应用统计硕士（统计量及其抽样分布）模拟试卷1

应用统计硕士（统计量及其抽样分布）

模拟试卷1

一、单选选择题（本题共70题，每题分，共70

分。）

1、设随机变量X和Y相互独立且服从正太分布（0.32）,而X］，X2,/和

Y|,丫2，…，丫9分别是来自总体X和Y,的简单随机样本，则统计量U=

X、+…

］服从分布，且其参数为。（|

A、38

B、t,9

C、正太；（0,1）

D、a9

标准答案：B

知识点解析：因为X服从正态分布N（0,32）,所以X1+X2+...+X9〜N（0,

X、+M+…

9x3，9〜N（0,1）；因为Y服从正态分布N（0,32）,所以

宁~抵（0,1）,俘）喑）…住）*9）从而

X,+%+一…+%

,、y-t（9）

伸）“打…白）”•,十%

T9即u=M+…丁服从参数为9的I分布。

2、从服从正太分布的无限总体分别抽取容量为7,20,80的样本，当样本容量增

大时，样本均值的数学期望，标准差.。（）。

A、保持不变；增加

B、保持不变；减小

C、增加；保持不变

D、减小；保持不变

标准答案：B

知识点解析：由于总体服从正态分布，所以样本均值的抽样分布仍为正态分布，数

2色

学期望不变；方差为'/，标准差为而，故当样本容量n增大时，标准差减小。

3、设总体均值为200,总体方差为64,在大样本情况下，无论总体的分布形式如

何，样本平均数的分布都是服从或近似服从()。

A、N(200,64)

B、N(200,8/石)

C、N(200/n,64)

D、N(200,64/n)

标准答案：D

知识点解析：根据中心极限定理可知，在大样本情况下，样本平均数土的抽样分布

£

近似服从平均值为口和样本方差为门的正态分布。由题知，g=200,O2=64,所

京~1200,—)

以1M

4、从一个均值F1=20,标准差0=1.2的总体中随机选取容量为n=36的样本。

假定该总体并不是很偏的，则样本均值X小于19.8的近似概率为()。

A、0.1268

B、0.1587

C、0.2735

D、0.6324

标准答案：B

2

a

知识点解析：由于n=36N30,」艮据中心极限定理有：区〜NJ,")=N(20,

_^<12^20

0.04)o故P(*V19.8)=P(0・20.2)=^(-1)=1-^(1)=1-0.8413

=0.1587。

5、某厂家生产的灯泡寿命的均值为1000小时，标准差为4小时。如果从中随机抽

取16只灯泡进行检测，则样本均值()。

A、抽样分布的标准差为1小时

B、抽样分布近似等同于总体分布

C、抽样分布的中位数为1(X)0小时

D、抽样分布服从正态分布，均值为1000小时

标准答案：A

知识点解析：由于n=I6V30,并且总体的分布未知，所以抽样分布的形状未知。

a_4

但是抽样分布的均值仍为KXX)小时，标准差为加/石=|。

6、根据抽样测定100名4岁男孩身体发育情况的资料，平均身高为95cm,标准差

为4cm。有()的概率可确信4岁男孩平均身高在93.8~96.2cm之间。

A、68.27%

B、90%

C、95.45%

D、99.74%

标准答案：D

知识点解析：设*为抽取样本的平均身高。由题知，p=95,Q2=42,所以

£~95.—］五-95

''@人0.4〜W(0,1),故P{93.8<96.2}=

93.8-95J-95<96.2-95

P{040404}=2©⑶-1=2x0.9987-1=0.9974,即有

99.74%的概率可以确信4岁男孩平均身高在93.8-96.2cm之间。

7、假设总体比例为0.3,采取重复抽样的方法从此总体中抽取一个容量为100的

简单随机样本，则样本比例的期望是()。

A、0.3

B、0.8

C、1.6

D、2

标准答案：A

知识点解析：由二项分布的原理和渐进分布，设总体比例为心当n充分大(n=

100N30)时，样本比例的期望为兀=0.3。

8、假设总体比例为0.2,从此总体中抽取容量为100的样本，则样本比例的标准

差为()。

A、0.2

B、0.02

C、0.04

D、0.16

标准答案：C

知识点解析：由二项分布的原理和渐进分布，设总体比例为心当n充分大(n=

100N30)时,样本比例服从正态分布,样本比例的标准差为：

阿1二nnJ二A).2X(1-6^)

、100=0.04o

9、大样本的样本比例的抽样分布服从()。

A、正态分布

B、t分布

C、F分布

D、/分布

标准答案：在重复抽样和不重复抽样条件下，样本均值分布的中心相同。在不重复

抽样条件下，样本平均数的标准差为Y"1N-U；在重复抽样条件下，样本平

均数的标准差为、«;不重复抽样与重复抽样比，多了•个修正系数

：/后卜/焉。当N近大于nB寸，修正系数近似于1,不重复抽样误差近似

等于重复抽样误差，即不重复抽样分布趋近于重复抽样分布。

知识点解析：暂无解析

三、计算与分析题(本题共12题，每题1.0分，共12

分。)

14、Zi，Z2,…，Z6表示从标准正态总体中随机抽取的容量，n=6的一个样本，

6

P(W6)=0.95

试确定常数b,使得-

标准答案[由于Z1，Z2,...Z6为正态分布，并且相互独立，所以ZZj2服从小⑹分

P(yz]>b)=I-P(Wb)

布。$E=l-o.95=0.05查表得：b=

12.5916。

知识点解析：暂无解析

1

15、设Xi，X2,…，X9是X目标准正忑总体X的简单随机样本，而Y|=6(X+

1LvYP7反(匕-匕)

—-D,Z-0

322

X+...+X),Y2=(X7+X84-X9)S=KS证明统计

量Z服从自由度为2的t分布。

标准答案：由XI,X2，…，9是来自标准正态总体X的简单随机样木可得，X|,

X2,…，X9是相互独立的，并且都服从标准正态分布，Y1，丫2也是相互独立的。

£(匕)=£(M+X[+…+儿)]=0,Var(V))=Viarj/(X+占+…+4)]=/

E(Y2)=4/(尤+人+4)卜0,%"打)=时"(焉+4+%)]="

E(Y|

1+1_11

2

一丫2)=0,Var(Y|-Y2)=63-2,即丫1一丫2〜N(0,),所以

^^=&（匕-丫2）~叭0,1）

&由于n=3,所以（n-l）S?=2s2〜£（2）,从而

&U）&（匕-匕）

侬力〜t⑵,即2=S一■〜（⑵

知识点解析：暂无解析

16、设总体X服从正态分布N（R,o2）,（Xi，X2，…，Xio）为来自总体X的简单随

⑴，怪W古。Xw¥）

”作嗡

(3)P借wS"W誓)

机样本，试求下列概率:

2（儿・“

i«l________〜2

标准答案：（1）由于/"〜£（10）,因此

10

型1

7W=P{X2(10)>5}-

t(x「G)2

j・l_

P{X2(10)>15}=0.8912-0.1321=0.7591(2)由于/〜£(9),因此

10

(对

P{&悬(x「对W孝卜2%-।

/J=P(X"(9)>5)-

3虎

P{X2(9)>I5)=0.8343-0.0909=0.7434(3)由于/〜£(n—l),因此

智，得W£W¥}=P卜W鸳W6)

/〜£(9)。所以pl'JJI。J=p{/(9a3}—P{£(9巨6}=

0.9643-0.7399=0.2244

知识点解析：暂无解析

17、某小型工厂共有5个工人，他们的周工资分别为140、160、180、200、220

元，现在用重置随机抽样的方法从中抽出2个工人的工资构成样本。（I）计算总体

平均工资及其标准差；（2）列出样本平均工资的抽样分布；（3）计算样本平均工资，

并检验是否等于总体平均工资；（4）直接计算样本平均工资的标准差；（5）按公式计

算样本平均工资的标准差，并验证是否等于（4）的结果。

标准答案：（1）总体均值和标准差分别为：

=幽+160+%+200+220=|80（元）

。=产密=产山*H-0）上山*瓯=2&28（元）

⑵重复抽样的两两样本的平均数加嘉2-29所示。

表2-29两两祥本的平均敷单位：元

样本值140160180200220

140140150160170ISO

160ISO160170180190

180160170180190200

200170180190200210

220180190200210220

由表2-29可知，样本均值的分布如表2-30所示。

豪2-30样本均值的分布

样本均值欢元）黑效

14011/25

15022/25

16033/25

17044/25

18051/5

19044/25

20033/25

21022/25

22011/25

合计251

乙bE对1

=T7=25

(3)由表2—30可得：乙JX(14O+150x2+...+220)=180(元)=p(4)

样本平号工资的标准差为;

/2；[£-£(1)17

"「Jz/-»

22

=/JrX[(140-180)2+(|5O-18O)x2+-+(220-I80)]

724'=20.41(5)由于

"-"nr2=20,即按公式计算样本平均工资的标准差小于(4)中直接计算的

结果。

知识点解析：暂无解析

18、一个具勺n=64个观察值的随机样本抽自于均值等于20、标准差等f16的总

体。（1）给出（平均值）的抽样分布（重复抽样）的均值和标准差。（2）描述（平均隹工

的抽样分布的形状。你的叵答依赖于样本量吗？（了计算标准正态z统计量对应于

=15.5的值。（4）计算标准正态z统计量对应于=23的值。

标准答案：（1）由于总体的均值为20、标准差等于16。所以

£（'）=20.a；=^=-^==2

而项（2）样本均值的抽样分布形状依赖于样本量。依据大样

本量（后30）,描述勺平均值）的抽样分布近似为正态分布。当吟30时，样本均值*

（平均值）的抽样分布形状基本_L没有差别，形成正态分布；当n为小样本时（通常

n<30）,其分布则不是正态分布，并且无法获知均值的抽样分布形状，这时就不能

x-u，15.5-20

按正态分布进行推断。（3）当三二15.5,z==；-2=2.25o（4）当了=

X-M_23-20

23,%=2=|.5o

知识点解析：暂无解析

19、从一批5000只日光灯中随机抽取1600只进行耐用时间的质量检验，已知该种

型号的日光灯平均寿命为1500小时。标准差为800小时c分别按照重复抽样和不

重爱抽样两种方法计算样本平均寿命小于1550小时的概率。

标准答案：（1）按照重复抽样的方法由中心极限定理知，样本平均寿命

x-N（1500,过）|£Z25OO

'1600人则20〜N（0,1）,所以

7J15<1550|=<1550-15001

I20201=^（2.5）=0.9938即在重复抽样的方法

下，样本平均寿命小于1550小时的概率为0.9938o（2）按照不重复抽样的方法由

内=0呼

于是对有限样本的不重复抽样，所以样本均值的标准差。由中心极

00

1500,M/^°°~16()01]

限定理知，样本平均寿命11/600，5000-1)),即

x-1500x-1500

/1600\5000-1

P|M<1550|=P|土怨<也31.0（303）-0OQ雨

116.49416.494j-0（工03）—0.99就即在不重复抽样的方法

下，样本平均寿命小于155。小时的概率为0.9988o

知识点解析：暂无解析

20、某批发商店的经理正考虑一新的销售计划。已知每个顾客购买额的均值为200

元，标准差为15元。如果随机抽取36名顾客，试计算平均购买额超过204元的概

率。

X-A^^200

标准答案：由于n=36>30,由中心极限定理可得：统计量z=〃G-15/而近似

X-200204-200

服从标准正态分布。当±=204时，z=15/石-石7扇=1.6所以随机抽取36

名顾客，平均购买额超过204元的概率为：P(«>204)=1-P(«<204)=1-P(

<1.6)=1一伙1.6)=1-0.9452=0.0548

嬴识点解析：暂无解析

21、从一个均值为40,方差等于144的无限总体中按不重复简单随机抽样抽出样

本量n=36的样本。(1)求样本均值人的抽样分布；(2)如《P(*2a)=0.05。求a

的值。

标准答案：(1)对于无限总体，抽样可以看成是重复抽样。于是

£")=40,/(?)=出=4

36又n=36>30,所以由中心极限定理可知，样本均值

了近似服从N,0,4)o⑵由⑴可得：

打―(学》壁卜”喉碧.0.05即限#)=。95则号2

=1.645,解得：a=43.29。

知识点解析：暂无解析

22、某市在第五次人口普查显示。该市老年人口老龄化(65岁以上)比率为

14.7%。现随机调查了40。名当地市民，则其老龄化率为10%和16%之间的概率

为多少？

标准答案：由于n较大，p较小，np=400x!4.7%=58.8>5,n(l-p)：

400x85.3%=341.2>5»因此，可利用正态近似处理，即可认为样本比率p的

2P(1-P)

抽样分布近似服从平均值即=0.147和方差的叼:=正态分布。将p值变换

P”

W-P)

为服从标准正态分布的z值，即：Z=Vn〜N(0,1)。则P{10%VpV16%}

,(0.1-0.147*p-0.147.0.16-0.147_1

/0.147x(1-0.147)C/b.147x(1-0.-147)~/t).147x(1-0.147)j

=PV姬V砺一4400=如.734)

一©(—2.655)=0(0.734)+(2.655)-1=0.7646即老龄化率为10%和16%之

间的概率为76.46%。

知识点解析：暂无解析

23、某调查员要对A、B两个地区居民用于某类消费品的年支出数额进行比较分

析，在两地各抽取400户居民，调查得到A地区平均每户日支出数额为250元，

标准差为47元。B地区平均每户日支出数额为150元，标准差为20元。问样本差

大于100的概率有多大？

标准答案：假定这两个样本是相互独立的。因为在A、B两地各抽取了400个样

本，样本的容量足够大。因此，根据中心极限定理，五-五的抽样分布服从均值

回+为

为(澳一RB)，方差为1%的近似正态分布。故

尸｛同一/I>100|=1-PI-100这名-1.^1001

-100-(250-150):-v