2023-2024学年广东深圳科学高中高一下学期期中数学试题含答案

2023-2024深圳科学高中高一（下）期中数学试卷科目：高一数学考试时长：120分钟卷面总分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，若z(1-i)=2+4i，则zA.22B.10C.32D.25A.{x|x≤8}B.{x|-3≤x≤-2}C.{x|x≤3}D.{x|-8≤x≤-2}3．已知直线m，n和平面α,且m⊥α,则“n//α”是“n⊥m'”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4．函数f=lnx-的零点所在的区间是(),6．如图，两个相同的正四棱台密闭容器内各装有某种溶液，AB=12，A1B1=4，图1中液面高度恰好为棱台高度的一半，图2中液面高度为棱台高度的，若图1中溶液体积为456，则图2中溶液体积为()A.342B.351C.456D.6087．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=2x-1，则f(log212)=A.-B.-C.D.A.1B.C.3D.22二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知a＞b＞0＞c，则下列不等式成立的有()A.ac＞bcB.ac2＞bc2C.ac＞bcD.+＞2在上单调递增在上的最小值为－1C.f(x)在[0，π]上有2个零点D.把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于y轴对称11．如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDD1，内一个动点（包括边界），且B1F//平面A1BE，则下列说法正确的有() A.动点F轨迹的长度为2B.直线B1F与A1B不可能垂直C.当三棱锥B1-D1DF的体积最小时，直线B1F与A1B所成角的余弦值为D.当三棱锥B1-D1DF的体积最大时，其外接球的表面积为π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知i为虚数单位，z为z的共轭复数，若z=(1+i)(1-2i)2，则z的虚部为13．一个母线长为5的圆锥表面积为24π,则该圆锥的体积为14．已知函数f(x)={3+|(1x|+≥0，若方程5f2(x)-(2m+2)●f(x)数根，则实数m的取值范围为四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知函数sin2x-3cos2x-（1）求f(x)图象的对称轴和对称中心：（2）求f(x)在［0，π]上的单调递增区间.（1）若EF=mAB，求m，n（2）求EF和BD夹角的余弦值.已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2B+sinBsinC+sin2C-sin2A（1）求A：（2）若a=7，角A的平分线交BC于点D，ΔABC的周长为15，求AD的长.1817分）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，将ΔBCD沿BD示.（1）求证：平面ABC1上平面AC1D；（2）求点C1到平面ABD的距离d；（3）求二面角C1-BD-A的余弦值.1917分）对于函数y=f(x)，x∈D，若存在x0∈D，使得f(x0)=x0，则称x0是f(x)的一个不动点.已知函（1）证明f(x)的定义域为R；（2）若f(x)在R上仅有一个不动点，求实数a的取值范围；（3）若f(x)在［0，2］上有两个不动点，求实数a的取值范围.2023-2024深圳科学高中高一（下）期中数学试卷参考答案12345678BDABCBAA9ACD【详解】在R上的奇函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，则f(x)=−f(x−2)，于是f(x)=−f(x−2)=−[−f(x−4)]=f(x−4)，即函数f(x)的周期为4，而8<12<16，则3<log212<4，−1<log212−4<0，又当0≤x≤1时，f(x)=2x−1，AB=c,AC=b,BC=a，因为sinB=cosAsinC，由正弦定理可得b=ccosA，2=bccosA=9，即b=3.因为A+C=−τB，所以cosAsinC+sinAcosC=sin(A+C)=cosAsinC，即sinAcosC=0，因为A,B,C∈(0,τ)，所以sinA≠0，cosC=0，所以S△ABC=ab=6，解得a=4,b=3,c=5，如图，设△ABC内切圆与BC,AC,AB分别切于点D,E,F，由C=知S△ABC=S△AIB+S△BIC+S△CIA=解得r=1=–D中，E为棱DD1的中点，可得B1M//A1E，MN//CD1//A1B，“B1M丈平面A1BE，:B1M//平面A1BE，同理MN//平面A1BE，又B1M∩MN=M，且B1M,MN⊂平面B1MN，:平面B1MN//平面A1BE，又B1F//平面A1BE，B1∈平面B1MN，:B1F⊂平面B1MN，:F∈MN，即F的轨迹为线段MN，“MN=·,故选项A正确；对B，由B1M=B1N可知三角形B1MN为等腰三角形，当F为线段MN中点时，B1F丄MN，又MN//CD1//A1B，即A1B//D1C，:B1F丄A1B，故选项B不正确；，所以三棱锥B1−D1DF体积为B1C1.S△D1DF=S△D1DF，所以S△DDF最小时，体积最小，“F∈MN，可得F在N处时S△DDF最小，由MN//CD1//A1B知此时B1F与A1B所成角为∠B1NM，等腰三角形B1MN中，cos∠B1NM=对D，同理可得当F在M处时，三棱锥B1−D1DF的体积最大， =·5,所以F在底面B1DD1的射影为 直角三角形，所以F在底面B1DD1的射影为B1D中点，设为O1， 为4τR2=故选项D正确.,所以f(x)的图象如图所示：①当0≤t1≤1且1<t2<2时，2②当t1………………时，有2x−，…………8分要使f(x)单调递增，则需要−τ≤2x−τ≤τ，或3τ≤2x−τ≤解得0≤x≤，或≤x≤τ；……………………12分故函数f(x)在[0,τ]上的单调递增区间为和．……13分 2332224–B–→22,(3,(3……………… 222 即EF和BD夹角的余弦值为14 解1）原式由正弦定理可得b2+bc+c2，………2分由余弦定理可得cosA=，……4分（2）因为a=7，a+b+c=15，所以b+c=8．在△ABC中，由余弦定理可得：2−bc，所以bc=15．…………8因为AD为角A的平分线，所以∠BAD=∠CAD=，………………9分因为S△ABD+S△ADC=S△ABC，……………10分 所以AD.b.sinAD.c.sinb.c.sin，…………………13 即AD.(b+c)=bc，所以AD 证明1）由题意知AC1=23，AB=C1D=4，AD=BC1=2，则AC12+AD2=DC12，故A又AB丄AD，且AB∩AC1=A，AB,AC1⊂平面ABC1，故AD丄平面ABC1，……3分而AD⊂平面AC1D，故平面ABC1丄平面AC1D．……4分解2）由AC12+BC12=AB2可得AC1丄BC1，由（1）知AD丄平面ABC1，又VD−ABC1=VC1−ABD=d.S△ABD=所以d=．…8分连接EF，由AD丄平面ABC1，C1F⊂平面ABC1，故AD丄C1F，因为C1F丄AB，AB∩AD=A，AB,AD⊂平面ABD，所以C1F丄平面ABD，…10分 由（2）知C1F=d=3，因为BD⊂平面ABD，故C1F丄BD，又C1E丄BD，C1F∩C1E=C1，C1F,C1E⊂平面C1EF，所以BD丄平面C1EF，…12分又EF⊂平面C1EF，所以BD丄EF，又C1E丄BD，则∠C1EF为二面角C1−BD−A的平面角，…………13分又EF⊂平面ABD，故C1F丄EF，所以cos∠C1EF=．………14分=，………15分