2025北京牛栏山一中高三（上）开学考数学试题及答案

高中2025北京牛栏山一中高三（上）开学考数学2025.09第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，若，则（）A. B. C. D.2.下列命题为真命题的是（）A. B.C. D.3.复数，则（）A.2 B.4 C.2i D.4i4.已知，则下列不等式中一定成立的是（）A. B. C. D.5.不等式的解集为（）A. B. C. D.6.是所在平面内的一点，满足，则（）A.点P在线段BC上 B.点P在线段BC的延长线上C.点P在线段AC上 D.点P在线段AC的延长线上7.对于定义域为的函数，“函数在上的值域为”是“函数在上单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.在声学中，声音的强度级（单位：dB）常用于描述声音的强弱.强度级计算方式为：，其中是声音强度（单位：），是常数，表示人耳可听到的最小强度.设声源A单独发声时，产生的声音强度为，强度级为；声源B单独发声时，产生的声音强度为，强度级为；且.当声源同时发声时，产生的声音强度；则此时的强度级L总−LA≈（）A.0.47 B.1.7 C.3 D.4.79.在平面直角坐标xOy中，已知三点，若向量在上的投影向量相同，则的值为（）A.-3 B.0 C.3 D.610.数集，其中a1<a2<a3<a4A.6 B.8 C.10 D.12第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡上.11.复数所对应的点在第______象限.12.，若，则______.13.对于定义域为D的函数及满足条件：对任意且，写出一个满足条件的函数______.14.集合，非空集合，且满足：对任意，均存在，使.记符合要求的P的个数为.则______；______.15.数列为无穷非负整数数列，若对任意，均存在，且，使，则称数列为“完备数列”.给出下列四个结论：①若正项等差数列为“完备数列”，则首项一定为1；②若正项等比数列为“完备数列”，则公比一定为2；③若满足，则对任意，数列均为“完备数列”；④若满足，则数列为“完备数列”；其中正确结论的序号是______.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.等比数列中，，公比.对于数列，点都在函数的图象上，求：（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）数列中最大项是第几项？（直接写出答案）17.已知，且的解集为.（1）求t，m的值；（2）若在上恒成立，求的最大值.18.数列满足，且（1）写出数列的第二项及第三项；（2）判断数列是否为等差数列并说明理由；（3）证明：是数列为单调递减数列的充分不必要条件.19.已知函数，其中.（1）若曲线在处的切线过原点，求的值.（2）当时，①判断过点的切线条数，直接写出结果；②判断过点的切线条数并说明理由.20.已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若函数在区间上有零点，求的取值范围.21.已知集合是的非空子集.对于任意元素，定义与之间的距离为，记为子集的特征值，其中表示有限集中的最小数.（1）当时，直接写出集合和的特征值；（2）令，且为奇数，分别求出集合中元素个数和的特征值，并说明理由；（3）设，并且，求证：（其中|P|表示集合中元素个数）.

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】A【分析】根据元素与集合的关系求解即可.【详解】集合，若，则.故选：A2.【答案】C【分析】利用基本不等式得恒成立，结合各项命题的描述判断其真假，即可得.【详解】由，则，当且仅当时等号成立，A、B、D为假命题，C为真命题；故选：C3.【答案】B【分析】根据共轭复数及复数乘法运算化简，最后应用模长公式计算求解.【详解】复数，则|z⋅z|=故选：B.4.【答案】C【分析】根据不等式的性质依次判断各项的正误即可.【详解】A：若a=−1>b=−2>c=−3，则，错；B：若时，，错；C：由，，同向相加，不等式符号方向不变知，对；D：若，则，错.故选：C5.【答案】A【分析】分区间讨论的取值范围，进行求解．【详解】当时，，则不等式成立，当时，，则不等式不成立，当时，，则不等式不成立，∴不等式的解集为：．故选：A6.【答案】D【分析】根据题意整理可得，即可得结果.【详解】因为，可得，可知点为线段的中点，所以点P在线段AC的延长线上.故选：D.7.【答案】B【分析】应用特殊函数举反例结合充分性定义判断不充分条件，应用单调性及值域性质结合必要性定义判断必要性.【详解】当fx=xx∈[0,1)2−xx∈[1,1.5)x2−1.75x∈[1.5,2]时，函数在上的值域为即(f(0),f(2))，但是函数在所以“函数在上的值域为”是“函数在上单调递增”的不充分条件；若函数在上单调递增，则函数在上的值域为，所以“函数在上的值域为”是“函数在上单调递增”的必要条件；“函数在上的值域为”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件；故选：B.8.【答案】D【分析】由题意，且，代入的表达式，化简整理，可得，即可得答案.【详解】由题意，且，所以，所以.故选：D9.【答案】B【分析】由投影向量的定义得，再用向量的坐标运算可得．【详解】∵向量，在向量上的投影向量相同，∴，得，而，得，得，得，得．故选：B10.【答案】D【分析】根据已知，结合集合描述推得，进而有a4−a2=a3【详解】由题设，又且，若，则，，，此时中不存在元素，不合题设；若，则，，，此时中存在一个大于的元素，不合题设；所以，则，，，所以a4−a2=a3所以，则.故选：D第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡上.11.【答案】二【分析】先求出复数，即可判断对应点所在象限.【详解】∵，∴复数所对应的点的坐标为，在第二象限.故答案为：二.12.【答案】【分析】由进行求解．【详解】，则，而，得，故答案为：13.【答案】（答案不唯一）【分析】由题意可得，在定义域内单调递减，在定义域内单调递增，分析即可得一个满足条件的函数.【详解】取函数，则，所以，满足题意.所以一个满足条件的函数.故答案为：（答案不唯一）14.【答案】①.3②.2【分析】根据定义确定中元素的性质，应用列举法确定，进而分析时满足要求的元素个数，再应用组合数的性质求.【详解】由题设，则中元素是中满足且的元素，对于，则A2=1,2,3,4，则满足要求的元素有共3个，故有三种情况，即，对于，则A2m+1=1,2,3,⋯,22m+1，则满足要求的元素有所以在不考虑顺序情况下共有对，故g(2m+1)=Cm+11+故答案为：3，215.【答案】①④【分析】根据数列定义，结合得到矛盾判断①；应用特殊数列、判断②③；根据数列递推式及数列新定义判断④.【详解】若正项等差数列为“完备数列”，则，公差，又为非负整数数列，对任意，均存在，且，使，若，则必有，故不成立，矛盾，所以，①对；若正项等比数列为“完备数列”，如，此时公比为1，显然满足对任意，均存在，且，使，②错；当，则，，，，，，所以是以3为周期，即项周期性出现，显然为奇数时，不可能成立，③错；由，则数列为，该数列中，相邻两项间缺失的自然数都可以由前项选出其中的项相加(同一项不重复相加)得到，所以对任意，均存在，且，使，④对.故答案为：①④三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）；（2）；（3）第3项最大.【分析】（1）由已知求公比，进而写出等比数列的通项公式；（2）应用分组求和及等差数列前n项和公式求和；（3）由，分析得第项最大为奇数且，则anbn≥an+2【小问1详解】由题设且，则，则；【小问2详解】由题设，则；【小问3详解】由，其中为奇数时，为偶数时，又，若第项最大为奇数且，则anbn≥a所以4(2n−1)⋅(−12)n−1所以.17.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）问题化为的两个根为，且，应用根与系数关系求参数值；（2）问题化为在上恒成立，结合对勾函数的性质求右侧最小值，即可得.【小问1详解】由题设的两个根为，且，则m+1=3m×1=t，可得；【小问2详解】由（1）及题设知在上恒成立，根据对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增，所以，故，即的最大值为.18.【答案】（1）；；（2）数列不是等差数列；理由见解析；（3）证明见解析；【分析】（1）赋值法计算数列中的项；（2）应用反证法证明数列不是等差数列；（3）根据时得出单调性判断充分性，根据数列的单调性列式计算得出判断不必要条件即可证明.【小问1详解】数列满足，且xn+1=−x令时，，令时，；【小问2详解】数列不是等差数列；若数列为等差数列，则，且，所以，当时，，，，不符合，所以数列不是等差数列；【小问3详解】当时，，所以数列是单调递减数列，所以是数列为单调递减数列的充分条件；当数列是单调递减数列，xn+1−xn=−x所以是数列为单调递减数列的不必要条件；所以是数列为单调递减数列的充分不必要条件.19.【答案】（1）；（2）①过点的切线分别有1条、0条；②2条，理由见解析.【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程，根据切线过原点，将原点坐标代入求参数值；（2）①②设切点为且，应用导数的几何意义求切线方程，根据点在切线上得到相关方程，再应用导数研究对应函数的零点个数，即可得.【小问1详解】由题设，则，且，所以曲线在处的切线为，由切线过原点，则，可得，所以；【小问2详解】由题设，则，设切点为且，所以切线方程为，则，①若切线过点，则，可得，即过点的切线仅有一条；若切线过点，则，令，则，所以时，时，则在上单调递减，在上单调递增，当时，时，时，所以在上无零点，即没有过点的切线；②切线过点，则，令，则，所以时，时，则在上单调递减，在上单调递增，当时，时，时，所以在上有2个零点，即过点的切线有2条.20.【答案】（1）的极大值为0，无极小值．（2）【分析】（1）求导，再根据导数的符号，结合函数极值点的定义即可得出答案；（2）求导，分和两种情况讨论，求出函数的单调区间，从而求得函数的最值，从而可得出答案.【小问1详解】当时，，则f'由得，即，得，由得，即，得，则函数在上单调递增，在上单调递减，得在处取得极大值，，无极小值．故的极大值为0，无极小值．【小问2详解】f'当时，因为，所以，在区间上单调递增，且f0=2a+2>0，因为在区间上有零点，所以f−1=ae2+所以；当时，由，得，当时，即ln−1a≤−1，得函数在而f−1则在区间上没有零点，当−e<a由得，即，得−1<x<ln−1由得，即，得，则函数在−1，ln−1a而f−1=因为在区间上有零点，fln得ln令g(a)=ln因为函数y=ln−1x，所以函数y=ln−1又，所以，综上所述，的取值范围是.21.【答案】（1）；（2）中元素的个数为，理由见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给出的定义求出距离；（2）因为集合中元素的每个分量取值有两种可能，所以其分量和是奇数还是偶数是等可能的，所以中元素个数是中元素个数的一半，分析其特征值的特点，由特例确定其特征值；（3）利用所有与中元素距离的元素的个数不大于集合中元素的个数证明.【小问1详解】对集合，，，，故；对集合，，，，，，，故；【小问2详解】由于集合中元素的每个分量取值有两种可能，所以集合中共有个元素，对于任意，其分量