2025北京北师大燕化附中高三（上）开学考数学试题及答案

高中2025北京北师大燕化附中高三（上）开学考数学【说明】试卷满分150分考试时间120分钟一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把正确的答案涂在答题卡中相应的位置.1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知，则（）A. B.0 C. D.3.已知，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.4.在平面直角坐标系中，动点在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点的初始位置坐标为，则运动到分钟时，动点所处位置的坐标是A. B. C. D.5.已知向量满足与的夹角为，则与的夹角为（）A. B. C. D.6.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（）A.3.8小时 B.4小时 C.4.4小时 D.5小时7.若两个正实数满足，若至少存在一组使得成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.函数在区间内只有一个极值点的充分不必要条件是（）A. B. C. D.9.如图，某校数学兴趣小组为了测量某古塔的高度，在地面上共线的三点C，D，E处测得点A的仰角分别为，且，则古塔高度约为（）（结果保留整数）（参考数据：）A.69m B.70m C.73m D.75m10.已知函数若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围是（）A. B. C. D.二､填空题共5小题，每小题5分，共25分11.函数的定义域是______.12.已知是定义在上的偶函数，且当时，，则______.13.写出一个同时具有下列性质的函数的解析式：__________.①不是常函数②的最小正周期为2③不存在对称中心14.某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中是一个平面多边形，平面平面，平面平面，.若，则该多面体的体积为__________.15.已知函数给出下列四个结论：①当时，的最小值为0；②当时，存在最小值；③当时，在上单调递增；④的零点个数为，则函数的值域为.其中所有正确结论的序号是______.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在三棱锥中，平面，．（1）求证：平面PAB；（2）求二面角的大小．17.已知函数，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：（1）的单调递增区间；（2）在区间的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分.18.在中，内角的对边分别为为钝角，．（1）求；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：19.某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；（2）在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用表示其成绩在中的人数，求的分布列及数学期望；（3）在（2）抽取的3人中，用表示其成绩在的人数，试判断方差与的大小.（直接写结果）20.已知函数在上可导，且．（1）当时，求的最小值点；（2）设函数在处的切线为，求证：恒过定点；（3）若，且时，单调递减，试问当时，是否恒在直线下方？说明理由．21.已知正整数，若正整数集的子集同时满足条件①：对任意，存在唯一，使得；条件②：对任意整数，及任意，均存在，使得，则称为“可表集合组”．（1）若，则是否为“7可表集合组”？说明理由，（2）若为“可表集合组”，求的最小值；（3）若为“15可表集合组”，求的最大值．参考答案一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把正确的答案涂在答题卡中相应的位置.12345678910CDBCDBCACC二､填空题共5小题，每小题5分，共25分11.【答案】【分析】根据函数解析式建立不等式组，可解得答案.【详解】由题意可得，解得.故答案为：.12.【答案】【分析】根据偶函数的性质及指数对数恒等式计算可得.【详解】因为是定义在上的偶函数，且当时，，所以.故答案为：13.【答案】（不唯一）【分析】根据函数所具有的性质，结合正弦函数的性质，即可确定答案.【详解】根据题中函数需满足的条件，可取函数为正弦型函数，即可取，其图象为：结合图象可知满足题意，故答案为：（不唯一）14.【答案】60【分析】如图，将一半的几何体分割成直三棱柱和四棱锥后结合体积公式可求几何体的体积.【详解】先证明一个结论：如果平面平面，平面平面，平面，则.证明：设，，在平面内取一点，，在平面内过作直线，作直线，因为平面平面，，故，而，故，同理，而，故.下面回归问题.连接，因为且，故，同理，，而，故直角梯形与直角梯形全等，故，在直角梯形中，过作，垂足为，则四边形为矩形，且为以为直角的等腰直角三角形，故，平面平面，平面平面，，平面，故平面，取的中点为，的中点为，的中点为，连接，则，同理可证平面，而平面，故平面平面，同理平面平面，而平面平面，故平面，故，故四边形为平行四边形，故.在平面中过作，交于，连接.则四边形为平行四边形，且，故，故四边形为平行四边形，而平面，故平面，故平面平面，而，故，故几何体为直棱柱，而，故，因为，故平面，而平面，故平面平面，在平面中过作，垂足为，同理可证平面，而，故，故，由对称性可得几何体的体积为，故答案为：.15.【答案】①④【分析】对于①，写出此时函数解析式，得到当时，取得最小值，最小值为0；对于②，举出反例；对于③，两分段均单调递增，但端点处，左端点的函数值不一定小于右端点的函数值，故③错误；对于④，对进行分类讨论，结合零点存在性定理得到函数的值域为.【详解】对于①，当时，，当时，，当时，，综上，当时，取得最小值，最小值为0，①正确；对于②，不妨设，此时，当时，，当时，，故，此时函数不存在最小值，②错误；对于③，在上单调递增，且，当时，在上单调递增，且，当时，，故当时，在R上不单调递增，③错误；对于④，，在上单调递增，当时，设，显然单调递增，又，故存在，使得，当时，无解，即在上无零点，此时有两个零点，和，故此时，当时，在上有1个零点，此时有两个零点，和，故此时，当时，，由①知，此时有1个零点，即，当时，在上无零点，在上也无零点，此时，则函数的值域为，④正确.故答案为：①④【点睛】函数零点问题处理思路：（1）直接令函数值为0，代数法求出零点；（2）将函数零点问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度；三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）先由线面垂直的性质证得，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【小问1详解】因为平面平面，所以，同理，所以为直角三角形，又因为，，所以，则为直角三角形，故，又因为，，所以平面.【小问2详解】由（1）平面，又平面，则，以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，则，所以，设平面的法向量为，则，即令，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，所以，又因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为.17.【答案】选①，（1）单调递增区间，（2）；选②，（1）单调递增区间为，（2）；（3）选③，（1）单调递增区间为，（2）.【分析】选①，根据辅助角公式化简函数为，（1）根据余弦函数的图象与性质求解单调区间；（2）根据自变量的范围，利用余弦函数的图象与性质即可求解；选②，根据二倍角的正弦公式化简得，(1)利用正弦型函数图象与性质求单调区间；(2)根据自变量范围求出的范围，利用正弦函数的图象性质求值域；选③，根据辅助角公式化简可得，（1）利用正弦型函数的图象与性质求其单调区间；（2）根据自变量范围求出的范围，利用正弦函数求范围即可.【详解】选①：，（1）由知，单调递增区间（2）当时，，所以.选②：，（1）令,解得，所以的单调递增区间为（2）当时，，所以，所以.选③：，(1)令，解得，所以的单调递增区间为，（2）当时，，所以，所以【点睛】关键点点睛：根据所选条件，利用辅助角公式或者二倍角的正弦公式化简函数，根据正弦型函数图象与性质或余弦函数图象与性质，确定单调性及值域，属于中档题.18.【答案】（1）（2）【分析】（1）应用二倍角正弦公式结合正弦定理计算求解；（2）选择①应用正弦定理计算得出矛盾；选择②应用同角三角函数关系结合诱导公式及两角和正弦公式求出，最后应用面积公式计算即可；选择③应用正弦定理得出，，再应用两角和正弦公式及面积公式计算求解.【小问1详解】由题意得，因为A为钝角，则．则，则，解得，因为A为钝角，则，【小问2详解】选择①，则，因为，则B为锐角，则，此时，不合题意，舍弃；选择②，因为B为三角形内角，则，则代入得，解得，，则．选择③，则有，解得，则由正弦定理得，即，解得，因为C为三角形内角，则，则，则．19.【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）.【分析】（1）利用直方图的性质及平均数的计算方法即得；（2）由题可知服从超几何分布，即求；（3）由超几何分布即得.【小问1详解】由直方图可得第二组的频率为，∴全校学生的平均成绩为：【小问2详解】由题可知成绩在80分及以上的学生共有人，其中中的人数为5，所以可取0,1,2,3，则，，，，故的分布列为：0123P；【小问3详解】.20.【答案】（1）（2）证明见解析（3）是，理由见解析【分析】（1）由题可得，结合导数研究函数单调性，即可求出最小值点；（2）求出切线方程：，结合条件可得，即可求出切线的恒过点；（3）求出直线方程为：，将问题转化为说明是否成立，当时，可得，，即可证明，当，构造函数，利用导数研究函数的单调性，即可说明结论.【小问1详解】∵，，∴当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；又时，，，所以的最小值点．【小问2详解】切线，∴，∵，∴，∴，在处的切线恒过【小问3详解】由题可得直线方程为：当时，是否恒在直线下方转化为说明是否成立；①当时，单调递减，所以，∵，∴，②当时，只需证：，令，则，∵，∴，∴在上单调递增，∴，∴，，综合①②，即时，恒在下方．21.【答案】（1）不是“7可表集合组”，理由见解析（2）（3）【分析】（1）根据“7可表集合组”的定义可得，即可判断结果；（2）先给出的例子，再根据“可表集合组”的定义结合反证法证明不符合题意即可；（3）先给出的例子，再根据“可表集合组”的定义结合反证法证明不符合题意即可.【小问1详解】不是“7可表集合组”.因为，其元素中仅有一个奇数，则，若为偶数，则必为中两个偶数元素之和，至少为，可得，所以不是“7可表集合组”．【小问2详解】的最小值为7．首先给出的例子：令，可知则为“7可表集合组”．下面假设某个满足题设要求，则对任意，存在，使得．注意到6表示为两个不同正整数的和只能是，不妨设，因为对任意，存在，使得，注意到7表示为两个不同正整数的和只能是，所以，注意到8表示为两个不同正整