2025北京三十五中高三10月月考数学试题及答案

高中2025北京三十五中高三10月月考数学2025.10一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，集合，若，则（）A. B. C. D.2.下列函数中，在R上为增函数的是（）A. B. C. D.3.已知，，，则（）．A. B. C. D.4.在的展开式中，的系数为（）A. B. C. D.5.已知角α的终边上有一点P（sin，cos），则tanα=（）A. B. C. D.6.已知函数的图象是连续不断的，且的两个相邻的零点是，，则“，”是“，”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.函数的图象可能是（）A.B.C. D.8.马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.已知当该飞行器所处高空的音速为，最大速度对应的马赫数分别为6和11时，燃料的质量分别为和，则下列结论一定正确的是（）A. B. C. D.9.函数的导数仍是的函数，通常把导函数的导数叫作函数的二阶导数，记作，类似的，二阶导数的导数叫作三阶导数，三阶导数的导数叫作四阶导数……，一般地，阶导数的导数叫作阶导数，函数的阶导数记为，例如的阶导数.若，则（）A. B.2026 C. D.202510.若对，，使得成立，则称函数满足性质，下列函数不满足性质的是（）A. B.C. D.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域是_________．12.已知复数满足，则的虚部为______.13.请写出一个值，使命题“，使”为假命题，则______.14.在数列中，，．数列满足（）.若是公差为2的等差数列，则的通项公式为______，的最小值为______．15.已知函数给出下列四个结论：①存在实数，使为减函数；②的零点为0；③若存在实数，使有三个不同的解，则实数的取值范围为；④“”是“恰有2个极值点”的充要条件．其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在平面直角坐标系中，钝角的终边与单位圆交于点，角的终边逆时针旋转后与角的终边重合，角的终边与的终边关于轴对称.（1）求的值；（2）求的值.17.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间.18.某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快．开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为平方米，经过3个月其覆盖面积达到平方米．该生物覆盖面积（单位：平方米）与经过时间（）个月的关系适合函数模型（，）．（1）求出该模型的函数解析式；（2）问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的倍？（参考数据：，，月份保留到整数）19.已知函数（），.记，已知曲线在点处的切线方程为.（1）求实数，的值：（2）若直线既是曲线的切线又是曲线的切线，试判断的条数，并给出证明.20.设函数，直线是曲线在点（）处的切线.（1）当时，求的单调区间；（2）判断直线是否过点？并说明理由；（3）当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积.是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？21.对在平面直角坐标系第一象限内的任意两点，作如下定义：若，那么称点是点的“下位点”.（1）点是点的“下位点”吗？请简单说明理由.（2）若点是点的“下位点”，试判断，，之间的大小关系.（3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得点是点的“下位点”，且点是点的“下位点”，求正整数的最小值.

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.12345678910ACCAACACAD二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】解：因为，所以，解得且，故函数的定义域为；故答案为：12.【答案】由，得，所以的虚部为.故答案为：13.【答案】命题“，使”为假命题，则命题“，使”为真命题，所以，而在单调递减，在单调递增，而离比离远，所以当时，，所以.故答案为：6（答案不唯一）.14.【答案】因为，，，则，且是公差为2的等差数列，所以．又因为，当时，，且，则，且符合上式，所以，因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为．故答案为：；．15.【答案】对于①，，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；在上单调递减，要使为减函数，，无解，故不存在实数，使得为减函数；对于②，令，当时，，解得，当时，，解得，故②正确；对于③，由①知，要使有三个不同的解，则，，解得，，故③正确；对于④，时，在上单调递减，在单调递增，在单调递减，所以恰有2个极值点；当恰有2个极值点时，则需满足且，即，综上，“”是“恰有2个极值点”的充要条件，故④正确；故答案为：②③④．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）因为，，是钝角，所以.由于角的终边与的终边关于轴对称，所以，..（2）因为，所以..17.【答案】（1）若，则，，，，则切线方程为；（2）函数的定义域为.当时，令，解得.－0＋单调递减极小值单调递增当时，令，解得.－0＋单调递减极小值单调递增综上，当时，的单调递减区间是，单调递增区间是；当时，的单调递减区间是，单调递增区间是.18.【答案】（1）该生物覆盖面积（单位：平方米）与经过时间（）个月的关系适合函数模型（，），又经过2个月其覆盖面积为平方米，经过3个月其覆盖面积达到平方米，，解得，∴该模型的函数解析式为（）．（2），当时，，此生物的初始投放面积为平方米，设经过个月该水域的生物的面积是当初投放的倍，则，即，解得．，取，约经过个月，该水域中此生物的面积是当初投放的倍．19.【答案】（1）因为曲线在点处的切线方程为，所以，.，，∴.，，∴.综上，，.（2）设直线与的切点为（），，则切线斜率，切线方程为，即.设直线与的切点为，，则切线斜率，切线方程为，即.因为直线是公切线，所以，由①可得，代入②中，得，整理得，令（），，因为恒成立，所以，当时，为上的增函数，当时，为上的减函数，因为，所以在区间上存在唯一一个零点.因为，，所以在区间上存在唯一一个零点.综上，在上仅有个零点，即切线仅有条.20.【答案】（1）当时，，.令，得；令，得.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2），，方程为.若直线过点，则，即.设，，当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，所以只有这一个解，因为，所以恒成立，所以不存在过点的直线.（3）当时，，由（1）知，,所以（），由（2）知，恒成立，则有（）.若，则，即，即，令，则，由（2）知，恒成立，则为单调递增函数，又，则有唯一解.又