广播电视大学电大高等数学复习资料专科

高等数学期末复习

1、求函数的定义域：1)含有平方根的：被开方数20,2)含分式的：分母羊0

含对数的：真数＞0

J9-X2

例：1.函数)，=、的定义域是

In(x-l)

9-x2>0-3<x<3

x—1>0n«x>1n1vx<3且xw2

ln(l)。02

2、函数的对应规律

例：设/(x+l)=d+3%+4,求/(x)

解：因为/()中的体现式是x+l,可将等式右端表示为X+1的形式

/(x+l)=(x+l)~+x+3=(x+l)~+(x+1)+2=>f(x)-x~+x+2

2

或：令K+l=z=x=1-l贝旷(，)二。-1)2+3(r-l)+4=r+z+2=/(%)=/+x+2

3、判断两个函数是否相同：定义域相同及对应规律相同

例：1、下列各函数对中，(B)中的两个函数相同

A、y=(y/x)2,y=xB、y=———-,y=x+\

x-\

C、y=lnx2,y=21nxD、y=sin2x+cos2x,y=\

4、判断函数的奇偶性:若〃r)=〃x),则〃断为偶函数;若/(一力=一〃力，则/(力为奇函数,

也能够依照某些已知的函数的奇偶性，再利用“奇函数土奇函数、奇函数x偶函

数仍为奇函数；偶函数±偶函数、偶函数x偶函数、奇函数x奇函数仍为偶函数”的性质来判断。

奇函数的图像有关原点对称，偶函数的图像有关y轴对称。

例：下列函数中，(A)是偶函数

A./(x)=x3sinxB.〃x)=Y+l

C./(x)=av-a~xD./(x)=dcos大

5、无穷小量：极限为零的变量。性质：无穷小量和有界变量的积仍是无穷小量

例1）：当初Xf0,下列变量为无穷小量的是（B）

A、cosxB、ln（l+x）C、x+1D、ex

2）limAsin—=0____________

XT°x

6、函数在一点处极限存在的充要条件是左右极限存在且相等

\x\

lim-=(D)

XTOx

A、1B、——1C、±1D、不存在

01)约去零因子后再计算

7、极限的计算：对于“不”形、珀।出示,珅阳厂sinx

02)利用重要极限〃〃----=11

3X

/S).1、..Jx+l—1..X..11

例1)hn--------=lin-------=1m/——=—

xr°x(Jx+l+l)i°Jx+l+l2

八、sin(x-l)..sin(x-l)1sin(x-1)1..sin(x-l)1,1

2)lim—----—=hm----------=lim--------------=----------lim——-----=—xl=—

ir+2工一3x^](x+3)(x-l)i(x+3)(x-1)lim(x4-3)i(x-1)44

X->1

8、导数的几何意义：/（X。）表示曲线），=/*）在点处的切线的斜率；

f

曲线》=/（幻在点（10，）"）处的切线方程〉一丁0=/（A0）（x-x0）

例：曲线/（x）=+1在（1,2）处的切线斜率是.

解：（⑴故切线方程为：y-2=^（x-\）

9、导数的计算：复合函数求导标准：曰外向内，犹如剥笋，层层求导

例1)设y=Insinx2,求y,.

解：yr=—!—-cosx2-2x

sinx2

例例设y=cosy/x—e~x,求dy

1.

解;dy=(-7=sm\[x+2xeX)dx

2五

10、判断函数的单调性：V>0:函数单调递增，满足关系式的区间为单调递增的区间。

），'<0:函数单调递减，满足关系式的区间为单调递减的区间。

例：.函数丁=(犬+1)2+1的单调减少区间是

y'=2(x+1)<0=>xv—1故单调减少区间是(—co,—1)

11、应用题的解题步骤：1)依照题意建立函数关系式，2)求出驻点(一阶导数=0的点)，3)依照题意直接回答

例1)求曲线y2=2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短.

解：曲线y2=2x上的点到点4(2,0)的距离公式为

J=7(X-2)2+/

d与42在同一点取到最小值，为计算以便求12的最小值点，将),2=2x代入得

d2=(x-2)2+2x

令

M2),=2(X-2)+2

令(d2y=o得X=I.能够验证x=l是I?的最小值点，并由此解出)，=±JI,即曲线V=2x上的点(1,、历)和点

(1,-V2)到点4(2,0)的距离最短.

2)某制罐厂要生产一个体积为勺无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？

解：设容器的底半径为厂，高为〃，则其表面积为

S=兀+2兀rh

因为

,V

nr~h=Vh=——

nr

因此

S2+生

r

2V

S'=2仃一一-

厂

由S'=(),得唯一驻点厂=@,此时九=《，由实际问题可知，当底半径〃=箱和高〃二产时可使用料

最省.

12、不定积分与原函数的关系:

sinInx.

例3)计算J------d.v.

x

解;f/dx=jsin(lnx)d(lnx)=-cos(lnx)+c

Jx

\xnexdx

2)分部积分的常见类型：|犬"sinxdx^＞把/心、sin.以八cosx公凑成du的形式。

Jxncosxdx

JLInxdx=＞把("dv凑成du的形式，再依照分部积分公式judv=wv-jvdu计算

例1)计算，加一“公

解：Jxe~xdx=-jxe~xd(-x)=-jxd(e~x)=~{xe~x-Je~xdx]=-xe~x-e~x+c

例2)计算不定积分卜cos3xdx

解：Jxcos3^dlv=^|xcos3xd(3x)=jxJ(sin3x)=g[xsin3x-jsin3AZZV]=^[xsin3x+gcos3x]+c

例3)计算jln(x+\)dx=xln(x4-l)-|jiJln(x+1)=xln(x+l)-JXdx=xln(x+1)-J(，*：

=xln(x+D-J(1--！―j-)<Zr=xln(x+l)-x+ln|x+l|+c

b

15、定积分的牛顿莱布尼兹公式：设F(x)是f(x)的一个原函数，则「/(幻，/二尸(幻=F(b)-F(a)

Jaa

例：若尸(x)是/(x)的一个原函数，则下列等式成立的是(B)

A.J：/(XMY=£(X)B.£'/(A-^=F(X)-F(^)

C.£F(X)6^=/(Z7)-/(67)D.f\x}dx=F{b}-F\a)

16、奇偶函数在对称区间上的积分：

若/(x)是奇函数，则有J：/(x)公=。

若/(x)是偶函数,则有匚/(无世=2£/(工9=2］：〃1处

x

例1)：~^dx=

r+1)~

分析：一J为奇函数，因此「一匚宓二0

-+1）2

例2）=

2

分析：・・・国为偶函数故：^\x\dx=2\\dx=x1；）=1

17、定积分的计算：I）凑微分，2）分部积分；

定积分的凑微分和不定积分的计算相同。

例1）计算戊

X

解：利用凑微分法,L次二m得

厂\x）

\_

=-ex\^=e-\Je

例2)计算定积分J：

解：利用凑微分法,得

「犷426j/«=26"|；=2(6壶-4

定积分的分部积分与不定积分的计算基本相同:

bba

定积分的分部积分公式:(udv=uv-vdu

7a

例1）计算（收小公

解：^xe~2xdx=(MQ-ZX)=-^[xe~2x

~2xdx]=--[e~2+-e1