2025北京北师大二附中高三10月月考数学试题及答案

高中2025北京北师大二附中高三10月月考数学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．复数满足，则在复平面内，对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列函数中，既是偶函数，又在区间上是减函数的是（

）A． B．C． D．4．已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（

）．A． B． C． D．5．设，则（

）A． B． C． D．6．已知正项数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前5项和为（

）A．10 B．15 C．30 D．317．已知为非零实数，且，则下列命题成立的是A． B． C． D．8．为等差数列的前项和，则“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．在平面直角坐标系中，，.已知点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．10．若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论：①线段长度的取值范围是；②存在点使得平面；③存在点使得.其中，所有正确结论的序号是A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②二、填空题11．函数的定义域为.12．已知向量，若，则的值为．13．若函数的部分图象如图所示，可得；将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，若在上恰有3个零点，则的取值范围为．14．设函数．若，则满足的的一个取值为；若恰有3个零点，则实数的取值范围是．15．数列为无穷非负整数数列，若对任意，均存在，且，使，则称数列为“完备数列”.给出下列四个结论：①若正项等差数列为“完备数列”，则首项一定为1；②若正项等比数列为“完备数列”，则公比一定为2；③若满足，则对任意，数列均为“完备数列”；④若满足，则数列为“完备数列”；其中正确结论的序号是.三、解答题16．已知函数.(1)求函数的单调递减区间；(2)当时，求函数的值域；17．已知函数．(1)求函数在点处的切线方程；(2)设函数，求函数的单调区间．18．如图，在四棱锥中，平面，，为棱PC上一点．平面ABE与棱PD交于点．(1)求证：为PD的中点；(2)求三棱锥的体积．19．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且．(1)求角B的大小；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得唯一确定，求的周长，条件①：条件②：条件③：边上的高是7．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．20．已知函数，其中．(1)求函数的单调区间；(2)设函数在区间上的最大值和最小值分别为，求使得不等式成立的的最小值．21．设正整数，对于数列，定义变换，将数列变换成数列：．已知数列满足．记．(1)若：，写出数列，；(2)若为奇数且不是常数列，求证：对任意正整数，都不是常数列；(3)求证：当且仅当时，对任意，都存在正整数，使得为常数列．

参考答案题号12345678910答案BABDADCDCD11．【答案】对于函数，有，解得且，因此，函数的定义域为.故答案为：.12．【答案】，，，，，解得.故答案为：.13．【答案】第一空：由图可知，周期，则，则，将点代入中得，，即，，，，当时，，故；第二空：将的图象向右平移个单位长度得到，再将图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到，，，在上恰有3个零点，，解得，则的取值范围为.故答案为：；.14．【答案】当时，，当时，由，得，则，所以，当时，由，得，，所以或，解得或，因为，所以，综上，所以满足的的一个取值可以为（取内任意一个数即可）；当时，方程无解，所以不可能有3个零点，所以，当时，由，得（舍去），当时，由可得或，因为恰有3个零点，所以，解得，实数的取值范围是.故答案为：（取内任意一个数即可）；15．【答案】若正项等差数列为“完备数列”，则，公差，又为非负整数数列，对任意，均存在，且，使，若，则必有，故不成立，矛盾，所以，①对；若正项等比数列为“完备数列”，如，此时公比为1，显然满足对任意，均存在，且，使，②错；当，则，，，，，，所以是以3为周期，即项周期性出现，显然为奇数时，不可能成立，③错；由，则数列为，该数列中，相邻两项间缺失的自然数都可以由前项选出其中的项相加(同一项不重复相加)得到，所以对任意，均存在，且，使，④对.故答案为：①④16．【答案】（1）依题意得，由，解得，所以函数的单调递减区间是.（2）由（1）知，当时，，则，则，所以函数的值域是.17．【答案】（1）由题知，的定义域为，则，所以，又，所以函数在点处的切线方程为，即.（2）由题知，，其定义域为，则，所以当时，，在上单调递增；当时，令，，令，，此时在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间；当时，的单调递增区间为，递减区间为.18．【答案】（1），又平面、平面，平面，又平面，平面平面，，又，四边形为平行四边形，，，，，为的中位线，故为PD的中点.（2）平面，为PD的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，即，又、平面，平面，点到平面的距离为，又，，又，故三棱锥的体积为.19．【答案】（1）由余弦定理和三角形面积公式，，，已知，则，所以，由，得.（2）若选择条件①和条件②：在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，有，，，由，得，，由正弦定理和，，，，周长为.若选项条件①和条件③：在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，有，，边上的高是7．由，得，，边上的高是7，则有，即，得，，，周长为.若选择条件②和条件③：在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，有，，边上的高是7．边上的高是7，则有，又，则有，由正弦定理有，则，不合题意，此时不存在.20．【答案】（1）由，则，当时，，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，令，得，若，由，得；由，得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；若，由，得；由，得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为．综上，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由（1）知，当时，函数在区间单调递增，当时，，当且仅当，即时等号成立，则函数在上单调递增；当时，，当且仅当，即时等号成立，则函数在区间单调递增.综上所述，函数在区间单调递增，所以．由，得，令，则，由，得或．当变化时，与的变化情况如下表：1+0-0+↗极大值↘极小值↗所以在和上单调递增，在上单调递减．又因为，，且，所以当时，；当时，．即当且仅当时，恒成立，所以使得成立的的最小值为2．21．【答案】（1）由题意可得；.（2）证明：设，其中．假设存在正整数，使得是常数列，由不是常数列，不妨设不为常数列且为常数列，记，则．令当时，因为，且，所以．故．此时为常数列，矛盾．另法：①若，则，有此时为常数列，矛盾．②若，则，有，矛盾．综上，对于任意正整数，都不是常数列.（3）首先证明，若，其中，则存在项的数列，使得对任意的正整数都不是常数列．证明：构造项的数列，其中，构造项的数列对任意的正整数，设，则由于不是常数列，故不是常数列．其次证明：若，其中，对任意，都存在正整数是常数列．证明：