第13讲第1课时《关于一次函数的分段函数的应用》（教案）2025-2025学年人教版数学八年级下册

第13讲第1课时《关于一次函数的分段函数的应用》（教案）2025—2025学年人教版数学八年级下册课题：xx科目：xx班级：xx课时：计划1课时教师：XX老师单位：xxx一、设计思路二、核心素养目标本课时聚焦数学建模与逻辑推理素养，引导学生从实际问题（如分段计费）中抽象出分段函数模型，培养应用意识；通过分析函数图像和定义域，发展逻辑推理能力，理解函数的连续性与变化规律；提升数学运算技能，准确求解分段函数在不同区间的值，强化数据分析意识，体现函数在生活中的实际应用。三、教学难点与重点教学重点：本节课的核心内容是理解分段函数的定义及其在实际问题中的应用。例如，在水电费计费中，用量不超过100度时单价0.6元/度，超过部分1.0元/度，学生需掌握如何根据用量选择对应表达式（如y=0.6x,x≤100;y=60+1.0(x-100),x>100）并计算函数值，强化函数建模能力。

教学难点：学生可能难以处理分段函数的边界点和连续性问题。例如，在出租车计费中，起步价10元（3公里内），之后每公里2元，学生易混淆x=3处的计费方式（是否包含起点）；在绘制图像时，各段连接点如x=100的值是否闭合常出错，需通过实例演示和练习突破难点，确保准确应用。四、教学方法与手段教学方法：1.讲授法：结合课本例题讲解分段函数的定义域、表达式及图像特征；2.讨论法：分组讨论生活中分段计费实例（如水电费、出租车费），促进主动思考；3.实验法：借助几何画板绘制分段函数图像，直观理解变化规律。

教学手段：1.多媒体展示生活实例及动态图像，增强直观性；2.希沃白板互动练习，即时反馈学生掌握情况；3.实物投影展示学生解题过程，针对性分析错误。五、教学过程设计###1.导入新课（5分钟）

目标：通过生活实例激发学生对分段函数应用的好奇心，建立数学与实际的联系。

过程：

（1）提问：“同学们，你们家每月水电费是如何计算的？如果用电量超过一定额度，单价会变化吗？”引导学生回忆生活中“阶梯计费”现象。

（2）展示阶梯电价宣传页和出租车计价表图片，提问：“为什么不同用电量、不同里程的费用计算方式不同？”引发学生对“分段计费”原理的思考。

（3）简述：“生活中很多问题需要根据自变量的不同范围用不同的函数表达式解决，这就是我们今天要学的‘分段函数应用’。”

###2.分段函数基础知识讲解（10分钟）

目标：掌握分段函数的定义、结构及图像特征，能准确识别分段点。

过程：

（1）讲解定义：“分段函数是指在自变量的不同取值范围内，对应关系不同的函数，如阶梯电价函数。”

（2）结合课本P99例1，分析出租车计费问题：起步价10元（3公里内），超过部分每公里2元，写出函数表达式：

\[

y=\begin{cases}

10&(0<x\leq3)\\

10+2(x-3)&(x>3)

\end{cases}

\]

强调分段点x=3的意义及各段定义域。

（3）用几何画板演示图像：折线在x=3处“断开”，左侧为水平线，右侧为斜线，直观展示分段函数的“分段连续”特征。

###3.分段函数案例分析（20分钟）

目标：通过典型例题深化对分段函数应用的理解，掌握建模方法。

过程：

（1）案例1：课本P100“居民用电阶梯计价”（第一档：0-200度，0.56元/度；第二档：201-400度，0.61元/度；第三档：400度以上，0.86元/度）。

分析背景：国家为鼓励节能实施阶梯电价；特点：分三段计费，分段点为200、400度；意义：体现“多用多付费”。

计算：某家用电300度，费用=200×0.56+100×0.61=112+61=173元。

（2）案例2：手机话费套餐（月租20元，通话时间100分钟内，0.2元/分钟；超过100分钟，0.1元/分钟）。

引导学生列出函数表达式，计算通话150分钟的费用：20+100×0.2+50×0.1=20+20+5=45元。

（3）小组讨论：“生活中还有哪些分段计费实例？（如快递、停车费）它们分段的标准是什么？如何用函数表示？”每组记录1-2个实例。

###4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养合作探究能力，深化对分段函数实际应用的理解。

过程：

（1）分组：4人一组，每组发放讨论任务卡（如“快递首重1kg内12元，续重每kg5元，写出费用函数表达式并计算3kg费用”）。

（2）讨论要求：确定分段点、写出各段表达式、计算具体值、讨论“分段标准是否合理”。

（3）准备展示：每组推选代表，整理讨论结果，准备2分钟发言。

###5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：提升表达能力，通过互动巩固分段函数的应用要点。

过程：

（1）各组代表依次展示：如快递组展示函数表达式

\[

y=\begin{cases}

12&(0<x\leq1)\\

12+5(x-1)&(x>1)

\end{cases}

\]

计算3kg费用：12+5×2=22元。

（2）互动提问：其他组提问（如“x=1.5kg时，费用如何计算？”），展示组解答。

（3）教师点评：肯定“分段点明确、表达式正确”的亮点，指出“忽略定义域”（如x>0）的不足，强调“分段函数需注明自变量的取值范围”。

###6.课堂小结（5分钟）

目标：梳理知识脉络，强化应用意识。

过程：

（1）回顾：“本节课学习了分段函数的定义、图像特征，以及如何用分段函数解决生活中的计费问题（如电费、话费）。”

（2）强调：“解决分段函数应用题的关键是‘确定分段点、写对每段表达式、注意定义域’。”

（3）作业：“调查家庭某月用电量，用阶梯电价计算电费，并与实际缴费对比，写一份100字左右的报告。”六、知识点梳理1.分段函数的定义

分段函数是指在自变量的不同取值范围内，对应关系不同的函数。其本质是一个函数，但由于自变量的取值范围不同，需用不同的表达式表示。例如，函数

\[

f(x)=\begin{cases}

2x&(x<1)\\

x+1&(x\geq1)

\end{cases}

\]

中，自变量x的取值范围分为x<1和x≥1两段，每段对应一个独立的表达式，但定义域为两段的并集（x∈R）。

2.分段函数的图像特征

分段函数的图像由各段函数的图像组合而成，分段点是图像的关键位置。图像在分段点处可能连续（如上例中x=1时，左段值为2，右段值为2，图像在(1,2)点连续），也可能不连续（如函数

\[

f(x)=\begin{cases}

x&(x\leq0)\\

x+1&(x>0)

\end{cases}

\]

在x=0处左段值为0，右段值为1，图像“断开”）。绘制图像时需先确定各段定义域，再分别绘制每段函数图像，最后标注分段点。

3.分段函数的定义域与值域

分段函数的定义域是各段定义域的并集，需确保各段定义域不重复且覆盖所有自变量取值。例如，函数

\[

f(x)=\begin{cases}

x^2&(0\leqx\leq2)\\

4&(2<x\leq4)

\end{cases}

\]

的定义域为[0,4]。值域是各段函数值域的并集，上例中第一段值域为[0,4]，第二段值域为{4}，故整体值域为[0,4]。求值域时需分别计算每段的值域，再合并。

4.分段函数的求值与解析式求法

求分段函数在某点的函数值，需先判断该点属于哪个定义域范围，再代入对应表达式。例如，求f(3)时，若3属于x>2的范围，则代入第二段表达式。已知函数值求自变量时，需分段讨论，如已知f(x)=5，需分别在x≤0和x>0时解方程，再验证解是否在对应定义域内。

5.分段函数的实际应用——分段计费问题

（1）阶梯电价：如居民用电，第一档0-200度，0.56元/度；第二档201-400度，0.61元/度；第三档400度以上，0.86元/度。函数表达式为

\[

y=\begin{cases}

0.56x&(0<x\leq200)\\

112+0.61(x-200)&(200<x\leq400)\\

243+0.86(x-400)&(x>400)

\end{cases}

\]

计算时需先确定用电量所在区间，再代入对应表达式。

（2）出租车计费：起步价10元（3公里内），超过部分每公里2元，表达式为

\[

y=\begin{cases}

10&(0<x\leq3)\\

10+2(x-3)&(x>3)

\end{cases}

\]

分段点x=3是“是否计费里程”的临界点，需注意x=3时费用为10元，x>3时需加上超出部分的费用。

（3）手机话费套餐：月租20元，通话100分钟内0.2元/分钟，超过部分0.1元/分钟，表达式为

\[

y=\begin{cases}

20+0.2x&(0\leqx\leq100)\\

40+0.1(x-100)&(x>100)

\end{cases}

\]

分段点x=100是“是否享受优惠单价”的界限，计算时需区分通话时长是否超过100分钟。

6.分段函数的建模步骤

解决实际问题时，分段函数建模需四步：

①确定自变量和因变量（如用电量为x，费用为y）；

②分析问题中的分段标准（如阶梯电价的电量档位）；

③写出各段的函数表达式，注意分段点的取值（如是否包含端点）；

④检验表达式的正确性（如代入分段点值是否合理）。

7.分段函数与普通函数的区别

普通函数在整个定义域内对应一个表达式，而分段函数需多个表达式；普通函数图像通常为一条连续曲线，分段函数图像可能由多段曲线组成，且分段点处可能不连续。但两者均为函数，均满足“一个自变量对应唯一一个因变量”的函数定义。

8.易错点提醒

（1）忽略分段点的取值：如x=3时，出租车计费应代入第一段表达式，错误代入第二段会导致费用计算错误；

（2）定义域重复或遗漏：各段定义域应互斥且并集为整个定义域，避免x=200既属于第一档又属于第二档；

（3）值域合并错误：需分别求每段值域再取并集，如函数

\[

f(x)=\begin{cases}

x&(x<1)\\

x-1&(x\geq1)

\end{cases}

\]

第一段值域为(-∞,1)，第二段值域为[0,+∞)，整体值域为R，而非简单相加。

9.分段函数的拓展——复合分段函数

当分段函数的自变量或因变量本身为函数时，形成复合分段函数。例如，函数

\[

f(x)=\begin{cases}

\frac{1}{x}&(x<0)\\

x^2&(0\leqx\leq2)\\

\log_2x&(x>2)

\end{cases}

\]

需先确定x的范围，再代入对应表达式求解。此类函数在解决复杂实际问题时（如分段税率、分段折扣）更为常见。

10.分段函数的数学思想

分段函数体现了“分类讨论”的数学思想，需根据自变量的不同取值范围分类处理，同时体现“数形结合”思想，通过图像直观理解分段函数的连续性、单调性等性质。在解决实际问题时，还体现了“数学建模”思想，将实际问题抽象为分段函数模型，培养应用意识。七、重点题型整理1.**分段函数求值**：给定函数\(f(x)=\begin{cases}3x&\text{if}x<2\\2x+1&\text{if}x\geq2\end{cases}\)，求\(f(1)\)和\(f(3)\)。补充说明：分段点为\(x=2\)，当\(x<2\)时用第一段，当\(x\geq2\)时用第二段。答案：\(f(1)=3\times1=3\)，\(f(3)=2\times3+1=7\)。

2.**分段函数解析式求法**：已知函数在\(x\leq4\)时为\(y=5\)，在\(x>4\)时为\(y=5+1.5(x-4)\)，写出完整表达式。补充说明：分段点为\(x=4\)，第一段包含端点，第二段不包含。答案：\(y=\begin{cases}5&\text{if}0<x\leq4\\5+1.5(x-4)&\text{if}x>4\end{cases}\)。

3.**阶梯电价计算**：居民用电，第一档0-200度0.55元/度，第二档201-400度0.60元/度，第三档400度以上0.85元/度。计算用电280度的费用。补充说明：分段点为200和400度，分段计算费用。答案：第一档200×0.55=110元；第二档(280-200)×0.60=48元；总费用110+48=158元。

4.**出租车计费应用**：起步价8元（2公里内），超过部分每公里1.8元。计算行驶5公里的费用。补充说明：分段点为2公里，2公里内用起步价，超出部分按每公里1.8元计算。答案：起步价8元；超出部分(5-2)×1.8=5.4元；总费用8+5.4=13.4元。

5.**快递费用建模**：首重2kg内15元，续重每kg4元。写出费用函数表达式，并计算4kg的费用。补充说明：分段点为2kg，首重包含2kg，续重超过部分。答案：表达式\(y=\begin{cases}15&\text{if}0<x\leq2\\15+4(x-2)&\text{if}x>2\end{cases}\)；4kg费用15+4(4-2)=15+8=23元。八、板书设计八、板书设计

①分段函数定义与结构：自变量不同取值范围对应不同表达式；函数本质为一个，需分段表示；标准形式：\(y=\begin{cases}f_1(x)&(x\inD_1)\\f_2(x)&(x\inD_2)\end{cases}\)（\(D_1\capD_2=\varnothing\)，\(D_1\cupD_2\)为定义域）。

②分段函数图像特征：由各段函数图像组合而成；分段点是图像关键位置（可能连续或不连续）；绘制方法：先确定各段定义域，分段绘制，标注分段点（如“x=3处断开”）。

③实际应用建模步骤：确定自变量与因变量（如用电量x、费用y）；