2025~2026学年北京市某校九年级4月阶段学情自测数学试卷（含答案）

/2025-2026学年北京市某校九年级4月阶段学情自测数学试题一、单选题

1.“愿行合一，圆梦附中”，下列文字中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A. B. C. D.

2.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（

）

A.a−b>0 B.|a|<|b

3.若一个六边形的每个内角都是x∘，则xA.60 B.90 C.120 D.150

4.在一个不透明的袋子里装有红球2个、黄球5个、黑球3个，这些球除颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个小球，是红球的概率是（

）A.12 B.310 C.1

5.若关于x的一元二次方程axA.－4 B.－1 C.1 D.4

6.2026年3月10日，某新型火星探测器在酒泉卫星发射中心成功发射，开启对火星卫星火卫一的探测任务．已知火卫一与火星的最近距离约为地球同步卫星轨道高度的35倍，地球同步卫星轨道高度约为3.6×10A.5.36×106km B.1.26×106km

7.如图，∠MON=80∘，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接A.95∘ B.100∘ C.105∘

8.如图，在平面直角坐标系xOy中，ΔAOB为直角三角形，AB⊥x轴于点B，点A在第一象限．C为斜边OA上一点，且OB=BC，过点C作DC⊥BC（点D在直线AB的右侧），已知AB=CD，点D在反比例函数A.ΔOBA≅ΔBCD B.点C是OA的中点

C.四边形AOBD是平行四边形 D.k的值是2二、填空题

9.若二次根式4−2x在实数范围内有意义，则x

10.因式分解:2x

11.方程2x

12.某校组织全校学生参加主题为“百年五四与当代科技”的知识竞赛．为了解学生的竞赛情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（百分制），数据整理如下：成绩x70≤80≤90≤95≤人数1015253020

根据以上数据，估计全校1000名学生中成绩不低于80分的人数为____________人．

13.能够说明“设a,b是任意非零实数，若a>b，则

14.如图，BD是◯O的直径，点A在DB的延长线上，AC是◯O的切线，C为切点，连结CO，CD，若∠D=

15.如图，正方形ABCD的边长为13，以BC为斜边向内作Rt△BCF，∠F=90∘，BF>CF，AE⊥BF于点E

16.小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：

①将诗词分成4组，第i组有xi首，i=1,2,3,4：

②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第(i+1)天背诵第二遍，第第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组xxx第2组xxx第3组xxx第4组xxx③每天最多背诵16首，最少背诵5首．

（1）若x1=5,x2=4,三、解答题

17.计算：(π

18.解不等式组：3

19.已知a+b−1=0

20.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，取OC中点F，连接BF并延长，使得EF=BF（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）若∠EBD=15∘，OF=12，过点F作BE

21.在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(（1）求k,（2）当−2<x<−1时，对于x的每一个值，函数y=mx−m(

22.某种原料的价格为每吨1000元，用该原料制成产品后将损耗25，产品的价格是每吨8000元，如图，丝路纺织厂与A、B

23.为了解甲、乙两款AI软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下：

a．信息处理速度得分统计图b．信息识别准确度得分统计图c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表AI软件信息处理速度得分信息识别准确度得分平均数中位数众数平均数甲7.37m5.6乙7.65n74.9根据以上信息，解答下列问题：（1）表格中m的值为_____；若从乙的信息处理速度得分中删去k个数据后中位数仍为n，写出k的一个可能取值_____；（2）若用户对该软件评分大于6分视为高分，否则视为低分．

①从这20名用户任取1人，该用户对甲AI软件的信息处理速度和信息识别准确度均评为高分的概率最大为_____；

②甲AI软件的开发公司计划加大研发投入来提升用户对信息识别准确度的满意度．该公司邀请这20名用户做进一步的测试，该公司准备了两套优化方案．方案一：面向全体用户优化识别准确率，所有用户对信息识别准确度的评分将提升1分；方案二：针对低分组用户定向提升准确度，低分组每位用户的评分将提升2分，高分组不变．为最大程度提升信息识别准确度评分的平均数，该公司应该选用方案_____（填“一”或“二”）；采用该方案后，用户对信息识别准确度评分数据的方差将_____（填“增大减小”或“不变”）

24.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC的平分线交⊙O于点D（1）求证：DE是⊙O（2）延长ED,AB交于点F，连接OE交AD于点G．若OF=5,sin∠

25.某高效记忆训练营对新学员开展提升记忆力的培训．在完成有关记忆方法的理论学习后，新学员先接受为期T日（T可取0，1或2）的记忆强化训练，然后开始每日记忆测试．测试内容为：1分钟内观看并记忆一组无序数字并立即默写．记一名新学员在测试阶段的第x日每分钟正确默写的数字量为y．根据测试经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当T=0和Tx0123456789T=0时y0568111316192022T=2时y0192427m3234363738T=2时，从测试阶段的第2日起，一名新学员每日比前一日多记忆的数字量（即：日增长量）逐渐减少或保持不变．

对于给定的T，在平面直角坐标系xOy中描出该T值下各数对（x，y）所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接．得到曲线CT．当T=1时，曲线（1）观察曲线C1，当整数x的值为___________时，y（2）写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出T=2时的曲线C（3）完成理论学习后，为调动新学员培训的积极性，该训练营在强化训练和记忆测试阶段组织了竞赛比拼．甲、乙、丙、丁四位同学也积极参与到活动之中．

①若新学员单日每分钟至少记忆32个数字可获得“记忆达人”称号，根据上述函数关系，甲同学最早在完成理论学习后的第___________日可获得“记忆达人”证书；

②竞赛规定：在完成理论学习后的3日内记忆数字个数的总数少于20将被淘汰．乙、丙、丁三位新学员分别接受为期2日、1日、0日的记忆强化训练，根据上述函数关系，3日后胜出的是___________．

26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+（1）求c的值，并用含a的式子表示b；（2）过点P(t,at)作x轴的垂线，交x轴于点M，该直线交y=2ax于点Q，交抛物线于点N．

①若a=1,t=1，求PQ与MN的长；

②已知在点

27.在等边ΔABC中，BD是AC边上的高，E为边BD上一动点，连接AE，将射线AE绕点A逆时针旋转60∘交BC的延长线于F（1）如图1，当∠EAC=30（2）如图2，过E作EG\botAF于点G，若BC=2CF，用等式表示EG

28.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O外一点P和⊙O给出如下定义：过点P作⊙O的两条切线，切点为M,N，若⊙O上或其内部存在一点Q，使四边形PMQN是菱形，则称点P是⊙O的“切菱点”．特别地，当四边形PMQN是矩形时，称点P是⊙O的“切矩点”．

(1)如图，在点P(2)已知点P是直线y=−3x+2上一点，且点P是⊙O的“切菱点”，则点P的纵坐标的最小值为___________；

(3)已知直线y=−3x+m(m>0)上存在两个不同点S

参考答案与试题解析2025-2026学年北京市某校九年级4月阶段学情自测数学试题一、单选题1.【答案】D【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意.2.【答案】C【解析】本题考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，绝对值，有理数的减法，乘法．先根据点在数轴上的位置得出a＜－1＜0＜b＜1，再结合有理数的减法，绝对值，相反数，有理数的乘法逐项分析即可求解．【解答】解：由数轴可得a＜－1＜0＜b＜1，

∴a-b＜0，|a|＞|b|，a＜-b，ab＜0，

∴正确的结论是C．

故选：C3.【答案】C【解析】本题考查了多边形内角和公式，即(n−2)×180【解答】解：∵一个六边形的每个内角都是x∘，

∴每个内角的度数为：x∘=(6−2)×180∘4.【答案】C【解析】本题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率为mn【解答】解：∵袋子里一共有2+3+5=10个球，其中红球有2个，

∴摸出红球的概率是210=5.【答案】C【解析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到Δ=0，进行求解即可.【解答】解：由题意，得：Δ=22−4a=06.【答案】B【解析】根据倍数关系列出算式，将结果整理为标准科学记数法即可得到答案。【解答】解：∵火卫一与火星的最近距离为地球同步卫星轨道高度的35倍，地球同步卫星轨道高度为3.6×104km

7.【答案】D【解析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点．连接AB，AC，BC，则由作图可得OA=OB，AC=BC=AB，那么ΔABC为等边三角形，可证明ΔOAC【解答】解：如图，连接AB，AC，BC，

由作图可得，OA=OB，AC=BC=AB，

∴ΔABC为等边三角形，

∴∠ACB=60∘

∵OC=OC,

∴ΔOAC≅ΔOBC8.【答案】B【解析】运用SAS即可证明ΔOBA≅ΔBCD，即可判断A，进一步证得OA=BD，再结合等边对等角和内错角相等两直线平行，则OA∥BD，可证得四边形AOBD是平行四边形，即可判断C；延长DA交y轴于一点E，过点D作DF⊥x轴，先证明四边形OFDE是矩形，因为点D在反比例函数y=4x的图象上，所以矩形OFDE的面积是4，故矩形OBAE的面积是2，因为反比例函数y=kx的图象过点A，则k=2，即可判断D；若点C是OA的中点，则ΔOBC为等边三角形，由于无法求得∠AOB=60∘，即可判断B.

解】解：在平面直角坐标系xOy中，ΔAOB为直角三角形，AB⊥OB，DC⊥BC，

∴∠OBA=∠BCD=90∘

在ΔOBA和ΔBCD中，OB=BC∠OBA=∠BCD,BA=CD

∴ΔOBA≅ΔBCD(SAS)，故A正确；

∴OA=BD，∠AOB=∠DBC,

∵OB=BC,

∴∠AOB=∠OCB,

∴∠DBC=∠OCB,

∴OA∥BD,

∵OA=BD,【解答】此题暂无解答二、填空题9.【答案】x【解析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．【解答】解：∵二次根式4−2x在实数范围内有意义，

∴4−2x≥0，

∴x10.【答案】2(【解析】先提取公因式，然后利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式|2x2+211.【答案】x【解析】本题考查分式方程的求解，需先通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后检验所得解是否为增根，进而确定原方程的解.【解答】解：方程2x+6+1x=0两边同时乘最简公分母x(x+6)

得2x+(x+6)=0

去括号，得2x+x+6=0

12.【答案】750【解析】本题考查了频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，由样本数据可以估计总体．

用全校的学生总数乘以样本中80分以上的比例即可得到答案．【解答】解：由题意得，1000×25+30+20100=750（人），13.【答案】2，-1【解析】根据题意举出一组a，b的值能够说明“若a>b，则1a【解答】当a=2，b=-1时，可得出若a>b，则1a14.【答案】40【解析】本题考查了切线的性质，等边对等角，三角形的外角性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键由AC是⊙O的切线，则有∠ACO=90∘，根据等边对等角得【解答】解：∵AC是⨀O的切线，

解】解：∵AC是⨀O的切线，

∴OC⊥AC,

∴∠ACO=15.【答案】72【解析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，过点D作DH⊥AE于H，可证明△AHD≅△BEAAAS得到DH=AE，同理可证明△BAE【解答】解：如图所示，过点D作DH⊥AE于H，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB=BC，∠ABC=∠BAD=90∘，

∴AE⊥BF，DH⊥AE，

∴∠AEB=∠DHA=90∘，

∴∠EAB+∠HAD=∠EAB+∠EBA=90∘，

∴∠EBA=∠HAD，

∴△AHD≅△BEAAAS，

∴16.【答案】```markdown,【答案】,5或6,26【解析】根据每天最少背诵5首得出x1≥5,x3≥5,x4≥5，根据每天最多背诵16首结合表格中第4天和第5天的信息列出不等式，则可求【解答】解：∵每天最多背诵16首，最少背诵5首，x1=5,x2=4,x3=5，

∴第1天x1=5，满足；

第2天x1+x2=9，满足；

第3天x2+x3=9，满足；

第4天5≤10+x4≤16，解得−5≤x4≤6，

又x4≥5，

∴5≤x4≤6；

第5天5≤4+x4≤16，得1≤x4≤12，

又x4≥5，

∴5≤x4≤12；

第6天x3=5，满足；

第7天5≤x4≤16，

三、解答题17.【答案】

【答案】4【分析】先算零指数幂和负整数幂、特殊角的三角函数、绝对值，再算加减即可．【详解】解：(=1−3×=1−=4．【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答18.【答案】−2<【解析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别算出每个不等式的解集，再取它们的公共部分的解集，即可作答.【解答】解：3x−4>2(x−3)①x+43≥x②

解不等式①，得：19.【答案】3【解析】本题考查了分式化简求值，关键是熟练掌握分式化简，整体代入求值；根据a+b−1=0可得a【解答】解：∵a+b−1=0

∴a+b=1，

20.【答案】见详解2+【解析】（1）根据菱形的性质可得AC⊥BD、BO=OD，证明ΔBFO≅ΔEFC（SAS）得出∠OBF=∠（2）过点F作BE的垂线交BD于点G，连接GE.点G在BE的垂直平分线上，OC=DE=1，AC=2，由（1）得∠OBF=∠CEF=∠FEG=15∘，则【解答】（1）解：∵ABCD是菱形，

∴AC⊥BDrBO=ODr

∵F是OC的中点，则OF=FC

∵BF（2）解：过点F作BE的垂线交BD于点G，连接GE.

∵EF=BF,FG⊥BE,∠EBD=15∘,OF=12.

∴点G在BE的垂直平分线上，OC=DE=1，AC=2，

∴BG=EG

∴∠EBD=∠FEG21.【答案】k=−1m的取值范围为：0<m【解析】（1）根据待定系数法求出k，b；（2）由（1）得到函数解析式，结合−2<x<−1，分类讨论m>0，m<0得到m的取值范围，即可.

∴4=−3k+b2=−k+b

1,2)

解得：k=−1b=1

∴k=−1b=1.

(2)解：由（1）可得函数解析式为：y=−x+1,

当m>0时，函数y=mx−m是增函数，

当−2<x<−1时，−2m−m<mx−m<−m−m,

当−2<x<−1【解答】此题暂无解答22.【答案】这批产品的销售款是2400000元.【解析】设购买的原料为x吨，则产品的重量为0.75x吨，根据“从A地到B地的整个运输过程中公路运输费和铁路运输费共计112200元”列出一元一次方程，求解即可.【解答】解：设购买的原料为x吨，则产品的重量为(1−25%)x=0.75x吨，

公路运输费合计：10×1.5x+20×1.5×0.75x=15x+22.5x=37.5x元，

铁路运输费合计：120×1.2x+110×1.2×0.75x=144x+99x=243x23.【答案】9，2（答案不唯一，小于18的偶数即可）①25【解析】（1）根据信息处理速度得分统计图中可以得到9分人数最多，求出众数，在结合中位数求出k的一个可能取值即可；（2）①分别求出同时满足信息处理速度高分、信息识别准确度高分的最多人数和总人数，根据概率公式计算即可；

②根据平均数和方差的计算方法和定义分析即可.【解答】（1）解：根据信息处理速度得分统计图中可以得到9分人数最多，

∴甲的众数为：9，

∴m的值为：9，

中位数：7+82=7.5，

∴n为7.5，（2）解：①根据题意得：

同时满足信息处理速度高分、信息识别准确度高分的人数最多为：8人；

总人数为：20人，

∴P=820=25，

∴该用户对甲AI软件的信息处理速度和信息识别准确度均评为高分的概率最大为：25，

故答案为：25．

②为最大程度提升信息识别准确度评分的平均数，该公司应该选用方案二，

∵低分组每位用户的评分将提升，高分组不变将会提升平均数；

24.【答案】见解析OG【解析】（1）连接OD，证OD//AE，由已知DE⊥AE，得出DE⊥OD，即可得出结论：（2）根据题意得出OD=5，DF=25，利用相似三角形的判定和性质得出ΔFOD∼ΔFAEODAE=OFAF=DF【解答】（1）证明：连接OD.

∵AD平分∠CAB,

∴∠BAD=∠CAD.

∵OD=OA,

∴∠ODA=∠OAD,

∴∠ODA=∠CAD,

∴OD（2）∵DE是⊙O的切线，

∴∠ODF=90∘

在RtΔODF中，sin∠AFE=ODOF=55

∵OF=5,

∴OD=5

∴DF=OF2−OD2=52−52=225.【答案】7m=30①7；②丙同学；【解析】（1）找C1（2）根据T=2（3）①根据单日每分钟至少记忆32个数字的只有C1与C2，再分别求出T=1和T【解答】（1）解：由C1（2）解：∵T=2时，从测试阶段的第2日起，一名新学员每日比前一日多记忆的数字量逐渐减少或保持不变，∴m−27≤27−2432−m≥34−32

解得m=30;

（3）解：①单日每分钟至少记忆32个数字的只有C1与C2

C2：T=2日的记忆强化训练，然后开始每日记忆测试，x=5达32个数字，

∴T+x=2+5=7;

C1：T=1日的记忆强化训练，然后开始每日记忆测试，x=8达32个数字，

∴T+x=1+8=9;

∵7<9,

.甲同学最早在完成理论学习后的第7日可获得“记忆达人”证书；

②当记忆强化训练T=0日时，3日内的测试时间x=3-0=3日，3日内记忆数字个数分