沪科版八年级数学下册：四边形中的折叠问题探究式教学设计

沪科版八年级数学下册：四边形中的折叠问题探究式教学设计

  一、教学目标

  （一）核心素养目标

  1.几何直观与空间观念：通过动手操作与动态想象，深入理解图形在轴对称变换（折叠）下的运动与不变性，能从复杂的折叠图形中分解出基本几何结构，建立清晰的折叠过程心理表象。

  2.逻辑推理与数学建模：经历从具体折叠操作到抽象数学关系的归纳过程，系统掌握折叠问题中的全等、对称、勾股定理及方程思想等核心知识的综合运用逻辑链，能构建“折叠情境→几何模型→数量关系”的通用解题分析框架。

  3.创新意识与探究能力：在开放、递进的变式问题链驱动下，发展多角度、批判性分析问题的能力，鼓励对常规解法进行优化，并对折叠中的“动点”、“最值”等拓展问题形成初步的探究思路。

  （二）知识与技能目标

  1.准确辨析折叠（轴对称）前后的对应点、对应边、对应角及对称轴（折痕）。

  2.熟练掌握由折叠性质导出的核心等量关系：重合线段相等、重合角相等、折痕垂直平分对应点连线。

  3.综合运用全等三角形的判定与性质、直角三角形的勾股定理、四边形的基本性质以及方程思想，求解折叠背景下的线段长度、角度大小、图形面积及周长。

  4.初步掌握处理折叠与动态问题结合（如点落于边上或延长线上）的临界分析能力。

  （三）过程与方法目标

  1.经历“操作感知→猜想验证→模型抽象→应用迁移”的完整数学探究过程。

  2.渗透转化与化归、数形结合、分类讨论、方程建模等数学思想方法。

  3.通过小组协作与交流，提升数学语言表达能力与解题策略的共享、评价能力。

  二、教学重点与难点

  （一）教学重点

  1.折叠问题中不变性（全等、对称）的分析与识别。

  2.综合运用全等、勾股定理及方程思想建立等量关系求解几何量。

  3.从具体问题中提炼解决折叠问题的通用思维路径和策略模型。

  （二）教学难点

  1.复杂图形中快速、准确地识别折叠后的对应关系，特别是当点落在特殊位置（如边上、延长线或图形外部）时。

  2.多知识、多步骤的整合与灵活调用，尤其是在需要添加辅助线构造可解直角三角形或全等三角形的情境中。

  3.“折叠中的动点问题”与函数、最值思想的初步关联与建模。

  三、教学准备

  （一）教师准备

  1.多媒体课件：包含折叠动画演示（几何画板或类似软件制作）、标准例题与变式题、解题策略框架图。

  2.探究学案：设计分层次、有梯度的课堂探究活动单。

  3.教具：若干矩形、正方形、菱形纸片（分发给学生小组）。

  （二）学生准备

  1.复习八年级上册“轴对称”及本册“四边形”、“全等三角形”、“勾股定理”相关知识。

  2.准备直尺、圆规、量角器。

  3.组建4人合作学习小组。

  四、教学实施过程

  （一）第一课时：折叠之基——性质探寻与简单应用（约45分钟）

  （1）情境导入，感知概念（约5分钟）

  展示一组图片：中国传统的折纸艺术、生活中信封的封口折叠、将长方形纸带按虚线折叠制作纸质手提袋的过程。提问：“这些过程中，纸张的形状发生了怎样的几何变换？”引导学生明确回答：轴对称变换。进而指出，在数学中，我们将这类问题称为“图形的折叠问题”。强调折叠即轴对称，折痕即为对称轴。本节课我们将深入研究四边形背景下的折叠，探寻其中的数学奥秘。

  （2）操作探究，归纳性质（约15分钟）

  活动一：矩形的“角”的折叠。

  任务：发给每组一张矩形纸片ABCD（标注顶点）。如图1，将∠A沿对角线AC折叠，使点A落在矩形内部的点A‘处。请操作并思考：

  ①折叠后，有哪些元素重合？点A的对应点是？边AD的对应边是？∠DAC的对应角是？

  ②折痕AC具有什么性质？（关于点A与A’）

  ③图中出现了哪些全等的图形？请证明。

  学生操作、观察、小组讨论后汇报。教师引导学生规范表述：∵折叠，∴△ADC≌△A’DC（或关于直线AC对称）。∴AD=A‘D，∠DAC=∠DA’C，且AC垂直平分AA‘。提炼板书：折叠性质一：重合部分全等（对应边等、对应角等）。折叠性质二：折痕是对称轴，垂直平分对应点连线。

  活动二：矩形的“边”的折叠。

  任务：如图2，将矩形边AD沿折痕EF向内侧折叠，使点D落在边BC上的点D’处。操作并探究：

  ①点D的对应点是？边DE的对应边是？∠DEF的对应角是？

  ②除了由折叠直接得到的DE=D‘E，你还能发现图中哪些线段相等？（引导学生发现EF也是四边形D’EFD的对称轴，故ED=ED‘，FD=FD’；进一步结合矩形对边相等，可能发现A’B与FC的关系）。

  ③折痕EF与DD‘有何位置关系？如何证明？

  此活动旨在巩固性质，并引导学生发现折叠常将图形一部分“搬移”到新位置，从而可能构造出新的特殊图形（如等腰三角形D’ED）。

  （3）模型初建，简单应用（约20分钟）

  基于以上探究，师生共同总结解决折叠问题的基本分析步骤（三步法）：

  第一步：识图。明确折叠对象（谁被折了？）、折叠方式（沿哪条线折？向哪折？）、落点位置（折到哪里了？）。

  第二步：寻痕。标出折痕，识别并标记所有对应点、对应边、对应角。这是解题的“生命线”。

  第三步：建模。利用折叠性质（全等、对称）及背景图形（四边形）性质，将所有已知和未知的几何量集中到某个基本图形（通常是直角三角形或全等三角形）中，利用勾股定理或比例关系建立方程求解。

  应用示例1（基础模型）：如图2，矩形ABCD中，AB=6，BC=8。将边AD沿折痕AE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处。求CE的长。

  师生共同分析：①识图：边AD被折，沿AE折，D落于BC上F点。②寻痕：折痕AE，对应点D与F，对应边AD=AF=8，DE=EF，对应角∠DAE=∠FAE，∠D=∠AFE=90°。③建模：设CE=x，则DE=EF=6-x。在Rt△ABF中，BF=√(AF²-AB²)=√(64-36)=√28=2√7，∴CF=BC-BF=8-2√7。在Rt△CEF中，由勾股定理：(6-x)²=x²+(8-2√7)²。解方程求x。

  此例巩固三步法，重点训练利用矩形性质和勾股定理建立方程。

  学生独立练习（变式）：若上题中，点F不是落在BC上，而是落在BC的延长线上（教师提供图形），其他条件不变，CE长度是否变化？如何求解？引导学生注意分类讨论意识。

  （4）课时小结与作业（约5分钟）

  小结：折叠的本质是轴对称；解题核心是找准“对应关系”；常用工具是全等与勾股定理；核心思想是方程建模。

  作业：完成学案上3道基础巩固题，涉及矩形、正方形的简单折叠求长度和角度。

  （二）第二课时：折叠之变——综合模型与深度探究（约45分钟）

  （1）回顾导入，模型进阶（约5分钟）

  简要回顾上节课的“三步法”及基本性质。提出：当折叠变得更加复杂，例如多次折叠、落点位置不“规矩”、或是在菱形等特殊四边形中折叠时，我们如何应对？本节课我们将挑战更综合的折叠模型。

  （2）探究一：矩形中的“折叠与直角三角形构造”模型（约15分钟）

  呈现经典模型：如图3，矩形ABCD，将∠C沿某条过点C的直线折叠，使点C的对应点C‘落在AD边上（或AD的延长线上）。折痕分别交CD（或BC）、BC（或CD延长线）于点E、F。

  问题链设计：

  ①观察图形，你能直接确定哪两个三角形全等？为什么？（△CEF≌△C‘EF）

  ②连接CC‘，折痕EF与CC’有何关系？

  ③如果进一步连接C‘与矩形顶点（如C’B），图中是否隐藏着更特殊的三角形？（引导学生发现Rt△C‘DF或Rt△C’AB）

  ④已知矩形边长和部分线段长，如何求折痕EF的长度？

  教师引导学生深度剖析：此模型的关键在于，折叠不仅创造了△CEF≌△C‘EF，还通过点C’落在AD上，将矩形的一个直角顶点“转化”到了AD边上，从而往往与AD边上的点构成新的直角三角形（如Rt△C‘DF或Rt△C’AB）。求折痕长EF，通常需要两次使用勾股定理：先在Rt△C‘DF（或其他含C’的Rt△）中求出C‘F（或相关线段），然后在Rt△CEF（或其全等形）中求EF。此处计算复杂，需细心。

  例题精讲（教师示范规范书写）：如图，矩形ABCD，AB=4，AD=6。将∠C沿EF折叠，使点C落在AD的中点C‘处。求折痕EF的长度。

  分析：利用C’是AD中点，得C‘D=3。在Rt△C’DF中，设DF=x，则C‘F=CF=4-x。由勾股定理：(4-x)²=3²+x²，解出x，进而得CF、C’F。过E作EG⊥BC于G，则四边形EGCD为矩形，EG=CD=4。在Rt△EGF中，GF=BC-BF-GC?（需先求BF）…此解法稍繁。更优解：认识到EF=CC‘/sin∠EFC？或连接CC’交EF于O，利用对称性，EF=2EO，在Rt△ECO中求解…教师展示不同解法，比较优劣，渗透优化意识。

  （3）探究二：菱形/正方形中的折叠（约15分钟）

  背景转换：将矩形换为菱形或正方形，折叠会产生何种独特性质？

  活动：小组探究。如图4，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6。将△ABC沿对角线BD折叠，使点C落在点C‘处，且C’在AD的延长线上。求重叠部分（即△BDE，其中E为BC‘与CD交点）的面积。

  小组讨论关键点：①菱形性质（边等、对角等、对角线性质）在折叠中如何体现？②折叠后，BC=BC‘=6，且∠C’=∠C=60°。③由∠A=60°，菱形边长相等，可推知△ABD和△BCD均为等边三角形。④点C‘在AD延长线上，结合∠C’=60°，可推断△C‘DE的形状？⑤求△BDE面积，可转化为求△BDC面积减去△BEC面积？或直接求△BDE（通常需要求其高）？

  教师巡视指导，选取小组代表展示思路。强调在特殊四边形中折叠，必须紧密依托该四边形的特殊性质（如菱形四边等、对角线垂直平分等）进行分析。

  （4）思维拓展：折叠中的“动点”与“最值”萌芽（约8分钟）

  提出挑战性问题：如图5，在边长为6的正方形ABCD中，点E是BC边上一动点。将△ABE沿AE折叠，得到△AB’E。连接B‘D。试探究：当点E在BC边上运动时，B’D长度的最小值是多少？

  教师引导分析：①折叠中，哪些量不变？AB‘=AB=6（定长），点B’的轨迹特征？②由于AB‘=AB=6为定值，点A为定点，根据圆的定义，点B’的轨迹是以A为圆心、6为半径的圆（的一部分，限于正方形内部及边界）。③问题转化为：圆A上一动点B‘，到定点D距离的最小值。即为：点D到圆A的最短距离=AD-半径=6√2-6。

  此环节旨在初步渗透“动中寻静”（寻找不变量）、“轨迹思想”以及“转化”（几何最值模型）等高阶思维，为学有余力的学生打开一扇窗，不要求全体掌握具体计算，重在感悟思想。

  （5）课时小结与作业（约2分钟）

  小结：复杂折叠需紧扣背景图形特殊性质；综合问题常需多步推理与计算；高阶问题需用动态眼光和不变量思想。

  作业：完成学案上的综合应用题2道，及一道选做的动点折叠思考题。

  （三）第三课时：折叠之用——专题突破与思维升华（约45分钟）

  （1）专题聚焦：折叠中的“方程思想”系统构建（约20分钟）

  开门见山：折叠问题中，未知几何量的求解，十之八九依赖于方程。本节课我们系统梳理如何高效设元、布列方程。

  方程来源类型归纳（师生共同总结）：

  类型一：直角三角形中的勾股方程。这是最常用、最核心的方程来源。关键：找准包含所求未知量和已知量的直角三角形。

  例题：矩形折叠中，求折痕长。通常需在折叠后形成的1个或2个直角三角形中连续使用勾股定理。

  类型二：全等三角形或相似三角形带来的比例方程。利用对应边成比例。

  例题：折叠产生相似图形（非全等）时，如平行线下的折叠。

  类型三：利用图形本身的性质关系（如矩形对边相等、菱形四边相等、面积法等）建立方程。

  例题：折叠后图形某部分周长已知，可通过周长关系建立方程。

  类型四：利用三角函数关系（正切、正弦等）建立比例方程。在直角三角形中，有时用三角函数列式比勾股定理更简洁。

  实战演练：给出一个综合性的折叠问题（如：矩形多次折叠，或折叠后产生直角梯形），要求学生分组讨论，尽可能多地找出不同的“设元-列方程”的途径，并比较其繁简。例如：如图，矩形ABCD，AB=8，BC=12。点E、F分别在AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A落在矩形内部的点A‘处，且A’到矩形两条邻边的距离之比为1:2。求折痕EF的最小可能长度。

  此题涉及设A‘到两边的距离为k，2k，利用A’在矩形内及折叠性质，可建立关于k和未知线段的关系，最终将EF表达为k的函数，求最小值。教师引导学生体验从几何条件到代数方程（组）再到函数最值的完整建模过程。

  （2）易错辨析与解题策略优化（约15分钟）

  呈现几类常见错误：

  ①对应关系找错。如将点A的落点A‘误认为是关于某条非折痕的直线的对称点。

  ②忽视背景图形限制。如默认折叠后点一定落在边上，未考虑可能落在延长线上或外部，导致漏解。

  ③计算失误。在复杂的多步勾股定理计算中出错。

  ④解法繁琐。未能选择最优的直角三角形或最简洁的等量关系列方程。

  策略优化讨论：

  策略一：折痕定位法。折痕往往是解题的“枢纽”。有时直接设折痕上关键点的坐标或线段长，能简化问题（在后续坐标系学习中深化）。

  策略二：整体与转化。求不规则图形面积，常用割补法，将其转化为规则图形面积的和差，而折叠常创造全等形，便于进行这种转化。

  策略三：对称补形。将折叠后的图形部分“翻折回去”考虑整个图形，或补全对称图形，有时能豁然开朗。

  学生活动：对一道错例进行诊断和优化解法。

  （3）素养提升：折叠问题与数学文化的联结（约8分钟）

  简要介绍折纸几何学。展示：利用正方形纸片，仅通过折叠，能否折出等边三角形？能否实现三等分一个角？（后者是著名的几何难题，但折纸可以做到，而尺规作图不能）。说明折叠（轴对称操作）本身蕴含了丰富的几何性质，甚至比传统的尺规作图能力更强。鼓励有兴趣的学生课后查阅“折纸数学”相关资料，将课堂所学与更广阔的数学世界联系起来。

  （4）单元总结与评价（约2分钟）

  引导学生用思维导图形式，从“折叠性质”、“知识关联（全等、勾股、四边形、方程）”、“解题策略（三步法、方程类型、优化策略）”、“思想方法（转化、数形结合、分类讨论、模型思想）”等方面总结本专题。预告下阶段学习内容：图形的另一种变换——旋转。

  五、教学评价设计

  （一）过程性评价

  1.课堂观察：记录学生在操作探究、小组讨论、回答问题时的参与度、思维深度及合作交流表现。

  2.学案完成情况：检查探究活动记录、例题旁注、变式练习解答，评估知识掌握与思维过程。

  （二）形成性评价

  1.课后作业分层设计：基础题（全体必做）、综合题（大部分必做）、探究题