算能力和模型意识。设计遵循小学二年级学生的认知发展规律，即从具体形象思维逐步向初级逻辑思维过渡。理论建构上，融合了建构主义学习理论，强调学生在真实情境和操作活动中主动构建知识；同时渗透“理解性学习”理念，追求学生对除法概念本质——“平均分”及其“不完整”状态——的深度理解，而非机械记忆算法。本设计打破传统教学中“概念—算式—练习”的线性模式，采用“问题驱动—具身操作—多元表征—抽象建模—迁移应用”的螺旋上升结构，将有余数除法的含义学习置于一个完整、连贯且富有挑战性的探究任务链条中，引导学生亲历数学知识的创生过程，实现从生活经验到数学符号的跨越。

  二、教学内容与学情分析

  （一）教学内容解析

  “有余数的除法”是苏教版小学数学二年级下册“有余数的除法”单元的起始核心课。在此之前，学生已经熟练掌握了表内乘除法，理解了“平均分”的完备状态（即恰好分完）。本课是学生首次系统性接触除法运算中的“非完备”状态，是除法意义的一次关键性扩展。其教学内涵不仅在于认识余数、会读写有余数除法的算式，更在于深刻理解“余数”产生的必然性（在平均分的过程中，当不够再分一份时产生）及其核心性质“余数小于除数”。这一内容是后续学习多位数除以一位数笔算除法、乃至未来学习除法运算律、同余定理等知识的逻辑基石。教学重点在于通过多元活动建立“有余数的平均分”与“有余数除法算式”之间的本质联系。教学难点在于理解余数为什么必须比除数小，以及如何用规范的数学语言和算式表达分物过程与结果。

  （二）学情分析

  从知识储备看，二年级下学期的学生已具备扎实的表内乘除法计算能力，能熟练解决“平均分”的简单实际问题，并掌握了除法算式的读写及各部分名称。从认知心理看，该年龄段学生思维活跃，乐于动手操作和表达，但对抽象概念的理解仍需依赖具体实物和直观表象的支撑。他们能够感知“分不完”的情况，但缺乏用数学方式进行规范化表达的经验。从潜在困难看，学生易将“余数”视为孤立数字，割裂其与“平均分”过程的联系；在书写算式时，易混淆商和余数的位置；对于“余数小于除数”的理解往往停留在记忆层面，缺乏内在逻辑认同。因此，教学设计需提供大量结构化操作材料，设计层层递进的问题链，引导学生在“分—说—写—比—思”的循环中自主发现规律，实现意义建构。

  三、学习目标

  依据课标要求与学情，设定如下三维学习目标：

  1.知识与技能：在具体分物活动中，理解“有余数除法”的含义，认识余数，掌握有余数除法算式的读写法，知道算式中各部分的名称；通过探索，发现“余数一定比除数小”的规律。

  2.过程与方法：经历从“平均分”实物到用算式表示的过程，感受抽象和建模的数学思想；通过观察、操作、比较、归纳等活动，发展初步的推理意识和探究能力。

  3.情感态度与价值观：体会数学与日常生活的紧密联系，感受除法知识扩展的必要性；在合作探究中体验成功的乐趣，培养严谨认真的学习态度和勇于探索的科学精神。

  四、教学准备

  1.教师准备：多媒体课件（包含情境动画、动态分物过程、关键问题提示）；实物投影仪。

  2.学生准备（每4人小组一套）：

  （1）操作材料袋1：15个圆形磁扣（或小圆片），3张画有盘子的卡纸。

  （2）操作材料袋2：16根小棒，5个画有杯子的小纸环。

  （3）操作材料袋3：若干印有不同数量草莓和不同数量盘子的任务卡。

  （4）学习记录单（每人一份）。

  五、教学过程实施

  （一）创设情境，孕伏冲突，引发认知需求（约8分钟）

  1.情境再现，激活旧知：课件出示主题图：周末，小明和小红邀请两位朋友来家做客，妈妈准备了10颗草莓。问题：“如果平均分给4个小朋友，每人能分得几颗？还剩下几颗？”请学生用手中的学具（10个圆片代表草莓，4个纸盘）动手分一分。学生很快操作并回答：每人分得2颗，还剩2颗。教师引导用旧知表达：“这个过程我们能用学过的除法算式表示吗？”学生尝试后会发现，10÷4无法直接用表内除法得出整数结果，从而产生认知冲突。

  2.任务升级，明确课题：紧接着，课件动态呈现妈妈又拿来了更多的草莓，总数变为11颗、12颗、13颗……提问：“随着草莓数量变化，平均分给4人的情况还会怎样？这种‘分不完’的情况，在数学上该如何研究和记录呢？”由此自然引出课题：“今天，我们就一起来研究这种分不完的除法——有余数的除法。”板书课题。此环节旨在将新知学习植根于真实且需要解决的任务中，激发学生的内在探究动机。

  （二）核心探究，操作体验，建构概念模型（约22分钟）

  本环节分为三个探究层级，层层深入。

  层级一：动手操作，初识余数。

  任务一：分15个磁扣。出示任务：“把15个磁扣，每4个一份，分一分。”小组合作，利用材料袋1进行操作。操作后，教师引导学生用语言描述过程：“一共分了3份，还剩下3个磁扣。”教师相机明确：“在平均分的过程中，这种分完后剩下的、不够再分一份的数量，在数学上叫做‘余数’。”板书“余数”。

  任务二：记录过程，创造算式。关键问题：“你能想办法把刚才分15个磁扣的过程和结果记录下来吗？可以画图，也可以用符号、算式。”学生独立尝试记录。教师巡视，选取有代表性的作品（如图示法、文字法、以及可能出现的“15÷4=3…3”等雏形）通过实物投影展示交流。在充分尊重学生原创的基础上，教师引出数学上的规范表达：“在除法算式中，我们可以这样表示：15÷4=3（份）……3（个）”。带领学生认识算式的读法“15除以4等于3余3”，并对照分的过程认识算式中每个数的含义：15是被分的总数（被除数），4是每份的个数（除数），3是分得的份数（商），后面的3是剩下的余数。强调“……”是余号，表示平均分后还有剩余。引导学生将算式与操作过程反复对照说意义，固化联系。

  层级二：变换情境，深化理解。

  任务三：分16根小棒。出示新任务：“有16根小棒，每5根一份，可以分成几份？还剩几根？”小组使用材料袋2操作。操作后，要求学生不借助学具，尝试独立列出有余数的除法算式：16÷5=3（份）……1（根）。指名板演并讲解。此任务通过改变除数（每份数），巩固算式书写，并初步感受余数的变化。

  任务四：观察比较，初步发现。教师将两次操作的算式并列板书：

  15÷4=3（份）……3（个）

  16÷5=3（份）……1（根）

  引导学生观察与思考：“请比较这两个有余数的除法算式，你有什么发现？看看被除数、除数、商和余数之间有什么关系？”学生可能发现：除数都不一样；商都是3；余数有时是3，有时是1。教师追问引导：“余数3和1，与它们各自的除数4和5比，大小如何？”学生发现：余数3<除数4，余数1<除数5。教师不急于给出结论，而是引发猜想：“这是巧合吗？余数会不会比除数大，或者等于除数呢？”

  层级三：系统探究，归纳规律。

  任务五：猜想验证，归纳规律。这是突破难点的关键活动。以小组为单位，发放材料袋3中的系列任务卡（如：7个草莓，每2个一盘；8个草莓，每3个一盘；14个草莓，每4个一盘等）。要求每组选择2-3张不同的卡片进行操作，将分的过程和结果用算式记录在学习记录单上。教师设计如下记录单框架：

  被除数÷除数=商……余数比较：余数（）除数

  （）÷（）=（）……（）余数（）除数

  （）÷（）=（）……（）余数（）除数

  学生充分操作并填写后，小组内观察、讨论所有算式，重点关注“余数”和“除数”的大小关系。随后全班汇报。教师将各组的典型算式有序地板书出来，形成一组丰富的例子。通过集体观察和讨论，学生能清晰地看到，在所有例子中，余数总是1、2、3……，但始终比除数小。教师进一步用反例激疑：“如果余数等于除数，比如分东西时剩下4个，而每份正好是4个，这说明什么？”（说明还可以再分一份）“如果余数比除数大，比如剩下5个，每份是4个，又说明什么？”（说明至少还能再分一份）。通过逻辑推理和操作反证，学生深刻理解“余数比除数小”不是规定，而是“平均分”概念本身的内在要求：只要余数大于或等于除数，就意味还可以继续分，分的过程就没有结束。最终，师生共同归纳出“余数小于除数”这一核心规律。教师板书这一规律，并强调其在今后计算中的重要性。

  （三）分层练习，巩固内化，促进思维发展（约8分钟）

  练习设计遵循基础巩固、变式应用、综合拓展的梯度。

  1.基础巩固（看图列式）：课件出示教材基础习题，如：有17个气球，平均分给5个小朋友，每人分几个？还剩几个？要求学生先圈一圈（每份圈出5个），再列出有余数的除法算式。重点检查算式的规范书写和各部分名称的对应。

  2.变式应用（判断纠错）：出示几道有错误的算式，如：23÷6=2……11；19÷4=3……7。让学生判断对错，并说明理由（紧扣“余数小于除数”的规律进行分析）。此练习旨在强化对规律的理解和应用，提升批判性思维。

  3.综合拓展（开放联想）：出示算式：□÷6=4……☆。提问：“根据今天学的知识，余数☆可能是哪些数？为什么？如果余数最大是几，那么被除数□是多少？如果余数最小是几（在有余数的前提下）？”此题为学有余力的学生提供思维挑战，深化对除数、余数、被除数之间关系的理解，渗透函数思想和有序思考。

  （四）联系生活，拓展延伸，感悟数学价值（约4分钟）

  1.生活举例：引导学生寻找生活中“有余数除法”的例子。如：班级有35人，6人一组开展活动，可以分成几组？还剩几人？日历中的星期循环等。使学生体会到数学来源于生活，又服务于生活。

  2.文化渗透：简要介绍“余数”在古今中的应用，如中国古代数学著作《孙子算经》中的“物不知数”问题（韩信点兵），让学生感受数学的悠久历史和广泛应用，激发民族自豪感和进一步探索的兴趣。

  （五）回顾反思，梳理总结，构建知识网络（约3分钟）

  引导学生围绕以下问题展开回顾：“今天我们一起研究了什么？余数是怎么产生的？有余数的除法算式怎么写、怎么读？我们发现了余数和除数之间有什么重要关系？你是通过什么方法学会这些知识的？”让学生不仅回顾知识本身，更反思学习过程与方法。教师最后用简洁的语言总结本课核心，并点明有余数除法是除法家族的重要成员，为后续学习做好铺垫。

  六、学习评价设计

  本课评价贯穿教学全过程，体现评价主体的多元化和评价方式的多样化。

  1.过程性评价：

  （1）观察评价：教师在学生操作、讨论、汇报环节，通过巡视和聆听，观察学生的参与度、合作意识、操作规范性、语言表达的清晰度和逻辑性。使用简单的记录符号（如☆√△）对学生的表现进行即时评价。

  （2）对话评价：通过课堂提问、追问、反问，诊断学生对概念的理解深度。例如，在学生列出算式后，追问“这个‘余数3’在刚才分的过程中指的是哪一部分？”“为什么余数不能是5？”等。

  （3）作品评价：对学生的操作记录单、练习中的圈画和算式进行评价，关注其思维的条理性和表达的准确性。

  2.终结性评价：

  （1）课堂练习反馈：通过基础、变式、拓展三类练习的完成情况，评估各层次学生对知识技能的掌握程度。

  （2）课后微任务（可选）：设计一个简单的实践任务，如“回家后，用一些小豆子（如20颗左右），分别按每4颗、5颗、6颗一份分一分，并记录下算式，明天和同学分享。”将学习延伸到课外，考察知识迁移能力。

  评价旨在激励学生的学习热情，及时提供反馈，帮助教师调整教学，促进学生全面发展。

  七、教学特色与创新之处

  1.任务驱动的整体性学习：将整节课设计成一个“如何用数学表达分不完”的宏观任务，所有子活动都服务于这一核心问题的解决，使学习过程目标明确、逻辑连贯。

  2.从“操作化”到“符号化”的完整建模历程：充分保障学生从“动手分物（动作表征）”—>“口头描述（语言表征）”—>“图示记录（图形表征）”—>“算式表达（符号表征）”的全过程体验，扎实完成数学建模的关键步骤，有效促进了学生抽象思维的发展。

  3.对核心规律的深度探究：对于“余数小于除数”这一难点，没有采用直接告知或简单验证的方式，而是设计了“初步观察—引发猜想—举例验证—反例思辨—归纳概括”的完整探究路径，让学生不仅“知其然”，更“知其所以然”，培养了科学的探究态度和初步的归纳推理能力。

  4.关注差异的分层支持：通过提供丰富的操作材料、设计开放度不同的任务卡、设置梯度练习以及拓展性问题，为不同认知水平和学习风格的学生提供个性化支持，确保每个学生都能在“最近发展区”内获得发展。

  5.文化浸润与德育渗透：在课末融入数学史元素和生活应用，赋予数学知识以人文温度，潜移默化地培养学生的应用意识和科学精神，体现学科育人的综合价值。

  八、板书设计（预设）

  板书设计力求突出重点，清晰展现知识脉络和探究过程。

  有余数的除法：从平均分到数学表达

  分一分：15个磁扣，每4个一份

  结果：分了3份，还剩3个

  记录：15÷4=3（份）……3（个）←有余数的除法算式

  读作：15除以4等于3余3

  被除数除数商余数