初中数学七年级下册《整式的除法》课堂本教学设计

初中数学七年级下册《整式的除法》课堂本教学设计

一、教学设计理念与理论依据

（一）课程改革理念映射

1.核心素养导向

（1）数学抽象：从具体的数字除法运算中抽象出整式除法的运算法则，将数的运算律推广至式的运算，培养学生的符号意识和形式化表达能力。【基础】

（2）逻辑推理：基于同底数幂除法法则和乘法与除法的互逆关系，演绎推导单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，强化演绎推理与代数推理的严密性。【重要】

（3）数学运算：精准把握算理，规范运算步骤，形成程序化运算技能，提升运算的速度与准确性；在多项式除以单项式的运算中渗透化归思想，将新运算转化为已知运算。【非常重要】【高频考点】

（4）直观想象：利用面积模型或几何图形解释整式除法的几何意义，如用长方形的长、宽与面积的关系理解多项式除以单项式，建立代数与几何的直观联系。【拓展思维】

（5）数据分析：在解决实际问题时，通过对情境中数量关系的分析，选择恰当的整式除法模型，发展模型意识。【综合应用】

2.学与教方式重构

（1）问题驱动：以大任务、大问题统领全课，如“如何用已有的知识计算(6a³b²)÷(2ab)？”激发学生主动探究。【非常重要】

（2）自主建构：通过类比、猜想、验证、归纳等数学活动，让学生自主发现运算法则，而非被动接受。【重要】

（3）深度对话：设计环环相扣的追问链，引导学生暴露思维过程，在师生、生生互动中完善认知结构。【热点】

（4）跨学科融合：引入物理学中的速度公式（路程÷时间=速度）或经济学中的单价问题（总价÷数量=单价），用整式除法建模，体现数学的应用价值。【创新点】

（二）教材学情精准定位

1.教材地位与作用

本课是北师大版七年级下册第一章《整式的乘除》第13课，属于“数与代数”领域。整式的除法是整式四则运算的收官之作，前承同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及整式的乘法，后启分式的运算与一元二次方程的学习。本课不仅是运算技能的综合运用，更是代数运算体系从数到式、从特殊到一般、从具体到抽象的重要转折点。【非常重要】

2.学情分析

（1）知识储备：学生已熟练掌握同底数幂的除法法则（aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ，a≠0，m，n为正整数且m>n），能够进行简单的单项式乘法与多项式乘法运算，对分配律、交换律、结合律等算理有较深理解。【基础】

（2）能力基础：七年级学生正处于从算术思维向代数思维跨越的关键期，具备初步的类比迁移能力，但对“式”的结构化认识尚不完整，容易在符号处理、系数符号、指数运算等方面出现错误。【难点】

（3）心理特征：学生对程序性、步骤化的运算容易产生倦怠，需通过变式、挑战性任务和即时反馈维持学习动机。

（三）教学目标层级设定

1.知识与技能

（1）理解单项式除以单项式的运算法则，能正确进行系数、同底数幂、只在被除式中含有的字母三部分的运算。【基础】【高频考点】

（2）理解多项式除以单项式的运算法则，能将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式的代数和。【重要】【高频考点】

（3）能够熟练运用法则进行计算，并解决简单的实际问题。【综合】

2.过程与方法

（1）经历从特殊到一般的归纳过程，体会类比思想、转化思想和整体思想。【重要】

（2）在纠错、辨析中提升批判性思维，形成运算反思的习惯。【核心素养】

3.情感态度价值观

（1）感受数学运算的简洁美与逻辑美，增强学习代数的自信心。

（2）通过小组互助、挑战闯关等活动，培养合作意识与坚毅品质。

（四）教学重难点突破策略

1.教学重点

单项式除以单项式的法则及其运用；多项式除以单项式的法则及其运用。【非常重要】【高频考点】

突破策略：设计“分解任务单”，将法则分解为系数、同底数幂、单独字母三个子任务，逐一攻克后整合；利用对比表呈现多项式除以单项式与乘法分配律的镜像关系。

2.教学难点

（1）对“只在被除式中含有的字母作为商的一个因式”的理解与记忆。【难点】

（2）多项式除以单项式时，商的符号确定及项数遗漏问题。【高频易错点】

突破策略：通过反例辨析和错例分析，强化“被除式有几项，商就有几项”的直观认知；利用“算理还原”法，要求学生将运算步骤还原为乘法验算，从逆向强化理解。

二、教学准备与时空设计

（一）教学环境

采用“智慧课堂+小组围坐”形式，每四人一组，配备交互式白板及平板答题器，实现即时反馈与数据采集。

（二）学具教具

1.教师：几何画板课件（动态演示面积分割与整式除法）、磁性卡片（用于板书拆解运算步骤）。

2.学生：导学单（含预学诊断卡、探究任务卡、变式训练卡）、双色笔。

三、教学实施过程（核心环节）

（一）预学诊断，以问启思（约3分钟）

1.温故知新

（1）计算并口述依据：

①x⁸÷x²

②(－y)⁵÷(－y)²

③(ab)³÷(ab)

④10²×10⁵÷10⁴

【基础】

设计意图：激活同底数幂除法及幂的乘方逆用，为法则迁移铺垫。

2.情境造疑

呈现任务：为校科技节制作长方体积木，已知体积为6a³b²，长为2ab，如何表示宽？

学生列式：(6a³b²)÷(2ab)。

教师追问：这个算式与我们之前学过的除法有何不同？你想怎样计算？

（二）任务驱动，法则建构（约15分钟）

1.子任务一：单项式除以单项式——分解与整合

（1）独立尝试，暴露思维

学生尝试计算(6a³b²)÷(2ab)，教师巡视收集典型解法。

预设解法A：将除法转化为乘法，设商为X，则2ab·X=6a³b²，通过拼凑得出X=3a²b。

预设解法B：分别计算系数6÷2=3，a³÷a=a²，b²÷b=b，得3a²b。

（2）对比辨析，提炼法则

【非常重要】

教师呈现两种解法，组织小组讨论：解法B的每一步依据是什么？

学生汇报：系数相除——有理数除法；同底数幂相除——同底数幂除法法则；b²÷b=b¹——指数相减；字母c只在被除式中——直接保留。

师生共同归纳单项式除以单项式法则：

①系数相除，作为商的系数；

②同底数幂相除，作为商的因式；

③只在被除式中含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。

（3）符号语言与文字语言互译

板书结构图：

单项式÷单项式=(系数÷系数)·(同底数幂÷同底数幂)·单独的幂

（4）即时诊断【高频考点】

计算：

①12x⁴y³÷(－4x²y)

②(－5a⁵b²c)÷(15a⁴b)

③(2/3)m⁴n²÷(－1/6)m²n

要求：先判断商的符号，再分步计算。

典型错例预警：第②题漏写c，第③题系数除法转化为乘法。

2.子任务二：多项式除以单项式——化归与转化

（1）迁移猜想

计算：(ma+mb+mc)÷m。

学生根据除法分配律直觉猜想：=ma÷m+mb÷m+mc÷m=a+b+c。

教师验证：乘法检验，m·(a+b+c)=ma+mb+mc，成立。

（2）法则形成

【重要】【高频考点】

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

符号表述：(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m（m≠0）。

强调：项数不变，符号法则（除以一个数等于乘以它的倒数，注意单项式系数的正负）。

（3）算理深化

追问：多项式除以单项式能否像乘法一样运用分配律？

引导学生逆向思维：多项式除以单项式本质上就是乘法分配律的逆用，即m·(a+b+c)=ma+mb+mc，反过来就是除法。

3.子任务三：例题示范，规范建模

例1计算：

（1）(28a⁴b²c)÷(7a³b)

（2）(－8x⁵y²－6x³y⁴+4x²y³)÷(2x²y²)

规范板演：

（1）解：原式=(28÷7)·(a⁴÷a³)·(b²÷b)·c

=4·a·b·c

=4abc

【基础】

（2）解：原式=(－8x⁵y²)÷(2x²y²)+(－6x³y⁴)÷(2x²y²)+(4x²y³)÷(2x²y²)

=(－8÷2)·(x⁵÷x²)·(y²÷y²)+(－6÷2)·(x³÷x²)·(y⁴÷y²)+(4÷2)·(x²÷x²)·(y³÷y²)

=－4x³+(－3)xy²+2y

=－4x³－3xy²+2y

【非常重要】【高频考点】

警示标注：

①商的每一项符号由被除式该项的符号与除式符号共同决定，可用同号得正、异号得负判断。

②项数不能少，被除式有三项，商也必有三项。

③结果中能合并同类项的要合并（本例无同类项）。

（三）变式拓展，深化理解（约10分钟）

1.层次一：直接运用

计算：

（1）(6×10⁸)÷(3×10⁵)——科学记数法除法，系数与10的幂分别相除。

（2）(－3a²b)⁴÷(a³b²)——先乘方再除法，运算顺序强调。

【基础】

2.层次二：混合运算与化简

（1）[(x+y)⁵－(x+y)³]÷(x+y)³——整体思想，将x+y视为一个整体。

（2）(12a³－6a²+3a)÷3a——每项均能被整除。

【重要】

3.层次三：逆向求值（高频难点）

已知一个多项式除以(－2x²)得－3x³+2x－1，求这个多项式。

分析：被除式=除式×商式，即(－2x²)·(－3x³+2x－1)=6x⁵－4x³+2x²。

【难点】【热点】

4.层次四：几何解释（跨学科融合）

呈现动态几何画板：长方形面积为(6x²+3x)，宽为3x，求长。

学生操作拖动，观察长=宽分割的两部分面积之和对应除法分配律，直观理解多项式除以单项式的几何意义。

（四）合作纠错，批判建构（约6分钟）

1.病案会诊

呈现典型错题卡（四人小组辨析）：

错例1：12a⁶b³÷4a²b=3a³b²（指数错误：a⁶÷a²=a⁴）

错例2：(－4m⁴+6m³－2m²)÷(－2m²)=2m²－3m+1（符号错误：－2m²÷－2m²=+1）

错例3：(9x⁴y－6x²y³)÷3x²y=3x²－2y²（漏项：y³÷y=y²，正确应为3x²－2y²）

【高频易错点】

2.归因与建模

师生共同归纳避坑指南：

①指数做减法，不是除法；

②符号看仔细，先定号再运算；

③单独字母别弄丢，它是因式莫漏掉；

④多项式除单项式，项项都要顾到。

（五）当堂检测，精准反馈（约5分钟）

使用平板推送5道题，系统即时统计正答率：

1.8a²b⁴÷(－2a²b²)=______

2.(15x³y⁵－10x⁴y⁴+5x²y²)÷(5x²y²)=______

3.若□÷(－3xy)=2x²－y，则□=______

4.一个三角形的面积为(3a²b－6ab)，底边长为3ab，则高为______（三角形面积公式S=½ah）

5.计算：(－2a³)²÷a⁴=______

根据正答率进行组内互助或教师集中讲评。

（六）课堂小结，认知升维（约3分钟）

1.知识图谱构建

引导学生绘制思维脑图（口头表达）：

中心：整式除法

分支1：单项式÷单项式（系数、同底数幂、单独字母）

分支2：多项式÷单项式（化归为单项式除法，项项除，符号项）

分支3：算理本质——乘法逆运算、分配律逆用

2.思想方法提炼

（1）类比思想：数的除法→式的除法

（2）转化思想：新运算→旧运算（多项式除法→单项式除法）

（3）整体思想：将多项式、幂视作整体

3.学习反思

学生用一句话总结本课最大收获或最易错点。

（七）作业布置，分层进阶（约2分钟）

1.基础巩固（必做）

教材P89习题1.13第1、2、3题

【基础】

2.能力提升（选做）

（1）已知A=2x，B是多项式，在计算B÷A时，小马虎同学把B÷A看成了B+A，结果得x²+½x，求B÷A的正确结果。

（2）设计一道用整式除法解决的实际问题（如工程速度、面积分割），并解答。

【重要】

3.拓展挑战（研究性学习）

探究多项式除以多项式（如(x²+3x+2)÷(x+1)），通过因式分解或竖式除法试算，为后续学习分式与因式分解做铺垫。

【拓展】

四、板书结构化设计（文本描述）

主板书左侧：单项式除以单项式法则（分三条并配示例）

主板书中央：多项式除以单项式法则（分配律逆用图示）

主板书右侧：典型例题规范步骤（彩色粉笔标注系数、指数、符号）

副板书区：学生易错点警示（如遗漏单独字母、符号错误）

思维线：特殊→一般，乘法→除法，整体→部分

五、教学评价与反思预设

1.过程性评价

嵌入在每个探究活动中，通过观察、对话、小组互评、即时检测收集学情，动态调整教学节奏。

2.效果预测

预计95%学生能掌握单项式除以单项式，85%学生能正确进行多项式除以单项式运算，但符号处理与项数完整性仍需在后续练习中持续巩固。

3.课后补救预案

针对未达标学生，录制3-5分钟微课《整式除法的坑与桥》，推送个性化练习；设计游戏化闯关“除法大闯关”第一关至第三关。

六、课程资源