【高中数学】2026版-高考数学知识点一本全（文理适用）

高考数学知识点一本全 1 6 2第一部分集合与常用逻辑用语g全称命题（"）AÍB逻辑联结词命题“x∈A”=>”x∈B”A=B反证法AÍB集合1.集合的含义：把一些能够确定的不同的的对象看成元素a属于集合A记作a∈A，元素a不属于集合A记作a∉A．2.集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性.特殊的集合有：空集g，自然数集N，正整数集N*（或N+整数集Z，有理数集4.集合的表示：列举法{a,b,c}、特征性质描述法{x∈I|p(x)}．3②点集与数集的交集是g.例：A={(x，y)|y=x+1},B={y|y=x2+1},则A∩B=g．1.子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A就叫做集合B的子集，记作如果集合A中存在着不是集合B的元素，则集合A不包A2.真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作Ac≠B或BA．ABB4.集合的相等：如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，则称集合A与集合B相等，记作A=B．②空集是任何集合的子集，记为g⊆A；⑥n个元素的子集有2n个.真子集有2n－1个.非空真子集有2n－2个.1.交集：由属于A又属于B的元素构成的集合，叫做A、B的交集，记作AB，2.并集：把集合A、B中所有元素并在一起构成的集合，叫做A、B的并集，记作AB，3.全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么4.补集：如果A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补4①AB=BA，AA=A，Ag=gA=g，A⊆B⇋AB=A；②AB=BA，AA=A，Ag=gA=A，A⊆B⇋AB=B；[注]:①如何证明AşB？来源微信公众号：高三答案②如何证明A=B？③看集合要首先关注代表元.如2010北京1）集合P={x∈Z0≤x<3},M={x∈Rx2≤9}，则P∩M=遗忘了A=g。[注]:要判断一个全称命题假，只需举一个反例；要示．不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题5pqp1111000101011000 6.常用词语的否定:是且或存在一个x不成立存在有一个x成立7.推出与充要条件:②p⇋q：p是q的充分且必要条件，简称充要条件．互否逆互否互否互否9.①一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题⇋逆否命题.②一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题⇋逆命题.③一个命题的否命题要区别于该命题的否定，前者关于集合的考查，一类是不等式的知识结合在一起，考查集合的运算；另一类以集合的概念为基关于常用逻辑用语的考查通常是以具体的章节的知识为背景考查，侧重于基本逻辑用语知识的应用，一般情况下试题属于容易题.6xx_a≤1，B=，若AB=φ,则实数a的解：逆否：a=2且b=3，则a+b=5，成立，所以此命题为真.解：逆否：若x+y=3，则x=1或y=2.例：命题p：已知a,b,c为实数，若ac<0，则ax2+bx+c=0有两个不相等的实根；¬p(即命题的否定)为：若ac<0，则ax2+bx+c=0没有两个不相等的实根；例：设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k_1∉A且k+1∉A，那么k是A的一个“孤7y=ax+xax+by=cx+d从函数自身来考虑函数的表示方法1.了解映射f:A→B的概念:（2）A中元素在B中必须都有象且唯一；（3）B中元素在A中不一定都有原象，若有原象也不一定唯一．如果A、B都是非空数集，那么A到B的映射f:A→B叫做A到B的函数，记作y=f(x)．其中x∈A，y∈B。原象的集合A叫做3.函数f:A→B是特殊的映射．84.求函数定义域的常用方法:（1）偶次根式的被开方数非负；分母不能为零；对数logaxπ三角形中0<A<π,最大角≥,最小角≤π基本初等函数直接利用单调性；导数；均值定理；三角代换；数反之亦然．它们的定义域与值域互换，图象关于直线y＝x对称.为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否但要注意定义域的变化，如f②利用函数奇偶性定义的等价形式：f±f偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.③若f(x)为奇函数，且0在函数的定义域中，则必有f(0)=注意：f(0)=0是f(x)为奇函数的既不充分也不必值x1,x2，当x1<x2时，总有f(x1)如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具9间特别要注意y=ax型函数的图象和单调性在解题中的运用特别要注意y型函数的图象和单调性在解题中的运用（由反比例函数经图象变化得到。以x为渐近线的双曲线）函数y=sin的单调递增区间是应首先将x的系a （3）特别关注形如y的函数．其图像是双曲线，其两渐近线分别是直线x由分母为零确定)和直线y由分子、分母中x的系数确定)，对称中心是点（4）如何画出|f(x)|的图象？如何画出f(|x|)的图象？注意：①定义在R上的常数函数也是周期函数；（1）若f(x)图像有两条对称轴x=a,x=b(a≠b)，则f(x)是周期函数，（2）若f(x)图像有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(a≠b)，则f(x)是周期函数，（3）如果函数y=f(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b(a≠b)，则函数y=f(x)必是周期函数，且4|a一b|为一个周期；或f；均可得出2a是f(x)的一个周期.指数函数y=ax、对数函数y=logax的图象都分两类（a>1、0<a<1幂函数y=xn的图象首先关注第一象限，再根据定义域及奇偶性作出其它象限的图象．在同一坐（1）利用一些方法（如赋值法（令x＝0或1，求出f(0)或f(1)、令y=x或y=_x等）探究；①正比例函数型：f(x)=kx(k≠0)----------f(x±y)=f(x)±f(y)；②幂函数型：f(x)=x2--------------f=f，f③指数函数型：f(x)=ax------------f=f，f④对数函数型：f=logax-----f=f+f，f_f⑤三角函数型：f=tanx-----f需要注意的是：函数模型只是满足所对应的抽象函数的一种函数类型，但该抽象函数并不一定就是该函数模型，所以，函数模型只能帮助我们思考，但不能作为推理、函数是北京高考考查能力的重要素材，以函数为基础与其它章节在知识交汇点命制的考查能力的以选择题、填空题形式主要考查函数的基本概念、函数图象、函数性质（单调性、奇偶性、周期例：对于函数:①flog2xx，③fcos(x+2)__cosx，命题甲：f(x)在区间(1,2)上是增函数；命题乙：f(x)在区间(0,+∞)上恰有两个零点x1,x2，且x1x2<1.（A）①（B）②（C）①③例：如图，动点P在正方体ABCD_A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．（1）设BP=x，MN=y，则函数y=f(x)的图象大致是（B）（2）设BP=x，四边形面积SD1MBN=y，则函数y=f(x)的图象大致是（B）yyyyyB1NCD1A1DAMPB2，使得f(x1)=f(x2)成立，则实数a的取值（A）a<2（B）a>2（C）__2<a<2（D）a>2或a<__2第三部分导数导数微积分基本定理定积分2.导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))方程是y-y0=f,(x0)(x-x0)．特别提醒1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一（2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是f,(x0)．切线方程为y-y0=f,(x0)(x-x0)；若不是切点，则需设切点坐标为(x1,y1)，再利用切线斜率)和切点在曲线上(y1=f(x1))两个条件列方程进行求解．（1）xn,=nxn-1（3）若f(x),g(x)有导数，则f'+fg'如cossin'=_e_x（1）若f,(x)>0,则f(x)为增函数不正确，如f正确的说法应该是若f,(x)>0（2）若函数y=f(x)在区间（a,b）上单调递增，则f,(x)≥0恒成立，反之等号不成立；若函数y=f(x)在区间（a,b）上单调递减，则f,(x)≤0，反之等号不成立．（1）定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有f(x)<f(x0)，就说是f(x0)函数f(x)的一个极大值．记作y极大值＝f(x0)，如果对x0附近所有的点，都有f(x)>f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值．记作y极小值＝f(x0)．（2）求函数y=f(x)在某个区间上的极值的步骤：（i）求导数f,(x)；（ii）求方程f,(x)=0的根x0；（iii）列表，检查f,(x)在x0的左右两端的符号：“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值；“左负右正”⇔f(x)在x0处取极小值．（ii）已知x0是函数f(x)的极大(小)值，一定要既考虑f,(x0)=0，又要考虑检验f'x（1）定义：函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极值与其端点函数值中的“最（2）求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤：①求函数y=f(x)在（a,b）内的极值（极大值或极小值②将y=f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，（2）要善于应用函数的导数，考察函数单调性、最值(极值)，研究函数的性态，数形结合解决方例.(切线问题：抓住点在曲线上，点在切线上，切点的导数值为切线的斜率三个要已知：函数f，其中a>0.若直线x_y_1=0是曲线y=f(x)的切线，求：实数a的值.第四部分三角三角函数同角三角函数的基本关系两角和与差的三角函数弧长公式面积公式诱导公式弧度制概念2.终边相同的角的表示：注意：相等的角的终边一定（1）终边在y轴上的角：k∈Z；1弧度(1rad)≈57.3.设α是任意一个角，P(x,y)是α的终边上的任意一点（异于原点它与原点的距离是与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关.提醒：借助任意角三角函数的定义，可得到点的坐标的三角表示，如点P(rcosθ,rsinθ)yyBSPαTAx5.单位圆与三角函数线：正弦线MP、余弦线OM、正切线ATπ可证明：当0<α<时，sinα<5.单位圆与三角函数线：正弦线MP、余弦线OM、正切线ATπ可证明：当0<α<时，sinα<α<tanα,反映在三角函数2kπ2sin2α=sinαcosαcos(α±β)=cosαcosβsinαsinβcos2α=cos2α一sin2α=2cos2α1=1一2sin2α1tanαtanβ1tanαtanβ第二看函数名称之间的关系，通常有正余弦互化，正余切互化，切割第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有:降幂公式：cossin与升幂公式：1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α2x+cos2x=sec2x-tan2x=tanx.cotx=tanπ=等411.形如y=Asin(⑴x+φ)的函数：（1）y=Asin(⑴x+φ)图象做法:（3）研究函数y=Asin(⑴x+φ)性质的方法：类比函数y=sinx的性质进行研究，只需将y=Asin(⑴x+φ)中的⑴x+φ看成y=sinx中的x，但在求y=Asin(⑴x+φ)的单调区间时，要特别注意A和⑴的符号，（4）注意y=Atan(wx+φ)的最小正周期:T+b212.正弦函数y=sinx(x∈R)、余弦函数y=cosx(x∈R)、正切函数y=tanx的性质：y=cosxy=tanxRR-1,1]-1,1]Rπ（1）内角和定理：三角形三角和为π,这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.特别提醒：①A+B=π-C,sin=sinC,sincos→sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC；（3）余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,cosA等，常用余弦定理判断三角形的形状.解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化.（4）面积公式：SahaabsinC（其中r为三角形内切圆半径）.（5）大边对大角：当出现多个解时，常用于判断哪些是符合题意的解、哪些在三角形中，A>B⇔sinA>sinB，这是“正弦定理+大边对大角”的应用.（3）已知三角函数值求角、同角三角函数之间的互化、三角函数值域和最值的研究经常会忽略角的范围.第五部分平面向量AB+BC=ACλAB,a,坐标ab=abcosθθ为夹角)平面向量基本定理向量的正交分解（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量.(与共线的单位向量是).（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合.②三点A、B、C共线⇋AB、AC共线. （2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等.（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基坐标，a＝(x,y)叫做向量a的坐标表示.如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终___→___→___→___→___→则r+s的值是（答：0）.实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同;当λ<0时，λa的方向与a的方向相反;（1）两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作b，LAOB=θ(0≤θ≤π)称为向量当θ=0时，a，b同向;当θ=π时，a，b反向;当时，a，b垂直.规定：零向量与任一向量的数量积是0.如：①已知a=2，b=5，a.b=_3，则a+b等于（答：23）.②已知a,b是两个非零向量，且a=b=a_b，则a（3）b在a上的投影为|b|cosθ,它是一个实数，但不一定大于0.如:已知|a|=3，|b|=5，且a.b=12，则向量a在向量b上的投影（4）a.b的几何意义：数量积a.b等于a的模a与b在a上的投影的积.（5）向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为θ,则：①a丄b⇋a.b=0.2②当a，b同向时，a.b＝ab，特别地，a=a2当a与b反向时，a.bab.③非零向量a，b夹角θ的计算公式：cos.④a.b≤ab.如：已知a=(λ,2λ)，b=(3λ,2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取①向量加法：利用“平行四边形法则”进行.叫做a与b的和，即a+b=AB+BC=AC.②向量的减法：用“三角形法则”：设AB=a,AC=b,那么a_b=AB_AC=CA，（2）坐标运算：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则：2，y12).③若A(x1,y1),B(x2,y2)，则=(x2_x1,y2_y1)，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减④平面向量数量积：a.b=x1x2+y1y2.+y2,a2=|a|2=x2+y2.(2)结合律：a+b+c=(a+b)+c,a_b_c=a_(b+c)，(λa).b=λ(a.b)=a.(λb).2.④若a.b=0，则a=0或b=0.⑤若a.b=c.b,则a=c.⑥a2=a2.2=a2.b2.⑨(a_b)2=a2_2a.b+b2.提醒1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两a//b⇔a=λb⇔(a.b)2=(ab)2⇔x1y2_y1x2＝0.如:(1)已知a=(1,1),b=(4,x)，u=a+2b，v=2a+b，且u//v，则x答：4）.（2）设PA=(k,12),PB=(4,5),PC=(10,k)，则k＝时，A,B,C共线.2或11）a丄b⇔a.b=0⇔|a+b|=|a__b|⇔x1x2+y1y2=0.32如果点P(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x,,y,)，则.曲线f(x,y)=0按向量a=(h,k)平移得曲线f(x__h,y_k)=0.（2）函数y=sin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是y=cos2x+1，（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用.特别地，当a、b同向或有0⇔|a+b当a、b反向或有0⇔|a_b|=|a|+|b|≥||a|_|b||=|a+b|.特别地PA+PB+PC=0⇔P为ΔABC的重心.⇋P为ΔABC的内心.（4）P为P1P2的中点⇋.如：平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(_1,3),若点C满足（答：直线AB）,⑥若a2=b2，则a=b或a=_b；⑦若ab=0，则a或b为零向量⑧若λa=0，则λ=0或a=0⑨已知非零向量a，b，那么“a.b>0”是“向量a，b方向相同”的必要不充分条件求和数学归纳法等差数列等比数列求通项公式迭代叠加累乘数集的关系数列与自然的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式.2.一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：anSn（1）等差数列的判断方法：定义法an+1_an=d(d为常数）.（2）等差数列的通项公式：an=a1+(n_1)d或an=am+(n_m)d.（3）等差数列的前n项和：SnSn=nad，注意Sn与中间项的关系.（4）等差中项：若a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项,A.（1）当公差d≠0时，等差数列的通项公式an=a1+(n_1)d=dn+a1_d是关于n的一次函数，且斜率为公差d.前n项和Sn=nan是关于n的二次函数且常数项为0.（图像为通过原点的抛物线上的点）（2）若公差d>0，则为递增等差数列，若d<0，则为递减数列，若公差d=0，则为常数列.（3）当m+n=p+q时,则有am+an=ap+aq，特别地，当m+n=2p时，则有am+an=2ap（5）“首项为正数”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和.“首项为负数”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和.n≤0n+1≤0n+1≥0法二：因Sn是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究an=bm.（2）等比数列的通项：an=a1qn_1或an=amqn_m.注意：当不能判断公比q是否为1时，要对q分q=1和q≠1两种情（1）当m+n=p+q时，则有am.an=ap.aq，特别地，当m+n=2p时，则有am.an=ap2.（2）若{an}是等比数列，且公比q≠_1，则数列Sn,S2n_Sn,S3n_S2n，…也是等比.当q=_1，且n为偶数时，数列Sn,S2n_Sn,S3n_S2n，…是常数数列0，它不是等比数列.（3）若a1>0,q>1，则{a0<q<1，则{an}为递减数列.若q<0，则{an}为摆动数列.若q=1，则{an}为常数列.（4）如果数列{an}既成等差数列又成故常数数列{an}仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.（1）公式法：①等差数列通项公式.②等比数列通项（2）用作差法：已知Sn（即a1+a2++an=f(n)）求an，用an（4）叠加法：若an+1_an=f(n)求an，则an=(an_an_1)+(an_1_an_2)++(a2_a1)+a1(n≥2).（6）构造法（构造等差或等比数列已知递推关系形如an=kan_1+b或an=kan_1+bn（k,b为常数）的递推数列求an，都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an.8.数列求和的常用方法：常用公式：12+22++n（1）分组求和：如an=2n+3n（2）错位相减法：如an=(2n_1)2nn如an（2）an=f(n)研究函数f(x)的单调性如an首先要辨析是成等差数列还是成等比数列，然后采用逐次、逐月、例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为1+r.其中第n年产量为a(1+r)n_1，且过n年后总产量为：数学归纳法是一种证明与正整数n有关的数学命题的重要方法.用数学归纳法证明命题的步骤为:①验证当n取第一个值n0时命题成立;②假设n=k(k∈N*,k≥n0)命题成立（写出归纳假设）.在此假设下,证明当n=k+1时命题也成立.③最后得出结论：由①②可得：命题得证.（1）用数学归纳法证明问题时首先要验证n=n0时成立,注意n0不一定为1;（3）两个步骤中,第一步是基础,第二步是依据.在第二步证明中,关键是利用假设,推出结论.第七部分不等式不等怯的性质若a>b,c>d，则a+c>b+d；若a>b,c<d，则a_c>b__d；若a>b>0,c>d>0，则ac>bd.两边可以同时乘方或开方：若a>b>0，则an>bn或>nb.若ab>0，a>b，则若ab<0，a>b，则.a>b⇋ac2>bc2是否正确否）注意：特值法是判断不等式是否成立的一种方法，尤其适用于不成立的命题.（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果.（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）.（6）图象法.3.均值不等式：若a,b>0，则（当且仅当a=b时取等号）(a+b)2a2+b2(a+b)2a2+b2最后一定不要忘记注明等号成立的条件.（1）比较法：作差比较（作商A_B≤0⇋A≤B注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小.要注意讨论a>0,a<0及a=0的情况.设a>0，x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两实根，且x1<x2，x2,（3）对于方程ax2+bx+c=0有实数解的问题:方程f(x)=ax2+bx+c=0(a>0)在(k,+∞)上有两根、在(m,n)上有两根、在(_∞,k)和(k,+∞)上各有一根的充要条y(a>0)y(a>0)Okxxx(>0根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间[m,n]讨论，可先利用在开区间(m,n)上实根分布的情况，得出结果，再令x=n和x=m检查端点的情况．有时候为了控制取值范围，我们也可以先把端点的值代入，看是否可以减少讨论.解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母.常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用函数的性质，数形结合.(1)二元一次不等式表示的区域对于直线Ax+By+C=0(A>0)当B>0时,Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0上方区域;Ax+By+C<0表示直线Ax+By+c=0的下方区域.当B<0时,Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0下方区域;Ax+By+C<0表示直线Ax+By+c=0的上方区域.注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.在上述问题中，可行域就是用阴影部分表示的区域.其中可行解（x1,y1）和（x2,y2）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们就叫做这个问题的最优解.线性目标函数的最大值或首先要看它们是否在可行域内.首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取最值的解.最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.（2）转化——设元．写出约束条件和目标函数;（3）求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系.（4）作答——就应用题提出的问题作出回答．体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.需要注意简单的线性规划求最值问题.第八部分直线和圆圆？）点一、直线方程一条直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平注：①当α=90或x2=x1时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在（在设直线方程时优先考虑）.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.在上斜率为正，在上斜率为负，且分别随倾斜角的增大而增大（图示）.斜率的常用计算方法：k=tan2.直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、截距式、一般式.0,y0)且斜率为k的直线方程为y_y0=k(x_x0)，特别地，当直线经过原点(0,b)时，直线方程是y=kx+b，称为斜截式.时，直线方程是，称为截距式.注：①y表示直线的一部分（射线并不表示一条直线.②对于直线的斜截式方程y=kx+b，当k,b均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果k,b变化时，对应的直线也会变化.当b为定植，k变化时，表示的直线过定点（0，b）.这是证明直线过定点的常用方法.3.对于两条直线l1:y=k1x+b1,A1x+B1y+C1=0,方向向量a=(x1y1),:y=k2x+b2,A2x+B2y+C2=0,方向向量b=(x2y2),则l1∥l2⇋k1=k2且b1≠b2⇋A1B2=A2B1⇋x1y2=x2y1.2⇋k1k2=_1⇋A1A2+B1B2=0⇋x1x2+y1y2=0.（1）两点A(x1,y1)和B(x2,y2)之间的距离|AB（2）点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为d设两条平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2)，它们之间的距离d（一定先将x、y化为同系数）（1）会求点(x0,y0)关于直线l:y=kx+b对称的点的坐标：用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①),过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②)①②可解得所求对称点.（2）关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线平线形成的角.1.圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x_a)2+(y__b)2=r2.特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2+y2=r2.①与x轴相切的圆方程(x_a)2+(y±b)2=b2,[r=b,圆心(a,b)或(a,_b)]②与y轴相切的圆方程(x±a)2+(y__b)2=a2,[r=a,圆心(a,b)或(_a,b)]2.圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.当D2+E2_4F>0时，方程表示一个圆，其中圆心C，半径r当D2+E2_4F=0时，方程表示一个点l(_D,_E)|.当D2+E2_4F<0时，方程无图形与之对应.4.点和圆的位置关系：给定点M(x0,y0)及圆C:(x_a)2+(y__b)2=r2.①M在圆C内⇋(x0_a)2+(y0_b)2<r2②M在圆C上⇋（x0_a)2+(y0_b)2=r2③M在圆C外⇋(x0_a)2+(y0_b)2>r2设圆C：(x_a)2+(y_b)2=r2(r>0).直线l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)..圆心C(a,b)到直线l的距离d=.②d<r.圆心C(a,b)到直线l的距离d=.②d<r时，l与C相交. A2+B2③d>r时，l与C相离.则其公共弦所在的直线方程为(D1_D2)x+(E1_E2)y+(F1_F2)=0.则弦长|AB|=2·r2_d2.常用垂径定理,构造①过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.若点(x0,y0)在圆C:(x_a)2+(y_b)2=r2上，则(x–a)(x0–a)+(y–b)(y0–b)=r2.②若点(x0,y0)不在圆上，则设切线方程为y_y0=k(x_x0)，由圆心(a,b)到直线注意：过圆外点作圆切线有两条.若只求出一条,则另一条垂直x轴.第九部分圆锥曲线c2=a2+b2直线与圆锥曲线的位置关系椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定如:①已知定点F1(_3,0),F2(3,0),在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是A．PF1+PF2=4B．PF1+PF2=6C．PF1+PF2=10D．PF12+PF22=12（答：C+y2如：已知点Q(22,0)及抛物线y上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是（答：2）（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称焦点在y轴上时+＝1（a>b>0）.方程Ax2+By2=1表示椭圆的充要条件是什么A>0,B>0,A≠B）。Ax2+By2=1表示双曲线的充要条件是什么AB<0）。如：①双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程（答：y2=1②设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e=2的双曲线C过点P(4,_10)，则C的方程为（答：x2_y2（3）抛物线：开口向右时y2=2px(p>0)；开口向左时y2=_2px(p>0)；开口向上时x2=2py(p>0)；开口向下时x2=_2py(p>0)。（1）椭圆：由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标则m的取值范围是__（答：双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物（2）在椭圆中，a最大，a2=b2+c2，在双曲线中，c最大，c2=a2+b2。①范围：_a≤x≤a,_b≤y≤b；④离心率：e，椭圆⇋0<e<1，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。①范围：x≤-a或x≥a,y∈R；③对称性：两条对称轴x=0,y=0，一个对称中心（0,0两个顶点(±a,0)，双曲线，其方程可设为x2-y2=k,k≠0；④离心率：e双曲线⇋e>1，等轴双曲线⇋e=2；⑤两条渐近线：yx（b）双曲线ax2-by2=1的离心率为5·,则4（3）抛物线（以y2=2px(p>0)①范围：x≥0,y∈R；②焦点：一个焦点，其中p的几何意义是：焦点到准线的③对称性：一条对称轴y=0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0④准线：一条准线x⑤离心率：e，抛物线⇋e=1.2的焦点坐标为________（答yB1BOFxyB1BOFxA1A5.点P(x0,y0)和椭圆a>b>0）的关系：（1）点P(x0,y0)在椭圆外⇔（2）点P(x0,y0)在椭圆上⇔（3）点P(x0,y0)在椭圆内⇔如:如:①若直线y=kx+2与双曲线x2_y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（答：②直线y_kx_1=0与椭圆1恒有公共点，③过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点，特别提醒1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。（2）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平设椭圆或双曲线上的一点P(x0,y0)到左右两焦点F1,F2的距对于双曲线的焦点三角形有：Sr2sinθ=b2cot（需要证）8．弦长公式：若直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点A、B，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则ABy1_y2若弦AB所在直线方程设为x=ky+b，则ABk2y1_y2如:①过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，若x1+x2=6，那么AB等于（答：8②过抛物线y2=2x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知AB=10，O为坐在椭圆中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k需证）在双曲线中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k需证）在抛物线y2=2px(p>0)中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k。（需证）如:x+2y_8=0②已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在特别提醒：联立直线与圆锥曲线的方程并消元可得到关于x(或y)的一元方程Ax2+Bx+C=0(或Ay2+By+C=0)，计算要准，一定不能错！（1）双曲线的渐近线方程为的渐近线方程为（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mx2+ny2=1；2b2），抛物线的通径为2p（需要证），焦准距为p；（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦需要证）（6）若抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦为AB，A(x1,y1),B(x2,y2)，则①|AB|=x1+x2+p；②x1xy1y2=_p2（需要证）（7）若OA、OB是过抛物线y2=2px(p>0)顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2p,0)（需要证）①直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)=0；如：已知动点P到定点F(1,0)和直线x=3的距离之和等于（答：y2=_12(x_4)(3≤x≤4)或y2=4x(0≤x<3)如：线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)(m>0)，端点A、B到x轴距物线方程为（答：y2=2x则动点P的轨迹方程为（答：x2+y2=4(3)一动圆与两圆⊙M：x2+y2=1和⊙N：x2+y2_8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为（答：④代入转移法：动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化，并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上，则可先用x,y的代数式表示x0,y0，再将x0,y0代入已知曲⑤参数法：当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x,y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。（1）AB是圆O的直径，且AB=2a，M为圆上一动点，作MN丄AB，垂足为N，在OM上取点P，使|OP|=|MN|，求点P的轨迹。（答：x2+y2=a|y|（2）若点P(x1,y1)在圆x2+y2=1上运动，则点Q(x1y1,x1+y1)的轨迹方程是_（答：y2=2x+1（3）过抛物线x2=4y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨求根（交点坐标）韦达定理（交点坐标）求根（交点坐标）韦达定理（交点坐标）（3）给出PM+PN=0,等于已知P是MN的中点;（4）给出--BP+BQ,等于已知A,B与PQ的中点三点共线;（5）给出以下情形之一：等于已知A,B,C三点共线.②存在实数λ,使A=λA；（6）给出MA.MB=0,等于已知MA丄MB,即LAMB是直角；给出MA.MB=m<0,等于已知LAMB是钝角或平角；给出MA.MB=m>0,等于已知LAMB是锐角或零度角,（7）在平行四边形ABCD中，给出，等于已知ABCD是菱形;（8）在平行四边形ABCD中，给出|AB+AD|=|AB_AD|，等于已知ABCD是矩形; （三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形第十部分立体几何（56）（12）（78）转化为直线与平面法向量所成锐角的余角平行平面间距离平行线面间的距离角.......平行、相交、异面（不同在任何一个平面内的两条直线叫异②求法：计算异面直线所成角的关键是平移，转化为相交两异面直线的判定（连结平面内一点与平面外一点的直线，和这判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和性质：如果一条直线和一个平面平行，那么定理：平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么：，（1）位置关系：平行、相交垂直是相交的一种特殊情况）判定：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的②三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线3先证线面垂直，再利用体积公式：棱锥的体积Sh；棱柱的体积Sh；球的体积π3球的表面积4πR2；正棱锥的表面积；特别关注正四面体工具：向量夹角公式、向量模长公式、空间角①求异面直线所成角：求两条直线a,b所成的角θ:设a,b是直线a,b的方向向量，②求线面角：直线AP与平面α所成角θ,设n是平面α的法向量，可求cos法一：设n是平面α的法向量，j是平面β的法向量，可求cosn,j则φ=n,j或φ=π_n,j，正棱锥的定义（底面是正多边形，顶点在底面上的射①利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱解决.②将空间图形展开是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法.③利用三棱锥体积的自等性，将求点到平面的距离问题转化成求三棱锥的高.？（（2）从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若LAOB=LAOC，则点A在平面BOC上的射影在LBOC的平分线上； （3）AB和平面所成的角是θ1，AC在平面内，AC和AB的射影AB9成θ2，设LBAC=θ3,则（4）如果两个相交平面都与第三个平面垂直，那么它们的交①长方体中若一条对角线与过同一顶点的三个面中的二个面 则sinα,sinβ,sinγ的关系为 。 2α+sin2β+sin2γ=2）（b）侧棱两两垂直(两对对棱垂直)⇔顶点在（c）顶点到底面三角形各边的距离相等(侧面与底面所成角相等面三角形内⇔顶点在底上射影为底面内心.（d）顶点到底面三角形各边的距离相等(侧面与底面所成角相等)正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R:r＝3：1。第十一部分概率统计n(1)有限性：在一次试验中，可能出现的不同的基本事件只.古典概型中，随机事件A发生的概率P(A)=事m.度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关，则称这样的概率模型为几何概型．随机事件的概率：0≤P(A)≤1必然事件：P(A)=1；不可能事件：P(A)=0；逆之不真。互斥事件A，B有一个发生的概率P(AB)=P(A)+P(B)如果A1、A2、A3、…、An彼此互斥，那么P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)+…+P(An)．作A。这时P4.（理）条件概率：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，记作：P(BA),P，可用定义，也可缩小样本空间求解。两个相互独立事件同时发生的概率P(AB)=P(A).P(B)好发生了k次的概率。p为在一次独立重复试验中事件A发生的概率。设离散型随机变量X可能取的不同值为x1、x2、…、xi、…、xn，X取每个值xi(i＝1，2，…n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn为随机变量X的分布列．（2）p1＋p2＋p3＋…pn＝1．如果随机变量X的分布列为X10Pp其中0<p<1，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布，称p＝P(X＝1)为成功概率．一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则称随机变量XM、N∈N*)．为X，则随机变量X服从二项分布，记为X~B(nX的期望E(X)=np，方差D(X)=np(1-p)。用样本估计总体系统抽样2.统计的基本思想：用样本估计总样本平均数：xi样本方差：Sxn－x)2]期望：E(X)=xipi（3理）若ξ~B(n,p)，则Eξ=np，Dξ=np(1-p)（n次独立重复试验中事件A发生的次数ξ服从二项分布，p为在一次独立重复试验中事件（4理）若随机变量ξ服从超几何分布，（总数为N，其中甲类为M，从总体中选出n个，其中甲类品数目ξ服从超几何分布则E如果连续型随机变量ξ的概率密度曲线为，其中σ,μ为常数，并且σ>0，则称ξ服从正态分布，简记为ξ~N(μ,σ2)，Eξ=μ,Dξ=σ2，正态随机变量X落在区间[a，b]内的概率为：Pdx.就是随机变量X落在区间[a，b]的概率的近似值，如下图．ξ~N(0,1)。①回归直线方程y=