小学数学三年级下册《游园策划：数学规划与最优方案》教案

小学数学三年级下册《游园策划：数学规划与最优方案》教案

一、教学背景与设计理念

（一）课程定位与价值

本课为北师大版三年级下册“数学好玩”单元第二课时，属于综合与实践领域。课程基于真实的校园春游情境，将“列表法解决租车问题”这一核心数学活动置于项目化学习框架下。设计理念秉持“做中学、用中学、创中学”，以培养学生核心素养为导向，深度融合数学学科知识与跨学科能力。

（二）核心素养指向

【非常重要】【核心素养】本课重点发展如下素养：1.量感与数感：在实际情境中理解总价、数量与单价的关系，处理大数计算；2.推理意识：通过有序思考，经历“列举—筛选—优化”的逻辑链条；3.模型意识：抽象出租车问题的一般模型，并迁移至同类生活场景；4.应用意识：用数学语言描述最优方案，形成决策建议；5.创新意识：在给定限制条件下尝试提出非常规的创造性解决方案。

二、教学目标与分级标准

（一）三维目标整合表述

1.知识与技能：结合“游园租车”现实情境，在教师引导下，学生能独立运用列表法不重复、不遗漏地列举所有可能的租车方案；能根据“座位数≥人数且总租金最低”的原则筛选出最优方案；能准确计算并比较多位数乘加混合运算的结果。

2.过程与方法：通过小组合作探究，经历“发现问题—分析问题—建立表格—有序枚举—优化决策”的全过程；初步体会“枚举法”与“贪心策略”在解决运筹问题中的作用；积累数学建模的基本活动经验。

3.情感态度价值观：感受数学在生活策划中的简洁与力量，体验“玩数学”的乐趣；培养节约、合理消费的财商意识；通过小组辩论赛的形式，提升表达与倾听的社交技能。

（二）教学重难点

【重点】能用列表格枚举法解决租车问题，并找到最省钱的方案。

【难点】【难点】理解为什么“座位数刚好等于人数”的方案不一定是最省钱的，初步感知空位与单价之间的博弈关系。突破方法：通过核心问题的追问（“多花了12元却多了4个座位，你觉得值不值？”）引发认知冲突，在辩论中建构知识。

三、教学内容与资源整合

（一）教材处理

教材原题呈现：2辆车（大车40座/辆，小车18座/辆），共48人。为使探究更具层次感，将本课主情境数据微调为：大车限乘客40人，租金每天400元；小车限乘客18人，租金每天240元；参加人数48人。保留原题精髓，同时使列表格时各方案座位差呈现梯度，便于观察规律。

（二）跨学科融合点

【热点】【跨学科】1.与道德与法治融合：在预算有限的前提下，培养学生勤俭节约的美德，以及对集体财产负责的责任感。2.与信息技术融合：使用平板电脑中的在线表格软件进行实时协同编辑，动态生成方案，感受技术赋能。3.与劳动教育融合：将“策划”视为一种脑力劳动，培养学生严谨、细致的劳动态度。

四、教学准备

教师准备：交互式电子白板课件，包含动态租车模拟动画；磁性教具（大车、小车磁贴）；小组活动任务单（A3大尺寸，含半结构化表格）；红蓝双色磁力扣。

学生准备：常规计算草稿纸；铅笔橡皮；小组共学板；平板电脑（预装协同表格APP，为选用的技术融合环节准备）。

五、教学实施过程（核心环节，占全课90%篇幅）

【重要】本过程采用“五阶四维”深度体验模式，总时长预设40分钟。

（一）入项：真实问题驱动——发布“首席财务官”招募令

4.情境创设（3分钟）

教师播放春游照片集锦，语音旁白：“同学们，下周五是我们三年级的植物园春游日。可是，学校车队只能提供车辆，不能帮我们决定租哪几辆车。如果我们租贵了，班费吃紧；如果租少了，同学坐不下。今天，我们要为班级48名同学和2位老师（共50人）解决交通难题。”【此处动态调整：将人数改为50人以强化认知冲突，实际原题48人，但加2位教师更真实，并增加一个备选方案维度】

【高频考点】揭示核心任务：征集“最省钱租车方案”，成功入选的小组将被授予“金牌财务官”勋章，并拥有在班委会上一票否决贵方案的权力。

5.信息整理

师生共同提炼数学信息，板书结构化：

已知条件：

总人数：50人（学生48+教师2）

车型A：大车——限乘40人，租金400元/辆。

车型B：小车——限乘18人，租金240元/辆。

目标：车辆座位总数≥50人。

目标函数：总租金=400×大车辆数+240×小车辆数，取最小值。

（二）试项：无结构尝试——暴露原始思维

6.独立尝试（2分钟）

教师不提供任何方法指导，直接提问：“你觉得租几辆大车、几辆小车就够了？大概要花多少钱？”学生凭直觉在草稿本上列式。

预设生成：①全租小车：50÷18≈2.77，租3辆，座位54，租金720元；②全租大车：租2辆，座位80，租金800元，太浪费；③混租：1大+1小，座位58，租金640元。此时学生普遍认为1大1小最省钱。

7.认知冲突植入（1分钟）

教师追问：“还有没有其他可能的组合？”学生犹豫。教师展示空白表格第一列（大车数量），提问：“大车可以租0辆吗？可以租2辆吗？可以租3辆吗？”引导学生发现大车数量是有范围的，为列表法铺垫。

（三）建项：工具建构——列表法的诞生与规范化

8.确定变量取值范围（3分钟）

【重要】师生共同推导：

假设全用小车：50÷18≈2.78→小车最多3辆（4辆太浪费，但应不排除枚举所有可能）。为保证有序，从大车数量入手。

大车最多几辆？若全用大车，50÷40=1.25，2辆够用，3辆座位120远超需求且租金1200极贵，但从“枚举的完整性”角度，是否要列3辆？教师引导学生达成共识：尽管3辆大车可行且座位充足，但费用明显更高，为了完整探究规律，我们暂时保留枚举至2辆，但在拓展环节将补充边界确定原则。

最终确定大车数量的取值范围：因为小车每辆18座，大车40座，为保证不遗漏，大车可取0辆、1辆、2辆（3辆及以上通过估算，总租金超过1200，显然劣于某些方案，为减少无效计算，三年级暂不强制列举，此为教学机智——适度的简化）。

9.表格要素设计（5分钟）

教师出示半成品表格（白板或学习单），与学生共同商定所需栏目：

【非常重要】完整栏目应包含：

（1）大车辆数（2）小车辆数（3）可乘坐总座位数（4）与总人数比较（是否够坐）（5）总租金/元（6）是否入选（打√）

师生讨论为什么需要“小车辆数”这一列？因为大车数量固定后，剩余人数需要小车补齐，列式：（50－40×大车数）÷18，结果用进一法取整数。

10.核心计算与填表（8分钟）

【高频考点】【难点】本环节为全课心脏，采用“师示范—生模仿—组内互查”模式。

（1）大车0辆：

剩余50人。50÷18=2.777…，需小车3辆。

座位：18×3=54个，够坐。

租金：0×400+3×240=720（元）。

（2）大车1辆：

大车坐40人，剩余10人。10÷18≈0.56，需小车1辆。

座位：40+18×1=58个，够坐。

租金：400+240=640（元）。

（3）大车2辆：

大车坐80人，剩余0人？需小车0辆。

座位：80个，够坐。

租金：2×400=800（元）。

此时教师追问：“大车2辆时，需要小车0辆。可是我们只有50人，却租了80个座位，空位30个，多花了160元。你觉得合适吗？”学生齐答不合适。

完整表格生成如下：

大车辆数 小车辆数 总座位数 是否够坐 总租金（元） 优选

0 3 54 是 720 备用

1 1 58 是 640 当前最优

2 0 80 是 800 淘汰

1.方案优化辩论（5分钟）

【热点】教师抛出灵魂拷问：“目前1大1小方案租金640元，是表格里最少的。但是，如果我们租0大3小方案，租金720元，多花80元，只少了4个座位；租2大0小更是贵了160元。是不是1大1小就是最终答案？”

此时有学生提出：“老师，能不能大车租1辆，小车租2辆？”这一质疑打破了原有枚举框架，生成新的可能性——大车1辆+小车2辆，座位76，租金880元，更贵，排除。

但另一学生提出：“大车租2辆，小车退掉一辆，但座位不够。”教师引导：所以我们必须在“座位数≥50”这个硬约束下寻找。

【非常重要】认知突破：教师追问：“有没有一种方案，比640元还便宜？我们看看租金表，720、640、800，640是最低的。但是大家有没有想过，如果我们租的车座位数刚好是50或者稍多一点，是不是一定最省钱？例如，0大3小方案空位4个，1大1小方案空位8个。为什么空位多的反而更便宜？”引导学生关注单价：大车每个座位的单价400÷40=10元/座，小车每个座位单价240÷18≈13.33元/座。大车人均更便宜！所以多租大车看似空位多，但单价低，总价不一定高。但为什么2辆大车又贵了？因为空位太多（30个），造成了浪费。最优方案往往在“尽量用大车”和“避免过多空位”之间取平衡。

（四）深项：变式探究——数据微调后的规律挖掘

2.变式一：增加小车租金（3分钟）

将小车租金从240元提至260元，其他不变。重算方案：

0大3小：780元；1大1小：660元；2大0小：800元。结论依然是1大1小最优。

3.变式二：调整人数为49人（2分钟）

快速口算：1大1小（58座）640元；0大3小（54座）720元；2大0小（80座）800元。仍为原方案。若人数为55人：1大1小（58座）640元；0大4小（72座）960元；2大0小（80座）800元；此时2大0小比1大1小贵，但比0大4小便宜。若人数为60人：1大2小（76座）880元；0大4小（72座）960元；2大0小（80座）800元；发现2大0小反而最省钱！学生惊呼。

【难点】教师引导学生总结：当人数较多时，充分利用大车单价低的优势，即使空位多也可能更划算。优化的本质不是“空位最少”，而是“总价最低”。

（五）拓项：项目化挑战——我是最佳策划师

4.小组合作探究（6分钟）

任务：学校租车公司增加了两种新车：中巴车限乘28人，租金320元；面包车限乘12人，租金200元。现有三年级6个班同时出游，总人数300人（每班50人），要求所有班级同时出发，每个班单独成团（即每班自己规划自己班的租车，不混班）。每班必须从四种车型中选车，请为你们班设计最省钱方案。

【重要】各小组使用平板协同表格，快速枚举。数据较复杂，允许使用计算器。教师巡视，重点关注学生能否有序设变量（按座位数从大到小依次设定范围）。

5.成果展示与答辩（3分钟）

某小组展示方案：大车1辆（40座400元）+中巴1辆（28座320元）=68座720元，人均10.59元。另一组反驳：我们只用大车2辆（80座800元）人均10元，虽然总价贵80元，但座位更宽绰，且人均更低，如果班费充足，坐得更舒服。教师肯定这是“性价比”与“总价”的另一种权衡，没有绝对的对错，只有基于预算和舒适度的不同决策。

6.思政升华（1分钟）

总结：数学给我们提供了精确计算最优解的工具，但在实际生活中，决策往往是多维度的。我们今天掌握了找到“最省钱”方案的本领，但未来你们做策划时，还要考虑舒适、环保、效率等。数学让我们拥有理性思考的能力，更让我们成为负责任的社会公民。

六、板书与作业设计

（一）结构化板书（黑板布局）

左侧：核心问题——“50人游园，怎样租车最省钱？”

中间：核心表格（大车0、1、2列），红笔圈出640元。

右侧：规律总结——

7.有序枚举，不重不漏。

8.总价=大车费+小车费。

9.【非常重要】最优解不在空位最少处，而在单价与数量的平衡处。

10.大车人均便宜，但要避免空位过多。

（二）分层作业

【一般】基础性作业：完成数学书练一练第2题（租船问题），用列表法求解。

【重要】拓展性作业：家庭旅行计划。与父母共同规划一次家庭短途游，上网查询租车公司实际报价（7座、15座、22座等），根据家庭人数，设计至少三种租车方案并选出最优，拍照上传班级空间。

【热点】探究性作业：为什么很多租车公司的小车（轿车）按天计费往往比人均大巴贵很多？请结合本课知识写一篇100字左右的数学日记。

七、教学反思与评价设计

（一）形成性评价嵌入

在小组合作环节，使用“方案贡献度”贴