2025北京十四中高三12月月考数学试题及答案

高中2025北京十四中高三12月月考数学第一部分（选择题，共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集，集合，则（）．A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.若圆截直线所得弦长为2，则（）．A. B.0 C.1 D.24.在的展开式中，的系数为（）．A. B.8 C. D.485.已知函数，则不等式的解集是（）A. B. C. D.6.在中，若，则的面积是（）A.1 B. C. D.7.已知为等差数列，，．若数列满足，记的前n项和为，则（）．A. B. C. D.8.在中，“为直角三角形”是“对于任意，”的（）．A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.在中，．P为边上的动点，则的取值范围是（）A. B. C. D.10.如图，在正方体中，点Q是棱上的动点，下列说法中错误的是（）．①存在点Q，使得；②存在点Q，使得；③对于任意点Q，Q到的距离为定值；④存在点Q，是锐角三角形．A.①③ B.②③ C.②④ D.①③④第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分．11.已知双曲线，则C的焦点到其渐近线的距离为______．12.是等边三角形，点D在边的延长线上，且，，则______；______.13.设抛物线的焦点为，准线为，则以为圆心，且与相切的圆的方程为_________.14.设函数，若，则的单调递减区间是_______；若的值域为，则的取值范围是________.15.对于数列，令，给出下列四个结论：①若，则；②若，则；③若对任意的，都有，则有；④存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形．（1）求证：∥平面；（2）若平面，求：（ⅰ）直线与平面所成角的正弦值；（ⅱ）点D到平面的距离．17.已知函数，其中.请从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定，并解答下列问题.条件①：；条件②：最大值为；条件③：在区间上单调，且最大值为；（1）求函数的对称中心；（2）若方程在区间内有且仅有1个实根，求m的取值范围.18.近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，2021年12月至2022年5月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）：12月1月2月3月4月5月轿车28.421.315.426.016.721.0MPV0.80.20.20.30.40.4SUV18.113.711.718.111.314.5（1）从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，求该月零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的概率；（2）从2022年1月至2022年5月中任选3个月份，将其中的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为X，求X的分布列和数学期望；（3）记2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量数据的方差为，同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到6个数据的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）19.已知椭圆过点和.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于不同的两点，直线交轴于点，直线交轴于点.若，求直线的方程.20.已知函数，．（1）求曲线在处切线的斜率；（2）求函数的极大值；（3）设，当时，求函数的零点个数．并说明理由．21.对任意正整数，记集合均为非负整数，且，集合均为非负整数，且．设，，若对任意都有，则记．（1）写出集合和；（2）证明：对任意，存在，使得；（3）设集合求证：中的元素个数是完全平方数．

参考答案第一部分（选择题，共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．题号12345678910答案CDDACDCBBD第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分．11.【答案】双曲线，即，，即，双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，双曲线的焦点到任意一条渐近线的距离相等，取焦点和渐近线，焦点到渐近线的距离，故答案为：2．12.【答案】如图所示，等边中，，所以.又，所以，即，解得，所以；由，即，解得.故答案为：；.13.【答案】由题,焦点为,准线为,则圆的半径,所以圆的方程为,故答案为：14.【答案】依题意，当时，，显然在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以的单调递减区间是，；由于在上的值域为，要的值域为，则当且仅当在上的值域包含，则有，即，此时在上的值域为，因此，解得，所以的取值范围是.故答案为：，；15.【答案】对于①，，，①正确；对于②，，令，则，当时，，则，，因此，②错误；对于③，由，得，当时，，则当时，，因此，.当时，，所以对任意的，都有成立，正确，对于④，假设存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立，则必有，且都是非负整数，令正整数，于是，则，，与矛盾，错误；故答案为：①③三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.【答案】（1）如图,在射线上取点,使,连接.由题设,得,所以四边形为平行四边形.所以且.又四边形为平行四边形,所以且.所以且..所以四边形为平行四边形,所以.因为平面平面所以平面.（2）（i）因为平面,平面，所以.又,所以,,两两相互垂直.如图建立空间直角坐标系,则.所以.设平面的法向量为,则即令,则.于是.设直线与平面所成角为,则所以直线与平面所成角的正弦值为.（ii）因为,所以直线与平面所成角的正弦值为.所以点到平面的距离为17.【答案】（1）依题意，，若选②，，解得或，当时，，当时，，因此选②，可以求得两个不同函数，不符合题意，即条件②不可选；于是选条件①③，由①知，，解得，，由③知，函数的最小正周期为，即，解得，，函数唯一确定，由，得，所以函数的对称中心为.（2）由（1）知，，由，得，当时，，依题意，在内有且仅有1个实根，则，解得，所以m的取值范围是.18.【答案】（1）这6个月MPV车型月度零售销量平均值为故MPV月度零售销量超过的月份为12月，4月，5月，所以从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，该月MPV零售销量超过的概率为.（2）从2022年1月至2022年5月，SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份有2个：3月和5月，所以的所有可能取值为，则，所以的分布列为012故的数学期望.（3）依题意，2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量分别为，其平均值为，所以轿车各月度零售销量与平均值的差约为，所以，同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到6个数据为，其平均值为，所以轿车与对应的各月度零售销量与平均值的差为，所以，故.19.【答案】（1）将点坐标代入椭圆的方程，得解得,所以椭圆的方程为：（2）若直线的斜率不存在，即直线为时，和重合，和点重合，分别为椭圆的上下顶点，此时，符合题意.若直线斜率存在，设直线的方程为，且，联立方程得，，即或，所以直线的方程为，取得，同理可得由得，即，所以，即，即即，因为，所以得，即，经检验符合题意，此时直线为综上所述，直线的方程为或.20.【答案】（1）由，知，即切点求导，则切线的斜率所以曲线在处切线的斜率为.（2）函数的定义域为，求导，令，得当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；故当时，函数取得极大值所以函数的极大值为（3）函数，求导，当时，，故函数在上单调递增，又，，所以方程在有且仅有一个根，即函数在有一个零点.当时，讨论函数的零点个数，即讨论方程的根的个数，即讨论方程的根的个数，即讨论函数与的交点个数，求导，令，得或当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；又，，又，所以函数与没有交点，即函数在上无零点.综上可知，当时，