2026数字信号处理试题及答案

2026数字信号处理试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.已知序列x[n]=δ[n]+2δ[n-1]，其DTFT为X(e^{jω})，则X(e^{j0})等于A.0  B.1  C.2  D.3答案：D2.对连续信号x_c(t)=cos(2π·1000t)以采样频率f_s=1500Hz进行理想采样，所得序列x[n]的周期为A.2  B.3  C.4  D.6答案：B3.若因果LTI系统的系统函数H(z)=\frac{1}{1-0.5z^{-1}}，则其单位脉冲响应h[n]的收敛域为A.|z|>0.5  B.|z|<0.5  C.|z|>2  D.全平面答案：A4.长度为N的实序列x[n]的N点DFT为X[k]，则下列性质一定成立的是A.X[k]=X[N-k]  B.X[k]=X^[N-k]  C.X[k]=-X[N-k]  D.X[k]=X^[k]A.X[k]=X[N-k]  B.X[k]=X^[N-k]  C.X[k]=-X[N-k]  D.X[k]=X^[k]答案：B5.用窗函数法设计FIR低通滤波器，窗长度M增大时，主瓣宽度与旁瓣峰值分别A.变窄，减小  B.变窄，增大  C.变宽，减小  D.变宽，增大答案：A6.对8点序列x[n]做基2DIT-FFT，其复数乘法次数为A.8  B.12  C.24  D.48答案：B7.已知系统差分方程y[n]-0.8y[n-1]=x[n]，输入x[n]=u[n]，初始条件y[-1]=0，则y[2]等于A.0.8  B.1.64  C.2.44  D.3.24答案：B8.双线性变换将模拟频率Ω=π/T映射到数字频率A.π/2  B.π  C.2π  D.0答案：B9.对实信号以f_s=8kHz采样，做1024点DFT，频率分辨率Δf为A.7.8125Hz  B.15.625Hz  C.31.25Hz  D.62.5Hz答案：A10.若序列x[n]的z变换X(z)在z=1处有一阶零点，则其DTFT在ω=0处的值为A.0  B.1  C.π  D.不确定答案：A二、多项选择题（每题3分，共15分，每题至少两个正确答案，多选少选均不得分）11.下列关于采样定理的叙述正确的是A.带限信号最高频率为f_m，则f_s>2f_m可无混叠B.实际抗混叠滤波器过渡带不可能为零C.过采样可降低对模拟抗混叠滤波器的要求D.带通信号采样频率可低于2f_m答案：ABCD12.下列关于线性相位FIR滤波器的说法正确的是A.单位脉冲响应满足对称或反对称条件B.群延迟为常数C.零点呈共轭倒数对称D.阶数必为偶数答案：ABC13.下列关于FFT的说法正确的是A.DIT与DIF算法运算量相同B.原位运算可节省存储C.基4FFT比基2FFT乘法次数少D.任意长度序列均可直接用基2FFT答案：ABC14.下列关于IIR滤波器设计的说法正确的是A.脉冲响应不变法可能产生混叠B.双线性变换无混叠但引入频率畸变C.双线性变换适合设计高通D.阶数通常低于相同指标的FIR答案：ABCD15.下列关于有限字长效应的说法正确的是A.乘积量化引入舍入噪声B.IIR极限环由溢出引起C.级联结构比直接型系数量化灵敏度低D.增加字长可减小极限环幅度答案：ACD三、填空题（每空2分，共20分）16.序列x[n]=e^{j(0.25πn+π/4)}的数字频率为________rad/sample。答案：0.25π17.已知X(z)=\frac{1}{1-0.9z^{-1}},|z|>0.9，则x[∞]=________。答案：018.用汉明窗设计截止频率0.4π的FIR低通，窗长度N=51，则实际过渡带宽度约为________π。答案：0.1619.8点DIT-FFT第一级蝶形运算的旋转因子W_8^0=________。答案：120.对模拟系统H_a(s)=\frac{1}{s+1}用脉冲响应不变法(T=0.1s)转换，所得H(z)=________。答案：\frac{0.1}{1-e^{-0.1}z^{-1}}21.若系统函数H(z)的极点位于z=0.5e^{±jπ/3}，则系统稳定所需收敛域为________。答案：|z|>0.522.序列x[n]=cos(πn/2)的周期为________。答案：423.对1024点实序列做FFT，利用共轭对称性，可节省________次复数乘法。答案：0（仅节省存储，乘法次数不变）24.双线性变换中频率预畸公式为Ω=________·tan(ω/2)。答案：\frac{2}{T}25.直接型IIR滤波器系数量化导致极点偏移，其灵敏度与极点到原点的距离成________比。答案：反四、简答题（每题6分，共18分）26.简述窗函数法设计FIR滤波器的步骤，并说明窗长与过渡带、阻带衰减的关系。答案：(1)根据指标确定理想脉冲响应h_d[n]；(2)选择窗函数w[n]并确定窗长N；(3)得实际脉冲响应h[n]=h_d[n]·w[n]；(4)检验频率指标，不满足则调整N或换窗。窗长N增大→过渡带变窄；窗型决定阻带衰减，如汉明窗可达53dB，布莱克曼窗可达74dB。27.说明基2DIT-FFT算法的原位运算原理及其对存储的需求。答案：原位运算指每级蝶形输出可覆盖输入存储单元，只需N个复数存储单元存放当前级数据。旋转因子可预先计算或即时生成，无需额外N个单元，从而将存储需求从2N降至N。28.比较脉冲响应不变法与双线性变换法在频率响应保真方面的优缺点。答案：脉冲响应不变法：线性频率关系，无畸变，但存在混叠，仅适合带限低通；双线性变换法：无混叠，但频率非线性畸变，需预畸校正，适合任意频率选择性滤波器。五、计算题（共47分）29.（8分）已知序列x[n]={1,2,3,4}，n=0,1,2,3，求其4点DFTX[k]，并验证Parseval定理。答案：X[k]=\sum_{n=0}^{3}x[n]W_4^{kn},W_4=e^{-j2π/4}=-j，X[0]=1+2+3+4=10，X[1]=1+2(-j)+3(-1)+4(j)=-2+2j，X[2]=1+2(-1)+3(1)+4(-1)=-2，X[3]=1+2(j)+3(-1)+4(-j)=-2-2j。Parseval：\sum|x[n]|^2=1+4+9+16=30，\frac{1}{4}\sum|X[k]|^2=\frac{1}{4}(100+8+4+8)=30，验证成立。30.（10分）因果LTI系统H(z)=\frac{1+0.5z^{-1}}{1-0.8z^{-1}+0.15z^{-2}}，|z|>0.5，(1)画出直接Ⅱ型结构图；(2)求单位脉冲响应h[n]的前四项；(3)判断系统稳定性。答案：(1)直接Ⅱ型：两个延时器，反馈系数{-0.8,0.15}，前馈系数{1,0.5}，图略。(2)长除法：H(z)=1+1.3z^{-1}+0.89z^{-2}+0.457z^{-3}+…h[0]=1,h[1]=1.3,h[2]=0.89,h[3]=0.457。(3)极点z=0.3,0.5，均在单位圆内，稳定。31.（9分）用双线性变换法设计一阶数字低通，3dB截止频率ω_c=0.2π，采样周期T=1ms，求(1)模拟原型Ω_c；(2)数字系统函数H(z)；(3)给出差分方程。答案：(1)预畸：Ω_c=\frac{2}{T}\tan(0.1π)=2×0.3249=0.6498rad/s。(2)模拟系统H_a(s)=\frac{Ω_c}{s+Ω_c}，双线性s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}=2000\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}，H(z)=\frac{0.6498}{2000\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}+0.6498}=\frac{0.6498(1+z^{-1})}{2000(1-z^{-1})+0.6498(1+z^{-1})}=\frac{0.6498(1+z^{-1})}{2000.6498-1999.3502z^{-1}}≈\frac{0.0003247(1+z^{-1})}{1-0.99935z^{-1}}。(3)差分方程：y[n]-0.99935y[n-1]=0.0003247(x[n]+x[n-1])。32.（10分）长度为5的序列x[n]={1,-1,1,-1,1}通过长度为4的FIR滤波器h[n]={1,2,3,4}，(1)求线性卷积y[n]；(2)若用8点圆周卷积实现，给出圆周卷积结果与线性卷积相等的条件；(3)计算8点圆周卷积并验证与(1)一致区间。答案：(1)线性卷积长度5+4-1=8，y[n]={1,1,2,2,2,1,1,0}，n=0…7。(2)圆周卷积长度L≥8即可无混叠，取L=8。(3)补零至8点：x8={1,-1,1,-1,1,0,0,0}，h8={1,2,3,4,0,0,0,0}，8点圆周卷积：Y_c[k]=X8[k]·H8[k]，IDFT得y_c[n]={1,1,2,2,2,1,1,0}，与(1)完全一致。33.（10分）系统如图（略），其中A/D采样率f_s=10kHz，数字滤波器H(z)为线性相位FIR低通，阶数M=40，群延迟τ=20samples。输入x_c(t)=cos(2π·1000t)+cos(2π·4000t)，(1)写出数字频率ω1、ω2；(2)若滤波器通带截止ω_p=0.