2025北京八一学校高三（上）开学考数学试题及答案

高中2025北京八一学校高三（上）开学考数学2025.8注意：本试卷共4页，考试时长120分钟，总分150分，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分．每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合A=xx≥2, B=A. B. C. D.2.复数（是虚数单位）在复平面上所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列函数中，是偶函数且在上为增函数的是（）A. B. C. D.4.函数的一条对称轴为（）A. B. C. D.5.已知抛物线上一点到其焦点的距离为4，则（）A.3 B. C.6 D.6.已知等比数列满足，，则的公比为（）A.或 B.或C.或 D.或7.已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）A. B. C. D.8.如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（）A.5 B.10 C.13 D.269.的三个内角，，所对的边分别为，，，在边上，且，，，，则（）A. B. C. D.10.设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（）A.(0，2) B.(0，2] C.(2，+∞) D.[2，+∞)第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.在的展开式中，的系数为_____．（用数字作答）12.若双曲线的离心率为，则实数__________．13.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是________.14.定义在上函数满足，且当时，，则使得在上恒成立的的最小值是______________．15.如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的上底面上的一个动点（含边界），分别是棱上的中点，有以下结论：①在平面上的投影图形的面积为定值；②平面截该正方体所得的截面图形是等腰梯形；③的最小值是；④若保持，则点在上底面内运动路径的长度为．其中正确的是__________．（填写所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.设函数，其中向量，．（1）求函数的最小正周期与单调递增区间；（2）在中，、、分别是角、、的对边，已知，的面积为，判断的形状，并说明理由．17.如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点．（）求证：．（）求二面角的余弦值．（）若平面，求的值．18.某甜品店为了解某款甜品的销售情况，进而改变制作工艺，根据以往的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如右图所示.假设每天的销售量相互独立，用频率估计概率.（1）估计某一天此款甜品销售量不超过个的概率；（2）用表示在未来3天里，此款甜品日销售量多于个的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（3）该店改变了制作工艺以后，抽取了连续30天的销售记录，发现这其中有20天的销售量都大于70个，问：根据抽查结果，能否认为改变工艺后，此款甜品的销售情况发生了变化，说明理由.19.已知点在椭圆：上.（1）求椭圆的方程和离心率；（2）设直线：（其中）与椭圆交于不同两点E，F，直线AE，AF分别交直线于点M，N.当的面积为时，求的值.20.已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若，讨论函数的单调性；（Ⅲ）当时，恒成立，求的取值范围.21.给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”.（1）设是首项为1，公比为的等比数列，，，判断数列是否与接近，并说明理由；（2）设数列的前四项为：，，，，是一个与接近的数列，记集合，求中元素的个数；（3）已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与接近，且在，，，中至少有100个为正数，求的取值范围.

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分．每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．12345678910AABDCDACBA第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.【答案】40【详解】利用通项公式，，令，得出的系数为考点：本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.12.【答案】2【详解】，.渐近线方程是.13.【答案】96【详解】试题分析：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种考点：排列、组合及简单计数问题14.【答案】【分析】由题设递推关系及已知区间解析式，分析可得分段函数在上有，应用数形结合的方法求参数m的最小值.【详解】由题设知，当时，，故，同理：在上，，∴当时，.函数的图象，如下图示：在上，，解得或.由图象知：当时，.故答案为：.15.【答案】①④【分析】根据正方体的结构特征以及空间中点、线、面的位置关系逐项判断即可.【详解】对于①，过点向引垂线，交于点，连接QC,QD，由正方体的性质可知，在平面上的投影图形为，当在上底面运动时，的面积保持不变，其面积为，故①正确；对于②，取的中点，连接，取的中点，连接EN,FN,FM，因为分别为的中点，所以，且FM=DC，由正方体性质可知，，且，所以，且，即四边形ABMF为平行四边形，所以，因为E,N分别为BC,CM中点，所以，即有AF//EN，所以A,F,N,E四点共面，所以平面截该正方体所得的截面图形是梯形AFNE，因为|AE|=22+|AE|≠|FN|，故梯形AFNE不是等腰梯形，故②不正确；对于③，延长FD1使得FD所以|PE|+|PF|=|PE|+|PH|≥|EH|，当P,E,H三点共线时，取到最小值|EH|，因为|EH|所以|EH|=14,即的最小值是，故③不正确；对于④，取中点，连接EG,PG，由正方体性质可知，EG⊥PG，因为|EP|=22，|EG|=2所以由|EP|2=|EG所以点在上底面内运动路径是在正方形内以为圆心，2为半径的一段圆弧，如图，由GC1=1·|NG|=2，可得所以圆弧的长度为2×π3故答案为：①④.三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.【答案】（1）；（2）直角三角形【分析】（1）利用向量的数量积运算将函数的解析式化简，即可求解；（2）首先求出角，再利用三角形的面积公式及余弦定理即可求解.【小问1详解】向量，，，函数的最小正周期为；令，则，函数的单调递增区间为；【小问2详解】是直角三角形.理由如下：，，，，，，，的面积为，，，，，由余弦定理得，，，是直角三角形.17.【答案】（1）见解析；（2）余弦为；（2）.【详解】试题分析：（1）要证，可以先证明垂直于所在的平面；（2）可以用向量法解决，取的中点，连接，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面、平面的法向量，并求出法向量的夹角的余弦值，进而得到二面角的余弦值；（3）因为平面，只需，利用即可求出的值.试题解析：（1）由于平面平面，为等边三角形，为的中点，则，根据面面垂直性质定理，所以平面，又平面，则．（2）取的中点，连接，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，，由于平面与轴垂直，则设平面的法向量为，设平面的法向量，则，二面角的余弦值，由二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为．（3）有（1）知平面，则，若平面，只需，，又，解得或，由于，则．考点：1、线线垂直；2、线面垂直；3、二面角.【思路点晴】本题是一个有关线线垂直、线面垂直、二面角方面的综合性问题，解决本题的基本思路是：对于（1）要证，可以先证明垂直于所在的平面；对于（3）在建立直角坐标系之后，解决问题的关键是要正确求出平面的法向量和平面的法向量，之后再根据向量夹角的公式就可求出二面角的余弦值；对于（3）在前两问的基础上，只需由即可求出的值.18.【答案】（1）0.4（2）分布列见解析，1.8（3）可以认为此款甜品的销售情况发生了变化，理由见解析【分析】（1）根据频率估计概率计算得解；（2）根据，求出分布列及均值；（3）设表示“30天内日销售量大于70个的天数”，计算的均值可判断.【小问1详解】设事件为“某一天此款甜品销售量不超过个”，所以．【小问2详解】根据题意，则，，，，所以的分布列为所以.【小问3详解】可以认为此款甜品的销售情况发生了变化.设事件表示“日销售量大于70个”，用表示“30天内日销售量大于70个的天数”，由直方图可得，又，所以，所以可以认为此款甜品的销售情况发生了变化．19.【答案】（1），（2）或【分析】（1）将点代入即可求解椭圆的方程，再利用离心率公式即可求解；（2）联立，整理得，结合韦达定理，求出点M，N的坐标，可知代入即可求解.【小问1详解】将点代入，解得，所以椭圆的方程为又，离心率【小问2详解】联立，整理得设点E，F的坐标分别为，由韦达定理得：，直线AE的方程为，令，得，即直线AF的方程为，令，得，即所以的面积即，解得或所以的值为或20.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）根据导数几何意义求出导数即为斜率，根据点斜式写出直线方程；（Ⅱ）由题意得，讨论根据判定其单调区间；（Ⅲ）法一：由题意得，讨论根据单调性判定是否成立即可得出答案；法二：原命题等价于在上恒成立，用参变分离法求出函数最值.【详解】（Ⅰ）当时，，，所以切线方程为：，即：；（Ⅱ）由题，可得由于，的解为，（1）当，即时，，则在上单调递增；（2）当，即时，在区间上，在区间上，，所以的单调增区间为；单调减区间为.(3)当，即时，在区间上，在区间上，，则在上单调递增，上单调递减.（Ⅲ）解法一：（1）当时，因为，所以，，所以，则在上单调递增，成立（2）当时，，所以在上单调递增，所以成立.（3）当时，在区间上，；在区间，，所以在上单调递减，上单调递增，所以，不符合题意.综上所述，的取值范围是.解法二：当时，恒成立，等价于“当时，恒成立”.即在上恒成立.当时，，所以.当时，，所以恒成立.设，则因为，所以，所以在区间上单调递增.所以，所以.综上所述，的取值范围是.【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.21.【答案】（1）数列与接近，理由见解析（2）3或4；（3）.【分析】（1）计算出，时，，满足对任意，，数列与接近；（2）与接近，，则，，，，分三种情况，当时，时，，时，求出中元素的个数为3或4；（3）推出，，若，则恒成立，不合要求；若，令，，满足，数列与接近，且为奇数时，至少存在、、、这100个数为正，从而得到的取