2025北京十四中高三（上）开学考数学试题及答案

高中2025北京十四中高三（上）开学考数学2025.8注意事项1.本试卷共6页，共21道小题，满分150分.考试时间120分钟.2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.答题不得使用任何涂改工具.出题人：高三备课组审核人：高三备课组第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集，集合，则（）A. B.C. D.2.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.3.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边位于第一象限，且与单位圆交于点，轴，垂足为.若的面积为，则（）A. B. C. D.4.下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是（）A. B.C. D.5.在中，若，，，则等于（）A. B. C. D.6.已知，则（）A. B.C. D.7.“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.制作一个容积为的圆柱形封闭容器，要使所用材料最省，圆柱的底面半径为（）A. B. C. D.9.已知函数，若，且函数的部分图象如图所示，则等于（）A. B. C. D.10.现有三枚质地均匀的骰子，分别为红色､绿色和蓝色.同时抛掷这三枚骰子，已知这三枚骰子朝上面的点数之和为15，设红色骰子掷出的点数为，绿色骰子掷出的点数为，下列结论中正确的是（）A.B.C.D.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分.11.复数的共轭复数______.12.函数的定义域是___________．13.在等差数列中，公差d不为0，，且成等比数列，则___________；当___________时，数列的前n项和有最大值．14.已知函数，若函数存在最大值，则的取值范围为______.15.已知无穷数列的前项和满足，其中为常数，且．给出下列四个结论：①实数；②数列为等差数列；③当时，对任意，存在，当时，；④当恒成立时，一定为递减数列．其中所有正确结论的序号是_____．三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数的最小正周期为.（1）求的值；（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调递增区间.17.在中，．（1）求A；（2）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.设为数列的前项和，为数列的前项积，已知（1）求的值；（2）求证数列是等差数列，并求出数列的通项公式；（3）求数列的通项公式.19.地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）.明年冬小麦统一收购价格（单位：元）概率表1假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率.（1）试估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率；（2）设地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元，求的分布列和数学期望；（3）地区农科所研究发现，若每亩多投入元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由.20.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最小值；（3）证明函数只有一个零点．21.已知数列：，，…，满足：（，2，…，，），从中选取第项、第项、…、第项（，）称数列，，…，为的长度为的子列.记为所有子列的个数.例如：0，0，1，其.（1）设数列A：1，1，0，0，写出A的长度为3的全部子列，并求；（2）设数列：，，…，，：，，…，，：，，…，，判断，，的大小，并说明理由；（3）对于给定的正整数，（），若数列：，，…，满足：，求的最小值.

参考答案第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.12345678910BDDDABACBC第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分.11.【答案】##【分析】根据复数除法的运算求出，再由共轭复数的概念求解即可.【详解】，所以，故答案为：12.【答案】且【分析】根据题意得到求解即可.【详解】由题知：且.故答案为：且.13.【答案】①.②.【分析】根据等比数列得到，解得，再计算，，得到答案.【详解】成等比数列，故，即，解得或（舍）.，,，，故时，有最大值.故答案为：；14.【答案】【分析】分段求出函数在不同区间内的范围，然后结合存在最大值即可求解【详解】当，在区间上单调递增，所以此时；当，在区间上单调递减，所以此时，若函数存在最大值，则，解得所以的取值范围为故答案为：15.【答案】①②④【分析】①利用首项条件，推导出与首项的关系，判断的符号；②通过递推关系或数学归纳法，验证其是否为等差数列；③结合等差数列的通项，分析当趋近于无穷时的增长趋势；④根据等差数列的通项，判断的关系，判断数列是否递减.【详解】对于①，当时，，移项可得，即，，，即，，故①正确.对于②，当时，，已知，则，等式两边同乘得，化简得，又，数列是以为首项，为公差的等差数列.故②正确.对于③，当时，则，由②可知数列是以为首项，为公差的等差数列，根据等差数列通项公式可得，或，取，则当n为大于等于3的奇数时，，当n为奇数且时，，对任意，不存在，当时，，故③错误.对于④，由②可知数列是以为首项，为公差的等差数列，，即，，.当时，，则，，，故一定为递减数列．故④正确.故答案为：①②④三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）.（2），.【分析】（1）化简的表达式，根据最小正周期求得的值；（2）根据三角函数图象的变换规律，可得的解析式，根据正弦函数的单调性，即可求得答案.【小问1详解】因为，所以的最小正周期,依题意得，解得.【小问2详解】由（1）知，把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，再把得到的图象向右平移个单位，得到的图象，即，由函数的单调递增区间为，,令，得，所以的单调递增区间为，.17.【答案】（1）或；（2）答案见解析.【分析】（1）由正弦定理边化角可得，即可求出结果；（2）若选①：根据已知可得为钝角，则为锐角，，三角形唯一，根据两角和的正弦公式可求出，根据正弦定理求出的值，根据即可求出面积；若选②：根据正弦定理可求出，为直角，三角形唯一确定，可求出，即可求出；若选③：由，可知或，有两解.【小问1详解】由可得，.因为，所以，又，所以或.【小问2详解】若选①：.因为，所以为钝角，为锐角，又，又，所以，即，所以存在且唯一确定.则，由可得..根据正弦定理可得，，所以；若选②：.因为，所以，由正弦定理可得，，因为，所以，所以存在且唯一确定.则，所以，；若选③：.因为，所以，此时或，所以，此时存在但不唯一.18.【答案】（1）；；（2）证明见解析，；（3）【分析】（1）代入，，计算得出；（2）由已知得，由题意得，进而证明数列是等差数列，由等差数列通项公式可得的表达式；（3）由（2）得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.【小问1详解】由已知得,且，,取,由得，取,，所以.【小问2详解】由已知条件知

，

①于是．

②由①②得．

③又，

④由③④得．令，由，得．所以数列是以为首项，为公差的等差数列．所以.【小问3详解】由（2）可得，，当时，,当时,，显然对于不成立，∴.19.【答案】（1）（2）分布列答案见解析，（3）建议农科所推广该项技术改良，理由见解析【分析】（1）计算出亩产量是的概率，结合表1以及独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知随机变量的可能取值有、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；（3）设增产前每亩冬小麦产量为，增产后每亩冬小麦产量为，则，设增产后的每亩动漫小麦总价格为元，计算出增产的会产生增加的收益，与比较大小后可得出结论.【小问1详解】解：由图可知，亩产量是的概率约为，亩产量是的概率约为，亩产量是的概率约为，估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率为【小问2详解】解：由题意可知，随机变量的可能取值有：、、、、，，，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：.【小问3详解】解：建议农科所推广该项技术改良，设增产前每亩冬小麦产量为，增产后每亩冬小麦产量为，则，设增产后的每亩动漫小麦总价格为元，分析可知，所以，增产的会产生增加的收益为，故建议农科所推广该项技术改良.20.【答案】（1）（2）（3）见解析【分析】（1）对求导，求出，由点斜式方程即可求出答案；（2）令，，得出在的单调性，结合零点存在性定理可得在上单调递增，在上单调递减，再比较的大小，即可得出答案.（3）利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理，讨论，和时，的正负，即可得出证明.【小问1详解】的定义域为，故，，所以曲线在点处的切线方程为：，化简得：【小问2详解】令，，当时，，所以在上单调递减，且，，所以由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使又当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，又因为所以函数在区间上的最小值为.【小问3详解】，，若，，所以在区间上单调递增，又，，结合零点存在定理可知，在区间有且仅有一个零点，若，则，则，若，因为，所以，综上，函数在有且仅有一个零点.【点睛】利用导数研究函数的零点，一方面利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题，转化为函数图象的交点问题，利用数形结合判断.21.【答案】（1）子列为：1，0，0；1，1，0；；（2），理由见解析；（3）.【分析】（1）根据的定义结合条件即得；（2）若是的一个子列，则为的一个子列.若与是的两个不同子列，则与也是的两个不同子列，得，同理，得，同理；（3）令，得数列中不含有0的子列有个，含有1个0的子列有k个，含有2个0的子列有个，，含有个0的子列有个，即可解决.【小问1详解】由的定义以及，可得：的长度为3的子列为：，有2个，又的长度为的子列有个，的长度为的子列有个，所以；【小问2详解】理由如下：若是的一个子列，则为的一个