2025北京房山良乡中学高三10月月考数学试题及答案

高中2025北京房山良乡中学高三10月月考数学2025.10本试卷共8页，满分150分，考试时长120分钟.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题.本题共10题每题5分，共计50分.在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知命题：，，那么命题为（）A.， B.，C.， D.，3.若，则（）A. B. C. D.4.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（）A. B. C. D.5.已知两个非零实数满足，下列选项中一定成立的是A. B. C. D.6.定义在上的奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（）.A. B.C. D.7.已知，，，则三者大小关系为（）A. B. C. D.8.已知是定义在上的函数，则“对，都成立”是在上是增函数”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）的关系为，其中，k是常数.如果在前5h消除了的污染物，那么污染物减少需要花多少时间（精确到）？（，）（）A. B. C. D.10.函数的图象如图所示，在区间上可找到个不同的数、、、，使得，则的取值为（）A. B. C. D.二、填空题.本题共6题每题分5，共计30分.11.在的二项展开式中，第4项的系数是______.12.函数的定义域为____________.13.能够说明“设是任意正实数，若，则”是假命题的一组的值依次为_____.14.设函数（为常数），若为奇函数，则______；若是定义域上的减函数，则的取值范围是___________.15.已知函数，当时，函数的值域为_____；若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是____________.16.已知函数，，给出下列四个结论：①当时，方程有且只有一个实数根；②当时，对任意，或；③当时，对任意，；④存在，对任意，.其中正确结论的序号是_____.三、解答题.17.如图，三棱柱中，底面，是的中点，，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．18.已知函数．（1）若在时，有极值，求a的值；（2）若，求函数的单调区间．（3）讨论函数极值点的个数．19.体育测试成绩分为四个等级：优、良、及格、不及格.某校为了解学生的体质健康情况，在高一、高二年级分别抽取名学生进行测试，测试的结果如下：等级年级优良及格不及格高一高二（1）从全体高一学生中随机抽取人，估计该学生的测试成绩为“优”或“良”的概率；（2）从样本中高一年级和高二年级中各随机抽取人，以表示这两个人中测试成绩为“优”的人数，求的分布列和数学期望；（3）已知高一学生升入高二后，进行体育抽测的学生不变.现从这名抽测的学生中随机抽查人，发现他们的测试成绩都为“优”.结合表格数据，能否认为学生升入高二后体育成绩为“优”的人数有变化？说明理由.20.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意，都有，求实数的取值范围；（3）求证：存在实数，使方程有正实根.21.已知集合，其中且，，非空集合，记为集合中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，．（1）若，，写出所有可能的集合；（2）若，，且是12的倍数，求集合的个数；（3）若；证明：存在非空集合，使得是的倍数．

参考答案第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题.本题共10题每题5分，共计50分.在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.12345678910BCABDDCBCA二、填空题.本题共6题每题分5，共计30分.11.【答案】二项式的展开式的通项为，取，即得，故第4项的系数是.故答案为：.12.【答案】要使有意义，需，解得：.故答案为：13.【答案】若原命题为假命题，则只需时，，不妨取，即可.故答案为：，（答案不唯一）.14.【答案】为奇函数，所以，所以，所以，所以，所以，解得；是定义域上的减函数，所以因为，解得，所以，所以，可得，因为，所以，令，则，函数在单调递增，所以，所以，即的取值范围是.故答案为：；.15.【答案】当时，，若，则，即；若，则，即，综上可得，函数的值域为；因为增函数，最多只有一个零点，而最多可有两个零点，由函数恰有两个零点可分为两种情况：①当时，有一个零点，且时，也只有一个零点，由在有1个零点，可得；而在上只有一个零点，当时，显然不合题意；当时，则需使，即.综上可得；②当时，没有零点，且时，有两个零点，由在上没有零点，可得；而在上有两个零点，即.综上可得.故实数的取值范围为.故答案为：；.16.【答案】对于①，当时，，由与图象可知，方程有且只有一个实数根，①正确；对于②，当时，，当时，.当时函数为开口向下的二次函数，令函数的两个零点分别为，，所以当时，，所以②正确.对于③，当时，为开口向上的二次函数，，，所以对任意，，，所以，③正确.对于④，当时，当时，，此时；当时，，当时，；当时，，即，所以不存在，对任意，，④错误.故答案为：①②③.三、解答题.17.【答案】解：（Ⅰ）证明：连结，交于，则是的中点，连结，是的中点，，平面，平面，平面．（Ⅱ）三棱柱中，底面，是的中点，，．，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，2，，，1，，，0，，，0，，，0，，，1，，设平面的法向量，，，则，取，得，，，设直线与平面所成角为，则．直线与平面所成角的正弦值为．18.【答案】（1）定义域为R，，由题意得，即，解得，当时，，令得或，令得，故在上单调递增，在上单调递减，故为极大值点，满足要求，故；（2）时，，，由（1）可知的单调递增区间为，单调递减区间为；（3）定义域为R，，，当，即时，故恒成立，此时在R上单调递增，无极值点；当，即时，有两个变号零点，故有2个极值点，故当时，极值点个数为0；当时，极值点个数为2.19.【答案】（1）由题意知，样本中高一学生为人，测试成绩为“优”或“良”的有人.记“从高一学生中任意抽取人，测试成绩为‘优’或‘良’”为事件，则.（2）的所有可能取值为.记“从样本中高一年级学生中任意抽取人，测试成绩为‘优’”为事件，记“从样本中高二年级学生中任意抽取人，测试成绩为‘优’”为事件，由题意知，相互独立.，，则；，.所以的分布列为.（3）记“从样本高一学生升入高二后，抽测学生不变，现抽查人，成绩都为‘优’”为事件，则.答案示例1：可以认为有变化，理由如下：比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为升入高二后成绩为“优”的人数有变化.答案示例2：无法确定有没有变化，理由如下：事件为随机事件，比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化.20.【答案】（1）当时，函数，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程为.（2）对任意，不等式，当时，令，求导得，函数在上递增，，因此，当时，，，即恒成立，则；当时，，由，得，当时，，函数在上单调递减，，不符合题意，所以实数的取值范围是.（3）由，，得，令，求导得，令，求导得，函数在上单调递减，而，则存在，使得，当时，，即，函数在上单调递增，，取正数，则直线与函数在上的图象有交点，此交点横坐标在区间，所以存在实数，使方程有正实根.21.【答案】（1），集合可能为：，，，；（2）不妨设，则，，因此或，时，，时，，因此中只能选项一个，中选两个，为，综上集合有，共有4个；（3）（1）若，则是从这个数所取，把这个数分成组，每组中两个数的和为，从这组中取个数，必有两个数属于同一组，例如，则取，是的倍数，结论成立；（2）若，不妨设，从中任取3个数，，若与都是的倍数，则，这与矛盾，所以中任意两个数的差