小学数学三年级下册《数量关系·除法两步计算模型》大单元导学案

小学数学三年级下册《数量关系·除法两步计算模型》大单元导学案

一、教材与学情·全景解码

（一）【顶层定位·课标依据】本学案依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域第二学段“数量关系”主题设计，对应“在解决实际问题的过程中，理解并灵活运用乘除法的意义，尝试从数量关系的角度思考，经历将现实问题抽象为数学模型并解释与应用的过程”。本课处于除数是一位数除法的应用深化期与复合问题解决的系统建构期，其内核已从单纯的“运算技能”跃迁至“模型意识”与“推理意识”的培育。

（二）【教材坐标·知识锚点】本单元隶属于人教版三年级下册第二单元（除数是一位数除法）及第四单元（两位数乘两位数）的综合应用板块，在整套教材中承担着“承上启下”的枢纽功能。承上：承接二年级表内除法、三年级上册归一归总问题的雏形认知；启下：为四年级上册除数是两位数的除法应用、四年级下册小数除法解决问题、五年级上册小数乘除法应用题乃至整个小学阶段复合应用题分析框架的建立提供“思维脚本”与“模型胚胎”。【非常重要】【高频考点】

（三）【真实学情·精准画像】基于课前前测与课堂观察数据，本班学生呈现“双基扎实、思维待启”的典型特征。优势：95%的学生能正确计算除数是一位数的除法，对“总数÷份数=每份数”“总数÷每份数=份数”有朴素感知。障碍点：其一，当情境中出现连续两次平均分或需要逆向推理总量时，35%的学生无法自主构建“中间问题”；其二，对于“包含除”模型中余数的处理（进一法/去尾法），40%的学生存在生活经验与数学规则脱节的现象；其三，仅12%的学生养成了解决问题后“回顾反思”的习惯。【难点】【核心障碍】

（四）【跨学科触点·真实情境】以“校园农场丰收节”为大单元驱动情境，联动劳动教育（蔬菜收获与装箱）、体育学科（接力赛分组）、美术学科（绘画作品布展），在真实任务中完成数学建模，实现从“解题”到“解决问题”的范式转型。

二、目标与评价·素养导航

（一）【迁移性目标·三维叙写】

1.【知识技能·模型建构】（基础）在“校园农场装箱”“艺术节展板布置”等具体情境中，能准确区分“连除”“归总”“包含除（进一/去尾）”三类问题的结构特征，独立完成分步列式与综合算式书写，清晰阐释每一步的运算意义及单位名称，正确率达85%以上。

2.【过程方法·思维可视】（核心）经历“提取信息—几何建模（直条图/线段图）—列式求解—验证调整”的完整问题解决周期；通过“数形结合”将文字叙述转化为图示语言，能针对同一问题提出两种或三种不同的解题策略，初步感悟解决同一类问题的通性通法。

3.【情感态度·应用意识】（重要）在跨学科项目式学习任务中，体会数学作为底层逻辑工具的强大解释力；在解决“余数取舍”类争议性问题时，经历质疑、辩论与共识达成，培养求真务实的理性精神与灵活应变的策略意识。【核心素养】【必会】

（二）【嵌入式评价·量规前置】

成功标准1：我能用“圈画关键句—画图讲故事—列式讲道理”三步法独立解答三步以内除法应用题。

成功标准2：我能用“先求什么、再求什么”的句式向同伴清晰解释两种不同解法的思考路径。

成功标准3：在“至少/最多”类问题中，我能根据实际情况（装瓶、租车、裁剪）正确判断使用“进一法”或“去尾法”，并说明理由。

三、核心概念与模型图谱·应列尽罗

本学案打破传统一课一时的碎片化编排，将“除法两步计算”整合为三大模型板块，共计九个典型课例，本次导学案聚焦前三课时，但呈现完整知识谱系：

（一）【模型群组A·等分递推模型】（连除与带小括号的乘除混合）

A1连除结构：总数÷两次平均分→每份量。如：60人÷2队÷3组=每组人数。【基础】【必会】

A2乘除混合（先乘后除）：先求总组数（2×3），再求每份量（60÷6）。【重要】【思维优化】

A3带小括号书写规范：60÷(2×3)的算理阐释及括号优先级。【高频易错点】

（二）【模型群组B·总量不变模型】（归总）

B1归总典型结构：单价×数量=总价（不变）→新单价×新数量=总价（匹配）。【非常重要】【核心模型】

B2逆思维归总：已知新单价与新数量，反推原单价或原数量。

B3线段图双变量对应：单价与数量成反比关系的直观渗透（不出现术语）。

（三）【模型群组C·包含取舍模型】（有余数除法应用）

C1进一法：运货物、租车、装订→余数需占一个新份。【热点】【生活应用】

C2去尾法：裁剪布料、包装礼盒、买文具→余数必须舍去。【难点】【思辨焦点】

C3综合辨析周：根据具体语境词（“至少”“最多”“正好”）自主建模。【高频考点】

四、教学实施过程·思维生长全息记录

本部分采取“问题链·活动群·思维阶”三维并进结构，以第二课时“归总模型：总量不变背后的数学守恒”为切片，呈现完整25分钟核心推进环节。全流程渗透“教—学—评”一致性，并标注【重要等级】与【考频指数】。

（一）【锚定场·前测唤醒】——“超市小当家”预学分享（3分钟）

活动描述：课件呈现“文具促销”对比情境。信息A：小明带了36元，买6元一个的碗，正好买6个。信息B：妈妈调换了方案，用同样的钱买9元一个的碗。问题：能买几个？

教学行为：教师快速调取预学单，选取两份典型作品投屏展示。

作品1（算术思维）：6×6=36（元），36÷9=4（个）。【基础】

作品2（函数思维萌芽）：6元是9元的2/3，个数应该是6个的2/3？6÷3×2=4（个）。（注：此作品仅作思维激励，不作统一要求）

【核心追问】“刚才两位同学的列式不一样，为什么第一步都先算6×6？这一步骤在讲一件什么事？”【非常重要】

预设生：都是在算“妈妈一共带了多少钱”。

师追：“钱总数在题目里写出来了吗？”

预设生：没有，是藏起来的，需要我们自己先找出来。

【教师模型命名】在两步计算除法应用题中，当总量不变时，我们必须先把它“算”出来，它就是连接两个条件的“桥梁”，数学上我们称之为“中间问题”。【核心必会】

（二）【建构场·双题对比】——线段图里的“变与不变”（7分钟）

1.原题精加工：出示例9主体情境（多媒体动态演示：6元一个的碗与9元一个的碗切换）。

【建模支架】教师示范线段图第一段绘制：用一条直条表示“总钱数”，这条直条对应6个6元。学生独立在任务单上完成第二段线段：总钱数不变，直条等长，被平均分成若干个9元。【热点】【必操作】

2.变式一（逆向归总）：妈妈带了36元，买9元一个的碗能买4个。如果买6元一个的碗，能买几个？

【对比性问题】“这两个问题明明数字不同，为什么解题的第一步都用乘法？”

小组合作学习（2分钟交流）：学生通过观察两条线段图的总长度完全重合，发现“总钱数”是解题的钥匙。【重要】

3.变式二（隐蔽总量）：教材第74页第12题改编。青蛙一天吃27只害虫，燕子每天吃的害虫比青蛙的3倍少5只。燕子3天吃的害虫，青蛙需要几天吃完？

【跨学科渗透】引入生物学科食物链能量传递概念，将“总量=青蛙一天吃害虫数×天数”植入情境。本题总量（燕子3天吃的总数）需要通过两步乘加（27×3-5=76，76×3=228）先求得，再用除法（228÷27）取整（有余数采用进一法得9天）。本题作为思维拓展题，标记为【高阶思维】【融合题】。

（三）【深潜场·模型泛化】——“找不变”大搜索（6分钟）

活动组织：提供四组无背景纯数量关系卡片，学生判断是否适用“归总模型”。

卡片1：工程队修路，原计划每天修5米，8天修完。实际每天修10米，实际修了几天？（是，工作量不变）

卡片2：印刷厂装订练习本，每本20页可以装订400本。如果每本25页，可以少装订多少本？（是，总页数不变，但问题为差比，需两步计算后做减法）【高频变式】

卡片3：小华读一本书，每天读12页，6天读完。小军每天读8页，他读完这本书需要几天？（是，总页数不变）

卡片4：一辆汽车3小时行驶180千米，照这样计算，5小时行驶多少千米？（否，此为归一模型，速度不变，不是总量不变）

【判断标准】教师提供句式支架：“我认为这道题适用/不适用归总模型，因为题目中_____是不变的，所以第一步要先求出_____。”【必会句式】

（四）【争议场·进一去尾】——当“正好”与“至少”狭路相逢（6分钟）

此环节为第三课时前置诱思，但提前植入认知冲突，体现大单元整体教学。

情境：学校食堂运来50千克面粉。

任务A：每个袋子最多装4千克，至少需要多少个袋子才能全部装完？

任务B：每个月饼需要面粉0.3千克（转化为整数60克），50千克面粉最多可以做几个月饼？（三年级暂未学小数除法，此处改为整数除法：每个礼盒需要6个苹果，有50个苹果，最多可以装满几个礼盒？）

【辩论擂台】为什么同样是50÷4，任务A得13（50÷4=12……2，12+1=13），任务B却得12？（结果取12，余数2舍去）

【共识提炼】教师不直接公布答案，而是引导学生关注问题中的核心词——“至少”意味着不能遗漏任何一个，余下2千克也需要一个袋子，所以用进一法；“最多”意味着必须完整装满，不够一盒的不能算，所以用去尾法。【难点突破】【高频考点】

【跨学科链接】引用劳动技术课程中“布料裁剪”原则——从一块布中剪圆形杯垫，不可能把边角料拼接成一个完整圆，初步渗透“材料不可拼接”的工程思维。

（五）【迁移场·数学戏剧】——“我是问题发明家”（3分钟）

提供算式“96÷(24÷4)”，要求学生为这个算式设计一个现实生活中的数学故事。

【作品典型】学生A：妈妈买了4斤苹果花了24元，96元能买多少斤？【归总思路】

学生B：有96名同学春游，每辆车坐4人需要24辆车，如果改成大车每辆坐24人，需要几辆车？【错误归因分析：学生对运算顺序理解有偏差，将24÷4理解为每辆车实际人数，需现场辨析】

此环节不追求完美答案，重在暴露思维，教师捕捉典型资源用于下一课时导入。

五、板书设计·思维地图

全课板书由师生共建，以“磁场”形态呈现，不使用表格，以图形与箭头串联：

画面左侧：线段图双条并列，第一条等分为6段标6元，总括线标“？元”；第二条等分为4段标9元，总括线与上条对齐。

画面中央：红色粉笔书写核心问题“变的是什么？不变的是什么？”下方呈现正反馈箭头：单价×数量=总价（不变）→新总价÷新单价=新数量。

画面右侧：留白区，张贴学生生成的不同解法便利贴，顶端书写模型名称【归总·总量不变】。

底端画龙点睛：用思维导图形式呈现“两步计算除法应用题一般分析法”：读题→找总量（隐藏）→算总量→用总量→回头检验。【必会程序】

六、练习与作业·精准分层

（一）【课堂达标·基础关】（必做）

1.教材第72页“做一做”：小林用小棒摆了8个三角形，如果用这些小棒摆正方形，能摆几个？（归总，总数24根不变）【基础】

2.李阿姨买了3千克苹果花了24元，王叔叔想买5千克这样的苹果，需要多少钱？（归一，先求单价）【对比辨析】

（二）【生活实践·应用关】（选做，二选一）

3.【项目式学习】调查家里一周的饮用水消耗量（桶装水或升数），计算如果换成小瓶装（550ml）需要多少瓶？如果换成大瓶装（1.5L）需要多少瓶？分别使用进一法还是去尾法？撰写一份50字的“家庭节水采购建议书”。【跨学科】【真实任务】

4.【数学小实验】用50粒黄豆模拟“装袋”，分别设计一个“至少需要几个袋”和一个“最多能装满几袋”的情境，拍摄视频讲解区别。

（三）【思维挑战·拓展关】（鼓励尝试）

“一根绳子对折3次后，每段长5米，绳子原来长多少米？”【逆向归总·高阶】先求对折3次后段数（2×2×2=8段），再求总长（8×5=40米），涉及连乘与还原思想。

七、教学反思·前瞻预设

本设计以“模型思想”为魂，以“数量关系”为骨，将原本孤立的除法两步计算问题，重构为具有内在逻辑关联的“模型群”。亮点在于将“中间问题”从解题步骤升华为可迁移的数学思维方式，并通过线段图的“长度守恒”深刻揭示归总问题的代数本质。需警惕的是，在倡导一题多解时，部分学困生可能陷入“方法越多越混乱”的认知负荷，故在课堂实施中强调“优化意识”——虽然路径不同，但都需先求总量。后续补偿性教学将聚焦在“小括号”使用的规范性上，防止出现60÷2×3=10的错误约分思维。此外，对于“进一法”“去尾法”的思辨，本课仅作引信，第三课时将以专题辩论赛形式深度展开，设计“该不该为这2千克面粉多买一个袋子？（成本意识）”“剩下的布料真的毫无价值吗？（环保视角）”等伦理议题，实现从“数学计算”到“价值判断”的育人跨越。

八、单元作业设计总览（全单元概览，仅在本学案末尾做方向性指引）

第一课时（连除模型）：完成数学书对应习题，并用画图的方式表示60÷2÷3与60÷(2×3)的含义，在图中标出先算哪部分，再算哪部分。【基础】

第二课时（归总模型）：如上分层作业。【核心】

第三课时（有余取舍）：寻找生活中的3个“进一法”和3个“去尾法”例子，用照片或文字记录下来，并说明如果不用这个方法会有什么麻烦。【热点】【实践性】

第四课时（单元整理）：制作“除法应