2027届高三数学一轮复习课件：第二章　2.7　函数的零点与方程的根

第二章函数及其性质2.7函数的零点与方程的根知识清单考点清单目录CONTENTS知识清单知识点函数零点1.零点的定义对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.2.零点的几个等价关系方程f(x)=0的实数解⇔函数y=f(x)的零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.3.函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么函数y=

f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的

解.4.二分法对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在

区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做

二分法.知识拓展

1.由函数y=f(x)(其图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出

f(a)·f(b)<0(如图所示),

所以“f(a)·f(b)<0”是“y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点”的充分不必要条件.2.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,y=f(x)在

(a,b)上单调,那么f(x)=0在区间(a,b)上有且仅有一个实数根.3.函数F(x)=f(x)-g(x)有零点⇔方程F(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)与y=g(x)的图象有交点.即练即清1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)(1)函数y=2x-1的零点是

.

()(2)若函数f(x)在区间(a,b)上满足f(a)·f(b)>0,则函数f(x)在区间(a,b)上一定没有零点.

()(3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.

()(4)已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,若f(-1)·f(3)<0,则方程f(x)=0至少有一

个实数解.

()

√

✕

✕

✕

2.若f(x)=ax+b的零点是2,则函数g(x)=bx2-ax的零点为____________.

0或- 

3.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是(n,n+1)(n∈Z),则n=_______.

-2

4.若函数f(x)=2x-

-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是_____________.

(0,3)

考点清单考点函数的零点角度1判断零点所在区间典例1

(2025届广东肇庆一中开学考,7)已知函数f(x)=(m-2)xm为幂函数,若函数g(x)=lgx

+x-m,则g(x)的零点所在区间为

()A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)

C

解析由f(x)=(m-2)xm为幂函数,得m-2=1,得m=3,所以g(x)=lgx+x-3,显然,g(x)=lgx+x-3是

(0,+∞)上的增函数.选项A,当x→0时,g(x)→-∞,g(1)=-2,因此A错误;选项B,g(1)=-2,g(2)=lg2-1<0,因此B错误;

选项C,g(2)=lg2-1<0,g(3)=lg3>0,所以g(2)g(3)<0,因此C正确;选项D,g(3)=lg3>0,g(4)=lg4+1>0,因此D错误.故选C.方法总结判断函数零点所在区间的方法1.利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有

f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.2.数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.变式训练1.(数形结合法)已知函数f(x)=2x+x-4,g(x)=ex+x-4,h(x)=lnx+x-4的零点分别是a,b,c,

则a,b,c的大小顺序是

()A.a<b<c

B.c<b<a

C.b<a<c

D.c<a<b

C

解析分别令f(x)=0,g(x)=0,h(x)=0,则2x=-x+4,ex=-x+4,lnx=-x+4,则a,b,c分别是y=2x,y=ex,y=lnx的图象与直线y=-x+4的交点的横坐标.在同一平面直角坐标系中,分别作出y=2x,y=ex,y=lnx,y=-x+4的图象,如图.由图知b<a<c.故选C.

角度2判断零点个数典例2

函数f(x)=x2-2|x|-ln|x|的零点个数为()A.1

B.2

C.3

D.4

D

解析函数f(x)的定义域为{x|x≠0},且f(-x)=(-x)2-2|-x|-ln|-x|=x2-2|x|-ln|x|=f(x),故函数f(x)

为偶函数.当x>0时,f(x)=x2-2x-lnx,考虑函数f(x)在(0,+∞)内的零点个数,令f(x)=0,可得x2-2x=lnx,作出函数y=x2-2x,y=lnx在(0,+∞)上的图象,如图所示,

由图可知,函数y=x2-2x,y=lnx的图象在(0,+∞)上的交点个数为2,故函数f(x)在(0,+∞)上的零点个数为2,因此,函数f(x)的零点个数为4.故选D.方法总结判断零点个数的方法1.解方程法:若对应方程f(x)=0可解,通过解方程,则方程有几个不同解就对应有几个零

点.2.函数零点存在定理法:利用函数零点存在定理不仅要求函数图象在区间[a,b]上连续,

且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才

能确定函数的零点个数.3.数形结合法:合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题.两个函数图

象交点的个数就是函数零点的个数.变式训练2.(关键元素变式)(2019课标Ⅲ,5,5分)函数f(x)=2sinx-sin2x在[0,2π]的零点个数为(

)A.2

B.3

C.4

D.5B

解析由f(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx(1-cosx)=0,得sinx=0或cosx=1.∴x=

kπ,k∈Z,又∵x∈[0,2π],∴x=0,π,2π,即零点有3个,故选B.角度3已知函数零点求参数典例3

已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[-1,1]时,f(x)=x2.函数g(x)=

若函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]上恰有8个零点,则a的取值范围为

(

)A.(2,4)

B.(2,5)

C.(1,5)

D.(1,4)A

解析函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]上恰有8个零点,则函数f(x)与函数g(x)的图象在区间[-5,5]上有8个交点,由f(x+2)=f(x)知,f(x)是R上周期为2的函数,作出函数f(x)与函数g(x)在区间[-5,5]上的图象,如图,由图知,当x∈[-5,1)时,两图象有5个交点,故在[1,5]上有3个交点即可,则a>1,故

解得2<a<4.故选A.方法总结已知函数零点求参数的方法1.直接法:直接利用函数零点存在定理构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式(组)

确定参数范围.2.分离参数法:先将参数与自变量分离开来,转化成求函数的最值或值域问题.3.数形结合法:先对解析式变形,将所求函数的零点问题转化为两个函数图象交点问题,

在同一坐标系中画出函数的图象,利用数形结合求解.变式训练3.(关键元素变式)设函数f(x)=

且F(x)=f(x)+x-a有且仅有2个零点,则a的取值范围是______________.

(-∞,1]

解析令F(x)=0,得f(x)=-x+a,作出函数f(x)和y=-x+a的图象,如图.

由图知,当直线y=-x+a经过点A(0,1)时,两个函数图象有两个交点,此时1=-0+a,即a=1;平

移直线y=-x+a,要使两函数图象有两个交点,则a≤1.故a的取值范围是(-∞,1].4.(关键元素变式)(2026届福建福州三中第五次质量检测,7)已知定义在R上的奇函

数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),当x∈[0,1]时,f(x)=2x-a,若f(x)=m|x-1|恰有六个不相等的实数根,

则实数m的取值范围为

()A.

∪

B.

∪

C.

∪

D.

∪

D

解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1+x)=f(1-x),所以f(0)=0,f(x)的图象关于点(0,

0)和直线x=1对称,所以f(x)的周期为4,【若函数f(x)的图象关于直线x=a和点(b,0)对称,则

函数f(x)的周期为4|b-a|(a≠b)】当x∈[0,1