2025北京十一中高三10月月考数学试题及答案

高中2025北京十一中高三10月月考数学试卷满分：150分考试时间：120分钟一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，那么集合（）A. B.C. D.2.已知等差数列的前项和为，，则（）A.0 B. C. D.3.设，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B.C. D.4.在平面直角坐标系中中，角以为始边，终边与单位圆交点的纵坐标是，把的终边绕端点逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，则（）A. B. C. D.5.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于对称，则ω的最小值是（）A.1 B.2 C. D.6.已知中，为的中点，分别为上的点，，，交于点，若，则的值为（）A. B. C. D.7.若O为△ABC所在平面内一点，且满足，则△ABC的形状为（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形8.在平行四边形中，E为边上的动点，O为外接圆的圆心，，且，则的最大值为（）A.3 B.4 C.6 D.89.若函数恰有2个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.10.设等比数列的前项和为，前项的乘积为．若，则（）A.无最小值，无最大值 B.有最小值，无最大值C.无最小值，有最大值 D.有最小值，有最大值二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知为等比数列，，，那么的公比为______，数列的前5项和为______.12.若，则______.13.已知，，是公比不为1的等比数列，将，，调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组，，的值依次为______.14.如图为函数的部分图象，则函数解析式为__________，若，则的最大值为______.15.项数为的有限数列的各项均为不小于的整数，满足，其中．给出下列四个结论：①若，则；②若，则满足条件的数列有4个；③存在的数列；④所有满足条件的数列中，首项相同．其中所有正确结论的序号是_____________________．三､解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在中，.（1）求；（2）若的面积为，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的值.条件①：；条件②：；条件③：注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.17.已知函数.从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定.（1）求的值；（2）若不等式在区间内有解，求的取值范围.条件①：；条件②：图象关于对称，且在区间有且只有一个最大值和一个最小值；条件③：在区间内无极值点，且恒成立.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18.AI智能阅卷是一种利用人工智能技术对试卷进行批改和评估的技术，它可以帮助教师提高阅卷效率，并为学生提供更快速更有针对性的反馈.某教师尝试使用AI系统进行阅卷，由甲、乙两种系统进行独立阅卷评分.如果两个系统评分相差2分及以下，则以两种系统评分的平均分作为最后得分；如果两个系统评分相差3分及以上，则人工进行复核阅卷并给出最后得分.从两种系统进行阅卷的试卷中随机抽取12份试卷作为样本，其评分情况如下表所示：试卷序号123456789101112系统甲评分828876928766756990588684系统乙评分808276908061716588548280最后得分818576918564746789568483（1）从这12份试卷中随机选取1份，求甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的概率；（2）从这12份试卷中随机选取3份，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的份数记为X，求X的分布列和数学期望；（3）从上述的12份试卷中随机抽取1份，设甲系统对其评分为，乙系统对其评分为，最后得分为.令，，试比较方差和的大小.（结论不要求证明）19.已知椭圆的一个顶点为，焦距为2．（1）求椭圆E的方程；（2）过点的直线与椭圆E交于B，C两点，过点B，C分别作直线的垂线（点B，C在直线l的两侧）．垂足分别为M，N，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数t，使得，，总成等比数列？若存在，求出t的值．若不存在，请说明理由．20.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若是增函数，求a的取值范围；（3）证明：有最小值，且最小值小于．21.已知等比数列的公比为q（），其所有项构成集合A，等差数列的公差为d（），其所有项构成集合B．令，集合C中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列．（1）若集合，写出一组符合题意的数列和；（2）若，数列为无穷数列，，且数列的前5项成公比为p的等比数列．当时，求p的值；（3）若数列是首项为1的无穷数列，求证：“存在无穷数列，使”的充要条件是“d是正有理数”．

参考答案一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.12345678910AADBBABCBD二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】设等比数列的公比为，因为，，可得，解得，又由，且，所以数列构成首项为，公比为的等比数列，则数列的前项和为．故答案为：；3112.【答案】因为，由，故答案为：.13.【答案】设等比数列，，的公比为，则等比数列为，不妨设调整顺序后的等差数列为，则，∵，∴，解得或（舍），令，则，，∴满足条件的一组，，的值依次为.故答案为：（答案不唯一）.14.【答案】由题意，根据函数的部分图像，可得，由，得，则，即，又由，即，解得，，即，，又因为，所以，所以.，由，所以时，有最大值6.故答案为：.；615.【答案】因为有限数列的各项均不小于的整数，所以，，，又因为，所以，所以，且，为整数，所以，所以③错误，④正确；当时，得，所以，则，所以，故①错误；当时，得，又因为，所以，则，所以，为整数，则的可能取值为，0，1，2，对应的的取值为6，4，2，0，故数列可能为，，6；，0，4；，1，2；，2，0，共4个，故②正确．故答案为：②④．三､解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）由正弦定理得，因为，所以，所以，即，所以.（2）因为，所以，若选条件①：因为，所以，则可能为锐角，也可能为钝角，不满足存在且唯一确定，所以条件①不符合题意.若选条件②：因为，由正弦定理得：，联立，解得，由余弦定理得，所以.若选条件③：由，得，所以，由正弦定理得，联立，解得，由余弦定理得，所以.17.【答案】（1）由函数，若选择①：则，即，所以，解得：不唯一，所以函数不唯一确定；若选择②：若图象关于对称，则，即，由，所以所以若函数在区间有且只有一个最大值和一个最小值，则，即，即，则有，又，所以，所以，所以函数存在且唯一确定；若选择③：设函数的最小正周期为，因为在区间内无极值点，且，故，，由此得出唯一，所以函数唯一确定；综上所述函数要唯一确定，则.（2）由（1）得：，所以不等式所以，即，因为，我们需要找到满足：且的情况，则当时有：，所以要使得不等式在区间内有解，则，所以的取值范围为：.18.【答案】（1）设事件为从这12篇份试卷中随机抽取1份，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分，又在这12篇份试卷中，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的有篇，所以；（2）由已知的可能取值为，，，3，，所以的分布列为所以的数学期望为；（3），证明如下：的取值依次为：1，3，0，1，2，2，1，2，1，2，2，1，平均数为：，的取值依次为：1，3，0，1，5，3，3，2，1，2，2，3，平均数为：，所以.19.【答案】（1）根据已知可得，所以，所以椭圆E的方程为.（2）由已知得，的斜率存在，且在轴的同侧，设直线的方程为，，不妨设，则由得所以因为，所以，，要使，，总成等比数列，则应有解得，所以存在，使得，，总成等比数列.20.【答案】（1）当时，，，，故，所以曲线在点处的切线方程为，即；（2）定义域为，，若是增函数，则恒成立，故，即，其中，当且仅当，即时，等号成立，故，解得，a的取值范围是（3）定义域为，，结合（2）可知，当时，是增函数，故在处取得最小值，且最小值小于，当时，令得，，该方程有两个正实数根，设为，由韦达定理得，即，令得，，或，令得，，随着的变化，的变化情况如下：+0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的极小值为，故的最小值为，记为，当时，若，则，此时与矛盾，舍去，所以，则或，故，所以肯定小于，所以，当时，，所以，此时，，，即，故此时，综上，有最小值，且最小值小于21.【答案】（1）取为；为，则满足：，故为等比数列.而，故为等差数列，故此时，符合题意.（2）因为集合C中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列，故中各项均为正数，所以中的各项均为正数，而为无穷等差数列，故.设的前5项为：，因为，，，所以，此时必有，事实上，若，则的前5项即是的前5项，与矛盾．所以或．若，则，所以，此时的前5项为1，，2，，4，即，，所以数列的公差为，因为，所以符合题意；若，则或①时，有p，，成等差数列，所以，解得，与矛盾；②时，有，所以，所以的前5项为1，，，2，，因为，所以，即，所以，故，与为等差数列矛盾．所以不可能．综上，p的值为．（3）因为数列是首项为1的无穷数列，由（2）知，数列是递增的数列；对于公比不为1的无穷数列，必有，．否则，若q为负，则相邻两项必有一项为负，这与中的最小项为矛盾；若，则当时，，即，这与中的最小项为矛盾．先证明充分性