2023-2024学年广东华南师大附中高一(下)期中数学试题及答案

2023-2024学年广东省广州市华南师大附中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。15分）已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|1≤x≤4}，则A∩B=()A．{x|1≤x≤3}B．{x|0≤x≤4}C．{x|0≤x≤1}D．{x|3≤x≤4}复数z=是虚数单位）的虚部是()35分）下列命题中错误的是()A．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形B．以圆的直径所在直线为旋转轴，将圆面旋转180度形成的旋转体叫球C．棱台的各条侧棱所在直线一定相交于一点D．用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台→→→→→→→→55分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝2bcosA，asinA﹣bsinB＝c（sinC65分）鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P得仰角为45°,沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内在B处测得山顶P得仰角为60°,则鼎湖峰的山高PQ为米.75分）函数y＝sin(ωx+φ)（其中常数ω>0，|φ|≤)的最小正周期是π,若其图像向右平移个单位后，所得图像关于原点中心对称，则原函数的图像()A．关于点(，0)中心对称B．关于点(，0)中心对称C．关于直线x=轴对称D．关于直线x=轴对称→→885分）已知向量a、→→b为单位向量，→→→→且a+2b和a−2b相互垂直，又对任意λ∈R不等式|a−λ|≥|−|恒成立，若=+(u∈R)，则||的最小值为()二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）96分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列对△ABC的个数的判断正确（多选）106分）已知非零复数z1，z2，其共轭复数分别为z1，z2，则下列选项正确的是()→→→A．若a∗b=0，则a∥b→→C．设在△ABC中，AB=a，AC=b，则2S△ABC=a∗b→D．a∗(b+c)=a∗b+a∗c（c为任意非零向量）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。已知tanα=，则sin2α=.135分）若a＞0，b＞0且满足2a+b＝2，则+的最小值是.145分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2﹣b2＝2c2cosC，若△ABC为锐角三角形，则的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（1）求点C到AD所在的直线的距离；（2）以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，求该几何体的体积.1615分）如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，且AE=2EB，M是线段CE上一动点.（1）ME=mMA+nMB，m，n∈R，求m•n的值；（2）若AB=9，⋅=43，求(+2B)C的1715分）在△ABC中，D是线段BC上的一点（不含端点∠ADC=若AC⋅sinC=，求AD的长；BD（2）若∠CAD＝2∠BAD，求的取值范围.CD1817分）对于三个实数a，b，k，若（1+a21+b2）≥k|a﹣b||1﹣ab|成立，则称a，b具有“性质k”.（1）∀x∈R，判断x，0是否具有“性质2”？（2）∀y∈(，)，判断tany，0是否具有“性质4”？（3）若存在x0∈[，2π)及t0∈,使得sin2x0−2sinx0−t0−−m≤0成立，sinx0，1具有“性质2”，求实数m的取值范围.1917分）已知函数=l0gax−（1）若f（x）在[2，4]上的最小值为，求a的值；（2）证明：f（x）存在唯一零点x0且满足−x0−＜a2.2023-2024学年广东省广州市华南师大附中高一（下）期中数学试卷一．选择题（共8小题）题号12345678答案ACDCCBDD二．多选题（共3小题）题号9答案BCABAC一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。15分）已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|1≤x≤4}，则A∩B=()A．{x|1≤x≤3}B．{x|0≤x≤4}C．{x|0≤x≤1}D．{x|3≤x≤4}【分析】利用集合的交集运算求解.【解答】解：∵A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|1≤x≤4}，∴A∩B＝{x|1≤x≤3}.故选：A.【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.复数z=是虚数单位）的虚部是()【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简后得答案.故选：C.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题.35分）下列命题中错误的是()A．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形B．以圆的直径所在直线为旋转轴，将圆面旋转180度形成的旋转体叫球C．棱台的各条侧棱所在直线一定相交于一点D．用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台【分析】利用棱柱、棱锥、棱台及球的结构特征逐项判断得解.【解答】解：对于A，由棱柱的结构特征知，棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形，A正确；对于B，以圆的直径所在直线为旋转轴，将圆面旋转180度，相当于以半圆的直径所在直线为旋转轴，将半圆面旋转360度，由球的定义知，B正确；对于C，由棱台的结构特征知，棱台的各条侧棱所在直线一定相交于一点，C正确；对于D，当截面与棱锥底面不平行时，底面与截面之间的部分不是棱台，D错误.故选：D.【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台及球的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.→→→→→→→→【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解.→→→→→→→【解答】解：平面向量a与b不共线，向量m=xa+b，n=a+(3x−2)b，m∥n，故选：C.【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题.55分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝2bcosA，asinA﹣bsinB＝c（sinC【分析】根据余弦定理化简c＝2bcosA，算出a＝b，根据正弦定理与余弦定理化简asinA﹣bsinB＝c（sinC﹣sinB得到A=进而可得△ABC是等边三角形，可得角B的大小.【解答】解：由c＝2bcosA，根据余弦定理得C=2b⋅整理得b2＝a2，即b＝a.由asinA﹣bsinB＝c（sinC﹣sinB根据正弦定理得a2﹣b2＝c2﹣bc，即a2＝b2+c2﹣bc，所以CoSA=因为0＜A<π,所以A=，结合b＝a可知△ABC是等边三角形，可得B=故选：C.【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理、等边三角形的判定与性质等知识，属于基础题.65分）鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P得仰角为45°,沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内在B处测得山顶P得仰角为60°,则鼎湖峰的山高PQ为米.【分析】根据题意，在△PAB中利用正弦定理列式求AP长，然后在Rt△PAQ中求出PQ的长，可得所求山的高度.sin15°=sin＝sin60°cos45°﹣cos60°sin45°=APAB在△PAB中，AB＝90m，根据正弦定理在Q中，PQ=APsin45°=即所求山高为45(6+2)m.故选：B.【点评】本题主要考查三角恒等变换公式、锐角三角函数的定义、利用正弦定理解三角形等知识，属于中档题.75分）函数y＝sin(ωx+φ)（其中常数ω>0，|φ|≤)的最小正周期是π,若其图像向右平移个单位后，所得图像关于原点中心对称，则原函数的图像()A．关于点(，0)中心对称B．关于点(，0)中心对称C．关于直线轴对称D．关于直线轴对称【分析】首先根据周期求ω=2，再根据函数的性质求φ,可求函数的解析式，然后根据三角函数的对称中心和对称轴的性质判断各项.【解答】解：由函数的最小正周期是π以及ω>0可得=π,所以ω=2；图像向右平移个单位后，得到函数g(x)=sin[2(x−)+φ]=sin(2x+φ−)，所得图像关于原点中心对称可知=kπ,k∈Z，又|φ|当x=时，y=sin(2×−)=−,故不关于点(，0)中心对称，不关于线x=轴对称，故A、C错；当x=时，y=sin(2×−)=1，故不于(，0)中心对称，则关于直线x=轴对称，故B错；D对；故选：D.【点评】本题考查三角函数的性质，属于基础题.→→885分）已知向量a、→→b为单位向量，→→→→且a+2b和a−2b相互垂直，又对任意λ∈R不等式|a−λ|≥|−|恒成立，若=+(u∈R)，则||的最小值为()→→→→→→【分析】根据已知由向量垂直可得a的模，再由不等式|a−λb|≥|a−b|恒成立，结合图象可得(a−b)⊥→→从而可得＜a，→b＞=60°,再由三点共线基本定理，结合三角形面积公式和余弦定理可解.→→【解答】解：因为a+2b和a−2b相互垂直，→→→→→→结合图象，OA=a，OB=b，OB1=λb，则|a−b|=|BA|，|a−λb|=|B1A|，→→→因为|a−λb|≥|a−b|恒成立，则(a−b)⊥b，→→所以向量2a所以向量2a、→C的终点A1、C、B1共线（起点重合故选：D.【点评】本题考查平面向量的线性运算与数量积，属于中档题.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）96分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列对△ABC的个数的判断正确【分析】根据给定条件，结合余弦定理、正弦定理逐项分析判断即得.对于C，由a=，b＝1，得b＜a，则B＜A=30°,SinB=有唯一角B的值，C正确；对于D，由a＝6，b＝4，得b＜a，则B＜A=60°,SinB=有唯一角B的值，D错误. 故选：BC.【点评】本题考查正余弦定理在三角形解的个数中的应用，属于中档题.（多选）106分）已知非零复数z1，z2，其共轭复数分别为Z1，Z2，则下列选项正确的是()【分析】设出复数z1，z2的代数形式，结合共轭复数、复数模的意义及复数乘法运算逐项判断得解.【解答】解：设复数Z1=x1+y1i，Z2=x2+y2i，x1，x2，y1，y2∈R，x+y≠0，x+y≠0，对于A，Z1+Z1=x1+y1i+x1−y1i=2x1∈R，故A正确；Z1⋅Z2=(x1+y1i)(x2−y2i)=x1x2+y故选：AB.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.→→→A．若a∗b=0，则a∥b→→C．设在△ABC中，AB=a，AC=b，则2S△ABC=a∗b→D．a∗(b+C)=a∗b+a∗C（C为任意非零向量）【分析】根据所给对定义及正弦函数的性质判断A、B、C，利用特殊值判断D.→→又a，b为非零向量，故sinθ=0，又θ∈[0，π]，→→所以θ=0或θ=π,即a∥b，故A正确；因为θ∈[0，π]，所以sinθ∈[0，1]，→→所以(a∗b)min=0，故B错误；→→对于C：在△ABC中，AB=a，AC=b，→→所以2S△ABC=a∗b，故C正确；→→→→对于D：设α为a与b+c的夹角，β为a与b的夹角，γ为a与c的夹角，→→→则a∗(b+c)=|a||b+c|sinα,→→→→则a∗(b+c)=故选：AC.→→→→a∗b+a∗c不成立，故D错误.【点评】本题考查平面向量的运算及正弦函数性质，属中档题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。125分）已知tanα=，则sin2α=.【分析】利用二倍角的正弦公式与正余弦的齐次式法即可得解.【解答】解：因为tanα=，故答案为：.3【点评】本题考查了二倍角的正弦公式与正余弦的齐次式法在三角函数求值中的应用，属于基础题.135分）若a＞0，b＞0且满足2a+b＝2，则+的最小值是4+22.【分析】由已知利用等式关系可得4＝4a+2b，代入到所求式子，结合基本不等式即可求解.【解答】解：因为a＞0，b＞0且满足2a+b＝2，当且仅当a=2b，即b=，a=时取等号.故答案为：4+22.【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题.145分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2﹣b2＝2c2cosC，若△ABC为锐角三角形，则的取值范围是【分析】根据题意，利用正弦定理将边的关系式化为角的关系式，结合三角恒等变换公式推导出sin2C=sin（A﹣B结合△ABC是锐角三角形算出C＝2B，然后利用正弦定理与正切函数性质求出的取值范围.【解答】解：由a2﹣b2＝2c2cosC，根据正弦定理得sin2A﹣sin2B＝2sin2CcosC，(sinCos−Cossin)2=4sinCosCossin=sin(A+B)sin(A−B)=sincsin(A−B).而sinC＞0，化简得sin2C＝sin（A﹣B结合△ABC是锐角三角形，可得2C＝A﹣B或2C+A﹣B=π.①当2C＝A﹣B时，2A﹣C＝A+B+C=π,则A＞与△ABC为锐角三角形矛盾；②当2C+A﹣B=π时，则2C+A﹣B＝A+B+C，解得C＝2B，结合，解得.故答案为：(2，).【点评】本题主要考查正弦定理、三角恒等变换公式、锐角三角形的性质、正切函数的图象与性质等知识，属于中档题.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（1）求点C到AD所在的直线的距离；（2）以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，求该几何体的体积.【分析】（1）作出辅助线，在直角三角形中利用锐角三角函数的定义求出点C到AD所在的直线的距离；（2）根据题意，该几何体可以看作以AE所在的直线为轴，旋转一周形成一个圆台AE，挖去一个圆锥DE的组合体，从而根据台体与锥体的体积公式算出答案.【解答】解1）如图所示，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，点C到AD所在的直线的距离为CE，在Rt△CDE中，sin=sin60°=所以CE=CD⋅sin60°=2×=3，即点C到AD所在的直线的距离为3.（2）以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，该几何体可以看成以AE所在的直线为轴，旋转一周形成圆台AE，挖去圆锥DE的组合体，所以它的体积为圆台AE的体积减去圆锥DE的体积，【点评】本题主要考查解三角形及其应用、圆台与圆锥的体积公式等知识，考查了计算能力、空间想象能力，属于中档题.1615分）如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，且AE=2EB，M是线段CE上一动点.（1）ME=mMA+nMB，m，n∈R，求m•n的值；（2）若AB=9，⋅=43，求(+2B)C的【分析】（1）由题意利用平面向量的线性运算可得从而可求解.从而可求解.→→→→→→→【解答】解1）因为ME=MA+AE=MA+2EB=MA+2(MB−ME)，所以.=().()=2+.+2→→→所以|AD|=4，则AD＝BC＝4，又BE＝3，→所以|CE|=5，根据二次函数的性质可知，当t=时，3t2﹣15t取得最小值—，【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于中档题.1715分）在△ABC中，D是线段BC上的一点（不含端点匕ADC=.（2）若∠CAD＝2∠BAD，求的取值范围.【分析】（1）由正弦定理求解三角形即可；（2）在两个三角形中分别用正弦定理得到BD，CD的表达式，作比值后化简，转化为三角函数的值域问题求解即可.【解答】解1）在△ACD中，D是线段BC上的一点（不含端点匕ADC=，AC.SinC=，由正弦定理得，所以AD=BDADsin−α).在三角形ACD中，由正弦定理得：CD=，因为α∈(0，)，所以tanα∈(0，3)，所以+tanα∈(，2)，所以的取值范围为：(，2).【点评】本题考查了正弦定理，三角函数的恒等变换，正切函数的性质，属于中档题.1817分）对于三个实数a，b，k，若（1+a21+b2）≥k|a﹣b||1﹣ab|成立，则称a，b具有“性质k”.（1）∀x∈R，判断x，0是否具有“性质2”？（2）∀y∈(，)，判断tany，0是否具有“性质4”？（3）若存在x0∈[，2π)及t0∈[，2]，使得sin2x0−2sinx0−t0−−m≤0成立，sinx0，1具有“性质2”，求实数m的取值范围.【分析】（1）判断不等式1+x2≥2|x|是否成立；（2）令t=tany∈(，1)，再判断不等式1+t2≥4|t|是否成立；（3）由sinx0，1具有“性质2”可得x0∈[，π]，由给定不等式可得m≥sin2x0−2sinx0−t0−,求得sin2x0﹣2sinx0的最小值，及t0+的最大值，即可求出m的范围.【解答】解1）对∀x∈R，1+x2＝1+|x|2≥2|x|，当且仅当|x|＝1时取等号，所以x，0具有“性质2”.（2）令t=tany∈(，1)，而1+t2﹣4|t|＝t2﹣4t+1t﹣2）2﹣3，函数f（tt﹣2）2﹣3在(，1)上单调递减，f(t)＜f()=(1−3)＜