浙江省湖州、衢州、丽水2026年4月三地市高三教学质量检测数学试卷（含答案）

浙江省湖州、衢州、丽水2026年4月三地市高三教学质量检测数学试卷1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.考生答题前,务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.3.选择题的答案须用2B铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净.4.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={1,2,3},N={2,3,4,5},则A.M∪N={1,4} B.M∩N={2,3}C.M⊆N D.N⊆M2.函数f(x)=tan2x的最小正周期是A.π/4 B.π/2 C.π D.2π3.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁,E为棱AB的中点,则下列与直线BD₁不互为异面直线的是A.直线DE B.直线A₁E C.直线A₁C D.直线AA₁4.已知复数z=cosπ3+iA.-i B.i C.1 D.-15.已知三组数据:①4,4,4,5,5,5,6,6,6;②3,3,4,4,5,6,6,7,7;③2,2,2,2,5,8,8,8,8的方差分别是S1A.S32＞C.S12＞S26.如图，已知正三角形ABC的边长为2，以B为圆心的圆与直线AC相切，若点P是圆B上的动点，则AC⋅A.23 B.C.4 D.2+27.已知O为坐标原点，点Q(0，3)，动点A、B在抛物线C：y2=4x上,满足OA⊥OBAB的对称点为P，则|PQ|的最大值是A.103 B.9 C.73 D.88.已知函数f(x)的定义域为D，对于任意给定n∈N*，都存在x0∈D,使得fnA.f(x)=x B.f(x)=xC.fx=1x D.f二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知等比数列{an}的公比为q，Tn=a1A.q=2 B.aC.T5=1 D.10.N(2,2²),f(x)=P(x≤Y≤x+2),g(x)=P(Y≥x),则(注：若X~Nμσ2,则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68,P(μ-2σ≤A.f(2)≈0.34 B.g(0)=0.5C.f(x)的图象关于直线x=1对称 D.g(x)的图象关于点（1，1211.已知定义在R的函数y=f(x)和y=g(x)均为奇函数,且满足函数y=f(x+1)-1是奇函数,函数y=g(x+1)-x是偶函数.若当x∈[0,1]时,fxA.f−12+g12=0 B.对任意n∈NC.f(x)=g(x)当且仅当x∈[4k-1,4k+1],k∈Z D.∣三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.椭圆x2+4y13.已知函数fx=sinx2+3cos14.如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为r₁，碗内放了三颗汤圆(视为半径均为r₂的球).三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切.若汤圆与碗口等高，则r四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,△ABC和△PAB都是边长为1的正三角形.(1)证明:PC⊥AB;(2)若AE=14AC,16.(15分)已知函数f(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程;(2)若函数f(x)有极小值，且极小值大于0，求实数a的取值范围.(其中e≈2.71828是自然对数的底数)17.(15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C.已知14(1)求cosB的值;(2)若△ABC的面积为1534,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC条件①:b=5;条件②:sinA-sinC=1;条件③:C注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分。18.(17分)设A，B两点的坐标分别为(-2，0)，(2，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3，记点M的轨迹为W，O为坐标原点.(1)求轨迹W的方程；(2)过点F(4，0)的动直线l₁与W的左、右支交于P，Q两点，且与直线x=1交于点C.过点F作直线l₂∥OC,直线l₂与直线OP,OQ分别交于点D,E.(i)证明:∣DF∣∣FE∣为定值；(ii)若△EFQ的面积与△OPQ的面积之比为19.(17分)₁,₂,₃,…,₁₅₀n1,n2,n3,⋯,(1)甲乙两人选择1枚铜币，进行抛币游戏，已知每次抛出铜币，出现正面向上和反面向上的概率均为12.游戏规则如下：若抛币者抛出正面向上，则该抛币者得1分，另一人不得分，且由该抛币者继续抛掷；若抛币者抛出反面向上，则两人均不得分，且换另一人进行下一次抛掷.现由甲第一次抛掷，记抛掷第n次时甲累计得分恰好为2分且乙累计得分小于2分的概率为P(n).例如：当n=2时，抛掷结果为：“正正；正反；反正；反反”，此时P(1)(i)计算P(3),P(4),P(5),P(6)的值;(ii)记Sn=P2(2)丙从这2026枚铜币中不放回地随机抽取150枚，记抽取的150枚铜币中共包含X种不同的铜币种类，问：当铜币₁，₂，₃，…，₁₅₀的数量如何分布时，随机变量X的期望E(X)取到最大值，并说明理由.湖州、衢州、丽水2026年4月三地市高三教学质量检测数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号l2345678答案BBCDADBC二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号91011答案ABCACABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.32 13.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,△ABC和△PAB都是边长为1的正三角形.(1)证明:PC⊥AB;(2)若AE=14AC,解:(1)取AB中点O……2分PA=PB,O是AB的中点,所以AB⊥PO又CA=CB,O是AB的中点,所以AB⊥CO.又CO∩PO=O……………………4分AB⊥平面POC,直线PC⊂平面POC所以PC⊥AB……………5分(2)因为平面PAB⊥平面ABC,且平面PAB∩平面ABC=AB且AB⊥PO,可得PO⊥平面ABC.如图，以O为原点，射线OA，OC，OP分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.则O(0,0,0),A(12,0,0),B(-12,0,0),C(0,2,0),P(0,0,则PB设平面PBC的法向量为n由{PC→·解得x=3,y=由AE=14AC,得设PE与平面PBC所成角为θ，则sinθ因此直线PE与平面PBC所成角的正弦值是3516.(15分)已知函数f(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程;(2)若函数f(x)有极小值，且极小值大于0，求实数a的取值范围.(其中e≈2.71828是自然对数的底数)解:(1)当a=1时,则fx=e−故f'(-1)=1-e,f(-1)=e-2,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯………4分因此所求切线方程y-(e-2)=(1-e)(x+1)即y=(1-e)x-1⋯⋯分(2)由题意定义域为R, f'x(i)若a≤0,则f'(x)≤0恒成立,可知f(x)在R上递减，无极值，不合题意； 9分(ii)若a＞0,令f′(x)＞0,解得x＞-lna;令f′(x)＜0,解得x＜-lna;可知f(x)在(-∞,-lna)递减,在(-lna,+∞)内单调递增,则f(x)有极小值.f−lna=所以f−lna=令ga=a2+lna−1,a＞0,则g'a=2a+1a＞0,可知所以实数a取值范围为(0，1).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯…15分17.(15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C.已知14(1)求cosB的值;(2)若△ABC的面积为1534,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC条件①:b=5;条件②:sinA-sinC=1;条件③:C注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.解：(1)由余弦定理得得14a−11整理得14acosB=11·ccosB+11·bcosC,由正弦定理得14sinAcosB=11sinCcosB+11·sinBcosC=11sin(B+C)=11sinA ⋯4分因为sinA≠0,所以cosB=(2)若选择条件①.由(1)可知, sinB=由S=12acsinB=15又由余弦定理得b2=解得a2+由(*)(**)式得a=7,c=3,或者a=3,c=7.因此所求a的值是a=7或者a=3⋯⋯5分若选择条件③.由(1)可知, sinB=又sinA=sin所以a:B.c=sinA:sinB:sinC=3:5:7,故c=7所以S化简得a2=9,得因此所求a的值是3…………………15分18.(17分)设A，B两点的坐标分别为(-2，0)，(2，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3，记点M的轨迹为W，O为坐标原点.(1)求轨迹W的方程；(2)过点F(4，0)的动直线l₁与W的左、右支交于P，Q两点，且与直线x=1交于点C.过点F作直线l₂∥OC,直线l₂与直线OP,OQ分别交于点D,E.(i)证明: ∣DF∣∣FE∣为定值；(ii)若△EFQ的面积与△OPQ的面积之比为3解:(1)设动点为M(x,y). 1分则由直线AM，BM斜率之积为3，得yx整理可得x因此轨迹W的方程为x24(2)(i)设直线l₁的方程为x=ty+4,P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),则C直线l₂的方程为x=3ty+4,由{x=3ty+4同理解得y故y因此yD+yE=yF=0.即点F(ii)不妨假设点P在第二象限，点Q在第一象限，此时yy1y2得105t4−142t2+9=0,即15t因此y2=−24由对称性可得当点Q在第四象限时，x因此点Q的坐标为Q115方法二：由题意S利用OC∥DE结合∣DF∣=∣EF不妨设∣QF∣∣得∣得∣因此∣QF∣∣解得λ=32 故FQ=32QC,因此因此点Q的坐标为Q115方法三：不妨设S因为利用OC∥DE结合|DF|=|EF|,得S由S△POES△PQO=解得n=4m.因此∣EQ∣故FQ=32QC,因此因此点Q的坐标为Q11519.(17分)现有150种不同质地的铜币◎₁,◎₂,…,◎₁₅₀的数量分别为是n1,n(1)甲乙两人选择1枚铜币◎，进行抛币游戏，已知每次抛出铜币◎，出现正面向上和反面向上的概率均为12现由甲第一次抛掷，记抛掷第n次时甲累计得分恰好为2分且乙累计得分小于2分的概率为P(n).例如：当n=2时，抛掷结果为：“正正；正反；反正；反反”，此时P(1)(i)计算P(3),P(4),P(5),P(6)的值;(ii)记Sn=P(2)丙从这2026枚铜币中不放回地取出150枚，记取出的这些铜币中共包含X种不同的铜币种类，问：当铜币◎₁，◎₂，…，◎₁₅₀的数量如何分布时，随机变量X的期望E(X)取到最大值，并说明理由.解： 1P5=(ii)分为两种情况：①第一种情况：甲得2分，乙得0分.此时由乙得0分可知：“反面向上”是成对出现的，所以n必须为偶数，设n=2k(k∈N°)..此时第2k次是“正”，前2k-1次可以看成k-1组“反+反”与1次“正”的组合，共k种情况，则P②第二种情况：甲得2分，乙得1分.此时最后一次是“正”，乙得1分必须有“反+正+反”的组合，若干“反+反”组合，还有1次“正”，所以n必须是奇数，设n=2k+1(k≥2,k∈N°).此时前2k次可看成1次“正”，1次“反+正+反”，k-2组“反+反”的组合，共Ak则P2k+1=k 8分(猜出