2025北京首师大附苹果园中学高三10月月考数学试题及答案

高中2025北京首都师大附苹果园中学高三10月月考数学考生须知1.本试卷为闭卷考试，满分为150分，考试时间为120分钟.2.本试卷共4页，各题答案均答在答题卡规定的位置.一.单项选择题：（本题包括10道小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，多选、错选均不得分.）1.若集合，或，则（）A. B. C. D.2.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是A. B. C. D.3.函数是（）A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为2π的奇函数 D.最小正周期为2π的偶函数4.角的终边过点，则（）A. B. C. D.35.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.6.已知函数，则（）A.在上单调递减 B.在上单调递增C.在上单调递减 D.在上单调递增7.已知函数，则对任意实数x，有（）A. B.C. D.8.函数的图象大致为（）A.B.C. D.9.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是．那么后物体的温（单位：℃）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46℃的物体，放在10℃的空气中冷却，以后物体的温度是38℃，则k的值约为（）A.0.25 B. C.0.89 D.10.已知函数的定义域为，存在常数，使得对任意，都有，当时，．若在区间上单调递减，则t的最小值为（）A.3 B. C.2 D.第二部分非选择题（共110分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上）11.函数的定义域是_________．12.已知，则_____.13.若函数的值域为，则实数的取值范围为______．14.设函数①给出一个的值，使得的图像向右平移后得到的函数的图像关于原点对称，______；②若在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是______．15.对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质.（1）下列函数中具有性质的有___________.①②③，（）④（2）若函数具有性质，则实数的取值范围是___________.三、解答题（本大题共6个小题，共65分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.16.已知等比数列满足，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.17.已知函数.（1）求的单调递减区间；（2）设.当时，的取值范围为，求的最大值.18.在中，．（1）求；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．19.已知函数.（1）求函数的单调区间及极值；（2）直接写出函数的值域，不要求计算过程.20.已知函数.（1）若曲线在处的切线方程为，求的值；（2）证明：当时，曲线不存在斜率小于零的切线；（3）若函数存在极值，求的取值范围.21.已知数列记集合（1）对于数列：，列出集合的所有元素；（2）若是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由；（3）若把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为若，求的最大值.

参考答案一.单项选择题：（本题包括10道小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，多选、错选均不得分.）12345678910CDBBACCDAB第二部分非选择题（共110分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上）11.【答案】解：因为，所以，解得且，故函数的定义域为；故答案为：12.【答案】，.故答案为：13.【答案】令，由题意得的值域为，又的值域为，所以解得所以的取值范围为．故答案为：14.【答案】由题意可得，因为的图像关于原点对称，所以，即，当时，；若，则，有且仅有两个零点，则，解得，故的取值范围为.故答案为：（答案不唯一）；15.【答案】解：（1）在时，有解，即函数具有性质P，令，即，∵，故方程有一个非0实根，故具有性质P；的图象与有交点，故sinx=有解，故具有性质P；令=，此方程无解，故，（）不具有性质P；令，则由两图象在有交点，所以有根，所以具有性质P；综上所述，具有性质P的函数有：①②④；（2）具有性质P，显然，方程有根，令，则，令，解得，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以，所以的值域[，+∞），∴，解之可得：或．故答案为：①②④；或．三、解答题（本大题共6个小题，共65分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.16.【答案】（1）（2）【详解】（1）因为等比数列满足，则，两式相除可得，解得.所以的通项公式为.（2）.所以17.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）令，.所以，.所以函数的单调递减区间.（2）因为，所以.因为的取值范围为，所以的取值范围为所以.解得：.所以m的最大值为.18.【答案】（1）（2）答案见解析【详解】（1）解：因为，由余弦定理得，又因为，所以.（2）解：由（1）知，若选①②：，，由，可得，由正弦定理，可得，解得，则，又由余弦定理，可得，即，解得或（舍去），所以的面积为.若选①③：且，由，可得，因为，可得，由正弦定理，可得，解得，所以的面积为.若选：②③：且，因为，可得，整理得，解得，不符合题意，（舍去）.19.【答案】（1）答案见解析（2）【详解】（1）因为，所以.由；由或.所以的递减区间为和，递增区间为.函数的极小值为，极大值为.（2）因为函数在和上单调递减，在上单调递增，且恒成立，又，且时，时，所以函数的值域为.20.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【详解】（1）函数的定义域为，，因为曲线在处的切线方程为，故切点为，因为，故切点在曲线上，因为，所以，解得，故的值为；（2）当时，所以，令，，当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以函数在处有最小值，即，所以曲线在定义域内恒成立，故时，曲线不存在斜率小于零的切线；（3）当时，函数存在极值；当时，若函数存在极值，则有解，即，当，即时，关于的方程无解，当，即时，得，令，，当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以函数在处有极小值为，因为时，，当时，，故函数大致图象如下：所以要使有解，则或，下面，讨论或，函数是否存在极值，令，，当时，在上恒成立，所以在上单调递增，即在上单调递增，因为时，，所以，即，，所以当时，函数存在极值，当时，因为时，，时，，所以在上单调递减，上单调递增，所以在处有最小值，因为，，所以当时，，故函数存在极值，当时，，故函数不存在极值；综上，若函数存在极值，求的取值范围为.21.【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析；（3）.【详解】（1）由题意可得，，，所以.（2）假设存在，使得，则有，由于与奇偶性相同，所以与奇偶性不同，又因为，所以必有大于等于的奇数