2026年辽宁鞍山市高三二模高考数学模拟试卷（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页鞍山市普通高中2025-2026学年度高三第二次质量监测数学考试时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若，则复数（

）A． B． C． D．2．已知集合，则（

）A． B． C． D．3．下列各组数据中方差最大的一组是（

）A．2，2，2，2，2 B．1，1，2，3，3 C．0，1，2，3，4 D．0，0，2，4，44．已知抛物线的焦点为，点为抛物线准线上一点，连接交于点，若，则的值为（

）A． B． C．2 D．35．若，，则（

）A． B． C． D．6．为等差数列的前项和，若，且，则（

）A．12 B．15 C．16 D．187．已知，则下列结论不可能成立的是（

）A． B． C． D．8．已知为直线上动点，定点，为坐标原点，若，则有（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，则（

）A．是函数的一个极值点B．是函数的一个极值点C．直线是曲线在处的切线D．直线是曲线在处的切线10．如图，在正方体中，称各面正方形的对角线为面对角线，称为体对角线．设分别为的中点，则（

）A．存在面对角线与平面平行 B．存在体对角线与平面平行C．存在面对角线与平面垂直 D．存在体对角线与平面垂直11．已知是定义在上的函数，若，则（

）A．当函数均有零点时，也有零点B．当函数均为增函数时，也为增函数C．当函数均为偶函数时，也为偶函数D．当函数均为周期函数且有相同周期时，也为周期函数三、填空题：本大题共3小题，每小题5分；共15分．12．的展开式中的系数为________．13．将甲、乙、丙、丁、戊五名同学分到三个不同的公益活动小组，每组至少一人，至多两人，则甲乙恰好被分到同一小组的概率为________．14．已知函数，若存在，使得，则的最小值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．记的内角的对边分别为，若．(1)求的值；(2)求的最大值．16．如图，在三棱锥中，侧面底面，，.

(1)求证：；(2)已知，，，是线段上一点，当时，求二面角的余弦值.17．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率，且以短轴为直径的圆与直线相切．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，若直线的斜率都存在且不为0，将的斜率分别记为，求．18．在某次军事演习中，红军参谋部进行战前推演：蓝军拥有两个相同结构的军事基地，每个基地有个重要节点：红军拥有某种型号导弹，对上述每个重要节点单枚命中即可摧毁，且单枚突破防御并命中的概率为．红军的演习任务是发射枚该型号导弹对蓝军军事基地实施打击，完成对蓝军至少一个军事基地的彻底摧毁（即摧毁该基地内的全部重要节点）即为获胜．现有两种打击方案：方案一：选择某一军事基地内的个重要节点进行打击，对每个重要节点发射两枚导弹；方案二：对两个军事基地的各个重要节点进行打击，对每个重要节点发射一枚导弹．视各枚导弹突破防御并命中目标相互独立，请你帮助红军参谋部进行推演计算：(1)分别求出两种方案中，最终摧毁的重要节点数的期望，并比较期望大小；(2)比较两种方案下红军获胜的概率，判断哪种方案更优．19．已知函数．(1)证明：当时，；(2)设在上的零点从小到大构成有穷数列．（i）求数列的项数；（ii）求证：．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【分析】由复数运算法则可得答案.【详解】.故选：B2．C【详解】，解得，即，又，所以3．D【详解】因为，则各个组的平均数为，所以由方差的意义可得，，，，

.4．B【详解】过点作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义有，又，得，设准线与轴的交点为，则有，所以，又，故.5．A【分析】根据同角三角函数关系求，再根据结合两角和差公式运算求解.【详解】因为，，则，可得，所以.6．B【详解】由，得，即，即，所以，又，由等差数列的性质得，解得.7．C【分析】先对两个含的分式进行三角恒等变形，将上述等式转化为角度之间的关系，建立关于的方程，分别代入选项中的或的值，验证是否满足推导得出的角度关系.【详解】因，由题意可得，则，整理得：，即①.由可得，即，即②.对于A，将代入②，可得，对于①，当时，，满足此式，故A可能成立；对于B，将代入②，可得，对于①，当时，，满足此式，故B可能成立；对于C，若，由①可得，即，故C不能成立；对于D，若由①可得，即，故D可能成立.8．A【详解】由题意知，，所以，则因为为直线上动点，所以，.9．AC【分析】本题主要考查极值点的判断和曲线某点处切线方程的求解，通过导函数的符号判断函数的单调性，进而确定极值点；对于切线方程，由导数的几何意义可知，切线的斜率等于该点处的导函数值，再结合点的坐标，利用点斜式方程求出切线方程.【详解】由题意知，令，则或，当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递减，因此是函数的一个极值点，A正确；因为，所以不是函数的极值点，B错误；当时，，，所以切点为，斜率为，所以切线方程为，即，所以C正确，D错误.10．AD【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由空间关系的向量求法可得出结论.【详解】以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图：设正方体的棱长为2，则，所以，设平面的一个法向量为,所以，令，则，可得；对于A，由可得，因此，又平面，所以平面，所以A正确；对于B，，体对角线所在的向量为：，易知,因此不存在体对角线与平面平行，即B错误；对于C，面对角线所在的向量为：，，显然以上向量与法向量均不平行，所以不存在面对角线与平面垂直，即C错误；对于D，显然，所以平面，即D正确.11．BCD【分析】利用反例，可判断A；分类讨论可判断B；利用偶函数和周期函数的性质可判断CD.【详解】对于A，设，则的零点为，设，则的零点为.当时，，故，此时无零点；当时，，故，此时无零点，故A错误；对于B，若，因为为增函数，则有由，可知且，所以且，所以，所以为增函数，故B正确；对于C，若函数均为偶函数，则，则，故C正确；对于D，若函数均为周期函数且有相同周期时，则，所以，故D正确.12．【详解】展开式的通项是，当时，，则的系数为13．##【详解】由题可知分组后排列共有种方法，其中甲、乙两名同学去同一个公益活动小组有种方法，所以甲、乙两名同学去同一个公益活动小组的概率为.14．5【分析】根据正弦函数值域，判断等式成立的条件，进而根据函数最值，列出不等式，求出参数范围，求出结果即可.【详解】因为，又存在，使得，所以在上要有最大值与最小值，且，所以，所以，所以，又因为，所以，经分析，要使最小，需区间包含区间，即且时，解得，所以的最小值为.15．(1)(2)【分析】（1）先根据已知条件和余弦定理得，再利用正弦定理求出，最后把代入即可求出；（2）先利用余弦定理得，再结合均值不等式即可求出.【详解】（1）由余弦定理可得，整理得，由正弦定理得，，又，.（2）在中，由余弦定理得，，由均值不等式可得：，，，当且仅当时等号成立，故的最大值为.16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）借助线面垂直的判定定理与性质定理即可得；（2）建立适当空间直角坐标系，借助空间向量计算即可得.【详解】（1）取中点，连接、，由，，故、，又、平面，，则平面，又平面，故；（2）由侧面底面，且，平面，平面平面，故平面，又平面，故，即有、、两两垂直，故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，由，，，，，则，，即、、、、，、、，令，则，由，故，解得，故，令平面的法向量为，则有，令，则有，由轴平面，故平面的法向量可为，则，故二面角的余弦值为.

17．(1)(2)4【分析】（1）根据题意，结合即可求出；（2）分情况讨论，当直线斜率存在时，设直线的方程为，，联立得到，再求得，代入化简即可.【详解】（1）由题意得，又以短轴为直径的圆与直线相切，原点到直线的距离为，又，，故椭圆的方程为.（2）由（1）可知，，当过点的直线斜率不存在时，直线与椭圆只有一个交点，不合题意，舍去；当过点的直线斜率存在时，设直线的方程为，设，联立，消去整理得，，解得，且，而直线的斜率为，直线的斜率为，，又，，.18．(1)方案一期望为，方案二期望为，且；(2)方案一获胜概率更大，方案一更优.【分析】（1）利用二项分布的期望公式分别计算两个方案的期望，再比较大小.（2）方案一：获胜条件等价于被打击的基地被彻底摧毁，计算该基地所有节点均被摧毁的概率即为获胜概率；方案二：分别计算两个基地被彻底摧毁的概率，利用概率加法公式计算至少一个基地被摧毁的概率，进而比较两个方案获胜概率的大小.【详解】（1）设各导弹命中相互独立，单个节点只要至少被命中一次就会被摧毁：方案一：仅打击1个基地的个节点，每个节点发射2枚导弹.单个节点未被摧毁的概率为，因此单个节点被摧毁的概率为.设方案一摧毁节点数为，则，则.方案二：打击两个基地共个节点，每个节点发射1枚导弹.单个节点被摧毁的概率为，设方案二摧毁节点数为，则，.因为，所以.（2）获胜条件为至少一个基地所有节点全被摧毁，分别计算获胜概率：方案一：仅打击一个基地，获胜当且仅当该基地所有个节点全被摧毁，因此获胜概率：方案二：设分别为第一个、第二个基地全被摧毁，根据题意可得，，由，可知只需比较和的大小，用归纳法证明：对，有，当时，，不等式成立；假设时不等式成立，即，则时：，作差得：，不等式也成立.因此对所有，，即，方案一获胜概率更高，方案一更优.19．(1)证明见解析(2)（i）2026（ii）证明见解析【分析】（1）根据，整理得，构造函数；要证明时，，等价于证明，先对求导，分析在时候的正负性，判断的单调性；（2）（i）要找在上的零点情况，等价于求在的解的情况；分析在每个区间上解的情况，先对求导，判断在每个区间的单调性，再结合区间断点的函数值符号，确定各个区间内解的个数，最后统计上的总零点数。（ii）根据（i）中在各个区间的单调性，估算出各个区间的零点的取值范围，，得，利用放缩思想推导求和的下限。【详解】（1）令，则当时，，，，则在单调递增，此时当时，，即，则，即当时，.（2）（i）由，得，即等价于，当时，，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递