2025北京大峪中学高三（下）开学考数学试题及答案

高中2025北京大峪中学高三（下）开学考数学2025.02第一部分（选择题共40分）一、选择题10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.若，则（）A. B.1C. D.23.已知，，，且，，则（）A. B.C. D.4.下列函数中，满足“，”的是（）A. B.C. D.5.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A.63 B.72 C.84 D.1356.已知直线，双曲线，则“直线与双曲线无交点”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.如图，在三棱锥中，与都是边长为2的等边三角形，且，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.28.关于函数，有下列命题：①若，则；②的图象可由向左平移得到；③若，且，则一定有；④函数的图象关于直线对称.其中正确命题的个数有（）A.1 B.2 C.3 D.49.在平面直角坐标系xOy中，已知直线与直线交于点P，则对任意实数a，的最小值为（）A.4 B.3 C.2 D.110.德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为时经过的时间约为（）（参考数据：）A.2小时 B.0.8小时 C.0.5小时 D.0.2小时第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11.的展开式中常数项为________(用数字作答)12.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点的纵坐标为_______；点为坐标原点，的面积为_______．13.《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面.《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”由以上条件，该女子第5天织布_____尺；若要织布50尺，该女子所需的天数至少为_____.14.已知函数，若存在最大值，则的取值范围是_____.15.已知曲线（，为常数），给出下列四个结论：①曲线关于坐标原点对称；②当时，曲线恒过两个定点；③记曲线在第一象限的部分与坐标轴围成的图形的面积为，则对任意，存在，使得.④设，为曲线上的两个动点，则存在，，使得有最大值；其中所有正确结论的序号为_____.三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.如图，在三棱柱中，底面，，.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.17.在中，，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.（1）选出使有唯一解的所有序号组合，并说明理由；（2）在（1）所有组合中任选一组，求的值.18.10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击60发子弹，总环数排名前8的选手进入决赛.三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下：环数6环7环8环9环10环甲的射击频数11102424乙的射击频数32103015丙的射击频数24101826假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的射击成绩相互独立.（1）若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，并说明理由；（2）若甲、乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率；（3）甲、乙、丙各射击10次，用分别表示甲、乙、丙的10次射击中大于环的次数，其中，写出一个的值，使，并说明理由.19.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的零点个数，并说明理由.20.已知椭圆的离心率为，长轴长为4.（1）求椭圆的方程；（2）若直线不垂直于坐标轴，直线与椭圆交于两点，直线与轴交于点.点关于轴的对称点为点，直线与轴交于点.①求证：两点的横坐标之积为定值4；②若点的坐标为，求面积的取值范围.21.对正整数，设数列.是行列的数阵，表示中第行第列的数，，且同时满足下列三个条件：①每行恰有三个1；②每列至少有一个1；③任意两行不相同．记集合或中元素的个数为．（1）若，求的值；（2）若对任意中都恰有行满足第列和第列的数均为1．①能否满足？说明理由；②证明：．

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】B【分析】利用一元二次不等式的解法求出集合，再利用集合的运算，即可求解.【详解】由，得到，所以，又，所以，故选：B.2.【答案】B【分析】根据复数的运算法则进行运算，继而直接求模即可.【详解】因为，所以，所以，故选：B．3.【答案】C【分析】通过举反例即可判断ABD，对于C根据不等式的性质即可判断.【详解】对于A：令，，所以，故A错误；对于B：令，故B错误；对于C：因为，所以，所以，故C正确；对于D：当时，显然不成立，令，故D错误故选：C.4.【答案】C【分析】对于ABD，求证函数为偶函数即可判断，；对于C，求证函数为奇函数即可判断.【详解】对于A，函数定义域为R，且对任意有，函数为偶函数，所以不存在，使得，故A不满足；对于B，函数定义域为R，且对任意有，函数为偶函数，所以不存在，使得，故B不满足；对于C，函数定义域为R，且对任意有，函数为奇函数，如，即所以，，故C满足；对于D，函数定义域为R，且对任意有，函数为偶函数，所以不存在，使得，故D不满足.故选：C.5.【答案】A【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出，进而求出.【详解】等差数列中，，解得，而，所以.故选：A6.【答案】B【分析】根据双曲线方程写出渐近线方程，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系.【详解】由题设，双曲线的渐近线为且，若直线与双曲线无交点，只需，故充分性不成立，若，则渐近线为，此时直线与双曲线无交点，故必要性成立，所以“直线与双曲线无交点”是“”的必要不充分条件.故选：B7.【答案】B【分析】若是的中点，连接，易得为等边三角形，再证面面，即可得点到平面的距离.【详解】若是的中点，连接，又与都是边长为2的等边三角形，所以，而，故为等边三角形，由且都在面内，则面，由面，故面面，面面，所以点到平面的距离，即点到的距离为.故选：B8.【答案】D【分析】利用正弦型函数的性质及图象平移依次判断各项的正误即可.【详解】令，则，可得，所以，则有，①对；，②对；当，则，显然在上单调递增，所以若，且，则一定有，③对；，即函数的图象关于直线对称，④对.故选：D9.【答案】C【分析】由直线的方程判断两直线垂直，确定P点的轨迹方程，数形结合，即可求得答案.【详解】由题意知直线与直线，满足，故两直线垂直，直线过定点，直线过定点，故两直线的交点P在以AB为直径的圆上（不含点），该圆方程为，设其圆心为，半径为3，则，当且仅当共线时，即位于B点时，等号成立，故的最小值为，故选：C10.【答案】C【分析】根据题设得到，两边取对数求解，即可得出结果.【详解】根据题意得，整理得到，两边取以为底的对数，得到，即，又，所以，得到，故选：C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11.【答案】【分析】根据题意，由题意可得二项式展开式的通项公式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为展开式的通项公式为，令可得，则展开式中的常数项为.故答案为：12.【答案】①.②.【分析】由抛物线方程可知焦点坐标，设，则根据抛物线定义可得，进而可求出点的坐标，求（为坐标原点）的面积即可求解.【详解】由抛物线方程可知：焦点，准线方程为：，设.∵点在抛物线上，∴，，解得，..故答案为：.13.【答案】①.##②.【分析】由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为2，由题意求出数列的首项后可得第5天织布的尺数；再令，求出，即可得出答案.【详解】由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为2，前5项的和为5，设首项为，前项和为，则由题意得，∴，∴，即该女子第5天所织布的尺数为．令，解得：，所以.所以若要织布50尺，该女子所需的天数至少为.故答案为：；．14.【答案】【分析】根据分段函数有最大值，结合一次函数、二次函数的性质列不等式求参数范围.【详解】当时，在上值域为，显然不存在最大值；当时，在上，而在上最大值为，满足题设；当时，在上值域为，若时，在上最大值为，此时，故存在最大值，满足题设；若时，在上最大值为，此时只需，则，即，故，存在最大值，满足题设；综上，.故答案为：15.【答案】①②③【分析】利用曲线的对称性判断①；当时，化简曲线方程，求出定点坐标判断②；取，在第一象限内，曲线在线段上方，数形结合判断③；将曲线的方程视为关于的二次方程，解原方程，取点、，考查时，的取值判断④.【详解】对于①，在曲线上任取一点，则，点关于原点的对称点为，则，即点在曲线上，因此曲线关于坐标原点对称，①正确；对于②，当时，则，曲线的方程为，由，解得或，因此当时，曲线恒过两个定点，②正确；对于③，当，时，在曲线的方程中，令可得，令可得，此时曲线交轴的正半轴于点，交轴正半轴于点，设直线，，对曲线C的方程变形整理，有，将上式视为关于y的一元二次函数，其中，当时，恒有，有，，令，，，，由，得，即，于是，即曲线在第一象限的部分在直线的上方，如图，因此，③正确；对于④，当，时，将曲线的方程视为关于的二次方程，对于方程，，解方程，得，不妨取点，，则，当时，则，因此无最大值，④错误.故答案为：①②③三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）证明面，利用线面垂直性质即可求证；（2）建立适当空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】（1）因为三棱柱中，底面所以底面，所以，因为，所以，因为面，面，，所以面，因为面，所以.（2）由（1）可知：底面，所以，，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，如图所示,，，，，设面法向量为由，得令，则，则.又因为平面的法向量为，所以.由题可知，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.【点睛】方法点睛：向量法求二面角的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．17.【答案】(1)①②③，或②③④.(2)若选①②③，则；若选②③④，则【分析】（1）先由条件①可得出，先由条件④可得出，所以①④矛盾不能同时选择，再根据面积结合条件可得答案.

(2)结合（1）中的结论由面积结合余弦定理可得答案.【详解】（1）选择①②③或②③④，理由如下：因为且，由①.所以且则，又，则，，即，所以，即，故，由，所以，由④得，则，，所以，所以①④矛盾.若选①②③，则由，则，即所以，结合由①得出的结论，则可得由余弦定理可得边唯一，故此时满足条件的唯一若选②③④同理可得.结合由④得出的结论，则可得由余弦定理可得边唯一，故此时满足条件的唯一所以使有唯一解的所有序号组合为①②③，或②③④.（2）若选①②③由，即，则，由，则，由余弦定理可得,则.若选②③④由，即，则，由，则，由余弦定理可得，则.18.【答案】（1）甲进入决赛，理由见解析（2）（3）答案见解析【分析】（1）分别计算出丙射击成绩和甲射击成绩，比较大小即可判断.（2）根据题中数据，用频率估计概率分别得出甲、乙命中9环的概率和甲、乙命中10环的概率，再根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的乘法公式求解即可.（3）根据题意服从二项分布，利用二项分布方差公式求出每一个a对应的，即可解答.【小问1详解】甲进入决赛，理由如下：丙射击成绩的总环数为，甲射击成绩的总环数为，因为，所以用样本来估计总体可得甲进入决赛.【小问2详解】根据题中数据：“甲命中9环”的概率可估计为，“甲命中10环”的概率可估计为，“乙命中9环”的概率可估计为，“乙命中10环”的概率可估计为，所以估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率为.【小问3详解】或（写出其中一个即可）.根据题中数据：当时，在每次射击中，甲击中大于6环的概率为，在每次射击中，乙击中大于6环的概率为，在每次射击中，丙击中大于6环的概率为，由题意可知，，，此时，，，不满足．当时，在每次射击中，甲击中大于7环的概率为，在每次射击中，乙击中大于7环的概率为，在每次射击中，丙击中大于7环的概率为，由题意可知，，，此时，，，满足．当时，在每次射击中，甲击中大于8环的概率为，在每次射击中，乙击中大于8环的概率为，在每次射击中，丙击中大于8环的概率为，由题意可知，，，此时，，满足．当时，在每次射击中，甲击中大于9环的概率为，在每次射击中，乙击中大于9环的概率为，在每次射击中，丙击中大于9环的概率为，由题意可知，，，此时，，，不满足.19.【答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）代入，求在处的导数和函数值，点斜式求直线方程；（2）求，分情况讨论不同取值时函数的单调性，研究函数的趋势，从而求出零点个数.【详解】解：（1）当时，，，切线方程为：，即所以曲线在点处的切线方程为：.（2）的定义域为令，解得①当时，与在区间上的情况如下：极大值极小值在上递增，在上递减，在上递增.此时，，所以在上只有一个零点，②当时，，由得（舍），所以在上有一个零点.③当时，与在区间上的情况如下：极小值此时，若时，，所以在上无零点，若时，，所以在上有一个零点，若时，，，，所以有两个零点.综上所述：当或时，在上有一个零点，当时，在上有两个零点，当时，在上无零点.【点睛】思路点睛：（1）研究函数的零点问题，可以参变分离，可以求导分类讨论.（2）分类讨论时，需确定函数的单调区间以及应用零点存在性定理确定是否有无零点.20.【答案】（1）；（2）①证明见解析；②.【分析】（1）由长轴长与离心率可得即可求得椭圆的方程；（2）①根据直线，直线求出点，点的横坐标即可证明；②利用再结合韦达定理统一自变量，然后依据对勾函数求范围.【详解】（1）因为，所以，又，所以，所以，椭圆的方程.（2）（i）