专题07 探究与表达规律（八大题型） 专项讲练（原卷版）

专题07探究与表达规律（八大题型）专项讲练

1.解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还

需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：

1）一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n之间的关系.

2）一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n之间的关系.

3）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n之间的关系.

4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进

而观察商和余数.

5）数形结合的规律：观察前n项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.

2.常见的数列规律：

1）1，3，5，7，9，…，2n1（n为正整数）．

2）2，4，6，8，10，…，2n（n为正整数）．

3）2，4，8，16，32，…，2n（n为正整数）．

4）2，6，12，20，…，n(n1)（n为正整数）．

5）x，x，x，x，x，x，…，(1)nx（n为正整数）．

n(n1)

6）特殊数列：①三角形数：1,3,6,10,15,21，…，.

2

②斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.

题型1：数列的规律

1．（2022·山东烟台·期末）按一定规律排列的单项式：x3，x5，x7，x9，x11，……，第n个单项式是（）

nn1n1n

A．1x2n1B．1x2n1C．1x2n1D．1x2n1

2．（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）已知：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，那么22021的个位

数字是（)．

A．2B．4C．6D．8

3．（2022·山东泰安·期中）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…，这样的数称为“三角形数”，而

把1、4、9、16…，这样的数称为“正方形数”．则第5个“三角形数”与第5个“正方形数”的和是（）

A．35B．40C．45D．50

391733

4．（2021·广西百色·二模）观察下列一组数：﹣，1，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，

281114

那么这一组数的第8个数是_____．

5．（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）边长为1的正方形OABC从如图所示的位置（点O对应数0，点A对应

数－1）开始在数轴上顺时针滚动（无滑动）．当正方形的某个顶点落在数2023在数轴上对应的点处时停止

运动，此时落在数2023在数轴上对应点的这个顶点是（）

A．点AB．点BC．点CD．点O

1111

6.（2022·福建漳州七年级开学考试）观察下列各项：1，2，3，4，…，依此规律下去，则第7项

46810

是__________；第n项是__________．

题型2：数表的规律

1．（2022·山东济南·七年级期末）将正整数按如图所示的规律排列，若用有序数对（a，b）表示第a行，从

左至右第b个数，例如（4，3）表示的数是9，则（15，10）表示的数是（）

A．115B．114C．113D．112

2．（2022·山东烟台·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），

此图揭示了(ab)n（n为非负数）的项数及各项系数的有关规律，例如：

请写出(ab)8展开式中间一项的系数（）

A．70B．64C．56D．54

3．（2022·辽宁葫芦岛·七年级期中）将正整数按如图所示的规律排列．若用有序数对（a，b）表示第a排，

从左至右第b个数．例如（4，3）表示的数是9，则（7，3）表示的数是（）

A．22B．23C．24D．25

4．（2022·河北承德·七年级期末）观察下面的数：

按着上述的规律排下去，那么第12行从左边数第4个数是（）

A．121B．123C．125D．127

5．（2021·云南红河·七年级期末）将连续奇数1，3，5，7，9……排成如图所示的数表．

用长方形框在如图所示的数表中任意框出九个数，将长方形框上下左右移动，可框住另外九个数．若这九

个数中最小的数是171，则最大的数是_____．

6．（2021·四川成都·七年级期中）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》书中辑录了一个三角形数表，

称之为“开方作法本源”图，即是著名的“杨辉三角形”．以下数表的构造思路源于“杨辉三角形”：

该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于“其肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，

则这个数为___．

题型3：算式的规律

算式规律这一类没有固定的套路，主要依靠学生对已知算式的观察、总结、逻辑推理，发现期中的规律。

常考的背景有：杨辉三角、等差数列、连续n个数的立方和、连续n个数的平方和、阶乘等。

通常结合数字特点和图形变化情况进行猜想，验证，从而提高探究规律能力。

1．（2022·黑龙江绥化·期末）已知：1322，13532，135742，……那么1357911

（）

A．42B．52C．62D．72

n

2．（2022·山东泰安·期中）ab（n为非负整数）当n0，1，2，3，…时的展开情况如下所示：

0

ab1

1

abab

2

aba22abb2

3

aba33a2b3ab2b3

4

aba44a3b6a2b24ab3b4

5

aba55a4b10a3b210a2b35ab4b5…

观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了下面的表：

n

这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了ab展开后各项

9

系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据这个表，你认为ab展开式中所有项系数的和应该是（）

A．128B．256C．512D．1024

3．（2022·山东烟台·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a＋b）n（n为非负整数）

展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．

（a＋b）0＝1

（a＋b）1＝a＋b

（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3

（a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4

（a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5

…

则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是（）

A．2048B．1024C．512D．256

22334455

4．（2022·内蒙古赤峰·八年级期末）已知：222；332；442；552…，

338815152424

bb

若992符合前面式子的规律，则ab1的值是（）

aa

A．90B．89C．100D．109

5．（2022·湖北鄂州·七年级期末）如图所示的数表由1开始的连续自然数组成，观察其规律：

则第n行各数之和是（）

A．2n2＋1B．n2-n＋1C．(2n-1)(n2-n＋1)D．(2n＋1)(n2-n＋1)

6．（2022·山东淄博·期末）观察下列等式：

(x21)(x1)x1；

(x31)(x1)x2x1；

(x41)(x1)x3x2x1；

(x51)(x1)x4x3x2x1；

(x71)(x1)x6x5x4x3x2x1；

根据以上等式总结规律并计算，则12222324252627______．

题型4：图形的规律（一次类）

1．（2022·山东威海·期末）用大小相同的棋子按如下规律摆放图形，第2022个图形的棋子数为（）

A．6069个B．6066个C．6072个D．6063个

2．（2022·河南驻马店·七年级期末）下列图案是用长度相同的小木棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根小

木棒，图案②需15根小木棒，…，按此规律，图案⑦需小木棒的根数是（）

A．49B．50C．55D．56

3．（2022·四川广安·七年级期末）观察下列图形变化的规律，我们发现每一个图形都分为上、下两层，下层

都是由黑色正方形构成，其数量与编号相同；上层都是由黑色正方形或白色正方形构成（第1个图形除外），

则第2021个图形中，黑色正方形的数量共有（）个

A．3031B．3032C．3033D．3034

4．（2022·河南南阳·七年级期末）如图是用灰白两种颜色的纸片按一定的规律摆成的图案，依此规律继续摆

下去，若第n个图案中白色纸片的个数是1564，则n的值为（）

A．520B．521C．523D．524

5．（2022·重庆荣昌·七年级期末）某班举行拼汉字比赛，小梅用●排列成数字“上”，图①共用10个●，图②

共用13个●，图③共用16个●，……按此规律排列下去，则第⑥个图共用●的个数是（）

A．22B．25C．28D．32

6．（2022·河北沧州·七年级期末）如图所示的图案是用长度相同的木条按一定规律摆成的.摆第1个图案需8

根木条，摆第2个图案需15根木条，摆第3个图案需22根木条，…，按此规律摆第n个图案需要木条()

A．6n2根B．7n1根C．7n1根D．8n根

题型5：图形的规律（二次类）

1．（2022·重庆一中八年级阶段练习）如图，每个图案均是由长度相等的火柴棒按一定的规律拼接而成的，

第一个图案需要3根火柴棒，第二个图案需要9根火柴棒，第三个图案需要18根火柴棒，……，依据此规

律，第六个图案需要的火柴棒根数为（）

A．45B．63C．84D．108

2．（2022·重庆一中七年级期末）如图，把黑色小圆圈按照如图所示的规律排列，其中第①个图形中有3个

黑色小圆圈，第②个图形中有8个黑色小圆圈，第③个图形中有15个黑色小圆圈，…，按照此规律，第⑦

个图形中黑色小圆圈的个数为（）

A．63B．64C．80D．81

3．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校七年级期末）下图是同样大小一些瓢虫按照一定规律爬行，

第1个图有3个瓢虫，第2个图有8只瓢虫，第3个图形有15只瓢虫，…，第8个图形的瓢虫个数为（）

A．80B．79C．70D．63

4．（2022·山东青岛·七年级期末）如图1，将一个边长为2的正三角形的三条边平分，连接各边中点，则该

三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下：共有1+2+3=6个结点．如图2，将一个边长为3的正三角形

的三条边三等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数是从上往下：共有

1+2+3+4=10个结点．……按照上面的方式，将一个边长为2022的正三角形的三条边2022等分，连接各边

对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下共有________个结点（填写最终个结点）

5．（2022·山东烟台·期中）如图，第n个图形需要的棋子数量是_________．（用含有n的代数式表示）

6．（2022·山东烟台·期末）公园内有一矩形人行道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直

角三角形地砖排列而成．如图表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列且总共有60块．则

人行道上总共使用______块三角形地砖．

题型6：图形的规律（指数类）

1.（2021·江苏七年级期末）如图，已知图①是一块边长为1，周长记为C1的等边三角形卡纸，把图①的卡

11

纸剪去一个边长为的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为的等边三角形后

24

111

得到图③，依次剪去一个边长为、、…的等边三角形后，得到图④、⑤、⑥、…，记图n（n≥3）

81632

中的卡纸的周长为Cn，则Cn﹣Cn﹣1＝_____．

2.（2021·常州市同济中学七年级期中）（1）为了计算1+2+3+…+8的值，我们构造图形（图1），共8行，

每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+…+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9

列，有＝个点，由此可得1．

8×9721+2+3+…+8=2×72=36

用此方法，可求得1+2+3+…+20=（直接写结果）．

（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：

填空：①1+3+5+…+49=；②1+3+5…+（2n+1）=．

1111

（3）请构造一图形，求（画出示意图，写出计算结果）．

3323332020

3．（2021·日照港中学九年级三模）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正方

形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片

上依次重复以上操作，当完成第2021次操作时，余下纸片的面积为（）

111

．2021．．．

A2B22020C22021D22022

4．（2021·江苏七年级期中）数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如图，将一个

111

边长为1的正方形纸板等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形分成两个面积为的长方

224

1111

形，如此继续进行下去，根据图形的规律计算：()2()3()10的值为（）

2222

1111

A．()10B．1-()10C．()11D．1-()11

2222

5．（2021·山西实验中学九年级其他模拟）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：

把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别

重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中的

阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是（）

27812781

A．B．C．D．

64256256128

6．（2021·北京七年级期末）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形

面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，则S4＝_____，

S1+S2+S3+…+S2021＝______．

题型7：程序框图

1.（2022•温江区七年级期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为24，我们发现第1次输出的结

果为12，第2次输出的结果为6，…，则第2021次输出的结果为（）

A．6B．3C．24D．12

2.（2022•晋安区期末）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2020次输出的结

果为（）

A．1B．5C．25D．625

3.（2022•龙华区期末）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为﹣2，则第2020次输出的结果

为．

4.（2021春•新蔡县期末）按下面的程序计算：

若输入x＝100，输出结果是501，若输入x＝25，输出结果是631，若开始输入的x值为正整数，最后输出

的结果为556，则开始输入的x值可能有（）

A．1种B．2种C．3种D．4种

5．（2021·广西南宁市·南宁三中七年级期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，则第1次输

出的结果为24，第2次输出的结果为12，…则第2020次输出的结果为__________．

6．（2021·祥云县教育体育局教研室七年级期末）如图所示，这是一个运算程序示意图．若第一次输入k的

值为216，则第2021次输出的结果是______．

题型8：新定义运算

1.（2021·江苏七年级月考）定义一种新运算：观察下列各式：

1*2＝1×3+2＝5，4*（﹣2）＝4×3﹣2＝10，3*4＝3×3+4＝13，6*（﹣1）＝6×3﹣1＝17．

（1）请你想想：a*b＝；（2）若a≠b，那么a*bb*a（填“＝”或“≠”）；

（3）先化简，再求值：（a﹣b）*（a+2b），其中a＝3，b＝﹣2

2．（2021·重庆市实验中学九年级月考）对任意的三位正整数p，如果其个位上的数字与百位上的数字之和

等于十位上的数字，则称p为“阳光数”．现将p的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个

qp

新数q，规定F(p)．例如264是一个“阳光数”，则可得到一个新数q=642，所以

9

642-264

F26442．（1）若p是百位上的数字比个位上的数字少4的“阳光数”，求F(p)的值；

9

（2）若F(p)是8的倍数