2026年甘肃省兰州市中考数学一模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026年甘肃省兰州市中考数学一模试卷一、选择题：本题共11小题，每小题3分，共33分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.-3的绝对值是（）A.3 B. C. D.-32.以下图形中，是轴对称图形的是（）A. B.

C. D.3.计算：（3a+2b）（3a-2b）=（）A.3a2-2b2 B.3a2-4b2 C.9a2+4b2 D.9a2-4b24.已知一元二次方程x2+4x+3=0，则此方程的根的情况是（）A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根

C.无实数根 D.无法判断根的情况5.在铺设钢轨时，两条钢轨必须是互相平行的.如图，已知∠1=90°，轨枕的俯视图是矩形，为保证两条钢轨平行，只需要确保（）A.∠2=90° B.∠3=90° C.∠4=90° D.∠5=90°6.如图，在四边形草坪内选取一点P修建凉亭，并用小路将其与A，B，C，D四个顶点相连接，要使它到四边形四个顶点的距离之和最小，则凉亭修建地点P一定在（）A.线段AC与BD的交点

B.线段AC的中点

C.线段BD的中点

D.四边形草坪内任意一点7.铁路道口的栏杆如图所示，AB=1.5m,BC=6m.要使栏杆右端从栏杆水平位置上升的垂直距离CE为4m,则栏杆左端应下降的垂直距离AD为（）A.2m B.1.5m C.1m D.0.5m8.在一定范围内，固定质量的酒精的体积V（单位：L）可近似地看作温度t（单位：℃）的一次函数，其图象如图所示，则V与t之间的表达式为（）A.V=0.00575t-5.25

B.V=-0.00575t+5.25

C.V=0.00575t+5.25

D.V=-0.00575t-5.259.某店铺开展了顾客满意度调查，满意度评分由低至高依次为1分、2分、3分、4分和5分，评分越高表示顾客对店铺的服务质量越满意，根据调查结果绘制的统计图如图所示，其中评分为5分的有816人，则下列说法正确的是（）A.调查总人数为1000人

B.评分为2分的人数最少

C.评分的众数为4分

D.大多数顾客对店铺的服务不满意10.今有雀一只重一两九铢，燕一只重一两五铢.有雀、燕二十五只，并重二斤一十三铢.问：燕、雀各几何？（选自《张丘建算经》），古时，1斤等于16两，1两等于24铢，则题目大意为：1只雀重33铢，1只燕重29铢.雀和燕一共有25只，共重781铢.燕、雀各有多少只？设雀有x只，燕有y只，则下列方程组正确的是（）A. B.

C. D.11.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，动点P从点A出发沿AB边匀速运动，到达点B时停止运动.过点P作PF∥AD，交DE于点F.设AP=x,△DPF的面积为y1，△DEP的面积为y2，则y1与x,y2与x的函数关系分别是（）A.均为一次函数

B.均为二次函数

C.一次函数，二次函数

D.二次函数，一次函数二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。12.因式分解：a2-ab=

.13.如图，在△ABC中，AB=AC=13cm,BC=10cm,AD为△ABC的中线，则AD=

cm.

14.位于兰州黄河风情线上的某摩天轮（图1），可近似地看成一个圆（图2），其半径为44米，36个全景透明轿厢平均分布在摩天轮上.小明和小亮周末乘坐该摩天轮时分别坐在了A处和B处的轿厢，则的长为

米（结果保留π）.15.研究发现，生物的性状是由基因决定的，如豌豆豆荚的性状（饱满或皱褶）是由一对等位基因S和s决定的，这对基因一个来自父本，一个来自母本.当基因组成为ss时豌豆豆荚的性状是皱褶；其余基因组成时豌豆豆荚的性状是饱满.假设父本与母本的基因组成都是Ss,它们的两个等位基因S和s会等可能地遗传给其子代，则子代的豆英性状是皱褶的概率是

.三、解答题：本题共11小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题5分)

计算：.17.(本小题5分)

解不等式组：.18.(本小题5分)

先化简，再求值：m（4n-3m）+（2m-n）2，其中m=-2，n=3.19.(本小题7分)

如图，一次函数的图象与反比例函数），图象交于A（1，2），B两点，与x轴，y轴分别交于点C，D.

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；

（2）已知点B的横坐标为4，求△AOB的面积.20.(本小题7分)

数学实践小组在研学时提出问题：山上信号塔的高度约为多少米？

实践小组利用已学知识和工具测量数据解决问题，具体研究方案如下：问题山上信号塔的高度约为多少米？工具皮尺、测倾器等测量工具图形说明根据实际问题画出示意图（图2），小组成员首先在山脚平地上的C处测得∠ACN=37°，再往信号塔方向前进至山脚平地上的D处，测得CD=150m,在D处测得∠ADN=45°，∠BDN=42°，AB⊥CN于点E.根据上述信息，请你帮助实践小组解答下列问题：

（1）求信号塔顶到山脚平地的距离AE（结果精确到1m）；

（2）求信号塔AB的高度（结果精确到1m）.

（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）21.(本小题7分)

某学习小组的研究性学习报告的部分内容如下，请认真阅读，完成相应问题.主题设计几何图形复刻仪的研究报告设计思路几何图形复刻仪是由共端点的两根伸缩杆（OP，OP′）和两支笔（点P，P′）构成.在复刻过程中，伸缩杆始终保持相同长度（OP=OP′），通过调整夹角（∠POP′）的大小来控制复刻后图形的位置.

具体实例如图1，小明利用复刻仪复刻等边三角形ABC的过程如下：使复刻仪的定点O与顶点A重合，调整∠POP′=∠BAC，笔（点P）从A→B→C→A运动时，另一支笔（点P′）随之运动，从而将等边三角形ABC复刻到△ACD的位置.小明在复刻过程中发现，当点P从B→C运动时，总有△ACP′与△ABP全等.

根据以上信息，解决下列问题：

（1）如图1，小明利用几何知识证明△ACP′≌△ABP的过程如下：

∵△ABC为等边三角形，

∴AC=AB.

∵∠PAP'=∠BAC，

∴∠PAP'-∠PAC=∠BAC-∠PAC.

∴∠CAP'=_____①.

由设计思路可知，AP'=_____②.

∴△ACP′≌△ABP.（_____③）

请写出①②③处空缺的内容：①______，②______，③______；

（2）如图2，小明将复刻仪的定点O与顶点A重合，调整夹角∠POP'=∠BAC，可对△ABC进行复刻.他进一步思考发现，利用尺规作图的相关知识也能得到相同的复刻结果，请你用无刻度的直尺和圆规将图中的点P复刻至AB上方的点P′处.（不写作法，保留作图痕迹）

22.(本小题7分)

研究发现：人类繁衍无数代，但总体看来，成年人的身高并没有发生太大变化.基本稳定在一定范围内（不考虑人种差异）.为此、研究小组随机选取某地区的16对父子的身高进行研究，将所得数据进行收集、整理、描述和分析，相关信息如下：

信息一：16对父子的身高.编号12345678父亲身高x/cm160174170173169182172180儿子身高y/cm163176176170170181176178编号910111213141516父亲身高x/cm172168166182173164180176儿子身高y/cm174170168178172165182177信息二：16对父子身高的条形图.将父亲与儿子的身高都分成5组：A（160≤a＜165），B（165≤a＜170），C（170≤a＜175），D（175≤a＜180），E（180≤a＜185）.

信息三：16对父子身高的散点图.为研究儿子身高y（cm）与父亲身高x（cm）之间的相关关系，利用统计软件画出散点图，发现散点大致分布在直线l附近，直线l的关系式近似为y=0.784x+38.2.

根据以上信息，解决下列问题：

（1）父亲身高的中位数落在______组；（填组别字母）

（2）下列结论正确的是______；（只填序号）

①16对父子的身高差都小于5cm；

②由信息三可知，若父亲身高为186cm时，他儿子的身高很可能在184cm左右.

（3）若该地区有4000对父子，估计其中父子身高都在180≤a＜185范围的有多少对？23.(本小题7分)

如图，点C，D在以AB为直径的⊙O上，AB平分∠CAD，BE交AD的延长线于点E，∠ABC=∠E.

（1）求证：BE是⊙O的切线；

（2）若BC=4，BE=5，求DE的长.24.(本小题8分)

在数学综合实践课上，某兴趣小组的同学们通过折叠正方形探究与轴对称有关的几何问题.如图，在正方形ABCD中，点E是线段AD上的一点，将△ABE沿BE折叠，使点A落在点P处，得到△PBE后再展平，连接EP并延长交CD于点F.

【初步探究】

（1）如图1，小刚发现△BPF≌△BCF，请说明理由；

【深入探究】

（2）如图2，连接AP并延长交CD于点G，求证：EF=DG+CF.

25.(本小题8分)

已知二次函数y=ax2-2ax-2t的图象经过点A（-1，t）.

（1）求证：a=t；

（2）若该二次函数的最小值为a2-4.

①求二次函数的表达式；

②若M（x1，m），N（x2，m）为二次函数图象上的不同的两点，且m≠-2，求证：.26.(本小题9分)

综合与实践

在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于平面内一点M和另一点P，在图形G上存在点Q.使得PM•QM=k（k为常数，k＞0）且PM⊥QM于点M，则称点P为图形G关于点M的“k定积垂旋点”，点M称为垂旋中心.

【感知定义】（1）如图1，已知图形G1：线段AB，A（2，2），B（4，2），若点P为图形G1关于点M的“3定积垂旋点”，其中M（1，2）为垂旋中心，请写出一个满足要求的点P坐标______；

【类比研究】（2）如图2，已知图形G2：半径为的⊙O，若直线y=-x+b上存在点P为图形G2关于点O的“4定积垂旋点”，其中O（0，0）为垂旋中心，求b的取值范围；

【应用迁移】（3）如图3，M（-2，0）为垂旋中心，点P（0，t）为图形G3关于点M的“6定积垂旋点”，点Q是图形G3上的一点，请解决以下问题；

①求OQ的最大值；

②请直接写出OQ取得最大值时t的值.

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】A

10.【答案】A

11.【答案】D

12.【答案】a（a-b）

13.【答案】12

14.【答案】π

15.【答案】

16.【答案】-3，

17.【答案】-1＜x＜7．

18.【答案】m2+n2，13．

19.【答案】；

20.【答案】450米

45米

21.【答案】∠BAP;AP;SAS

如图2，∠POP'即为所求．

22.【答案】C

②

该地区有4000对父子，估计其中父子身高都在180≤a＜185范围的有500对

23.【答案】证明：∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAB+∠ABC=90°，

∵∠ABC=∠E，

∴∠CAB+∠E=90°，

∵AB平分∠CAD，

∴∠CAB=∠DAB，

∴∠DAB+∠E=90°，

∴∠ABE=90°，

∵OB为半径，

∴BE是⊙O的切线

3

24.【答案】∵四边形ABCD是正方形，

∴BA=BC，∠A=∠C=90°，

由折叠可得：BP=BA，∠BPE=∠A=90°，

∴BP=BC，∠BPF=∠C=90°，

∵BF=BF，

∴Rt△BPF≌Rt△BCF（HL）

如图，连接BF，

由（1）得Rt△BPF≌Rt△BCF，

∴CF=PF．

∵四边形ABCD是正方形，

∴BA=AD，∠BAE=∠D=90°，

∴∠BAG+∠DAG=90°，

根据轴对称的性质得：AP⊥BE．

∴∠BAG+∠ABE=90°，

∴∠ABE=∠DAG．

在△ABE和△DAG中，

，

∴△ABE≌△DAG（ASA）．

∴AE=DG．

由折叠可得：EP=AE．

∴EP=DG．

∴EF=EP+PF=DG+CF

25.【答案】证