重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二下学期4月月考试题 数学解析版

重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二下学期4月月考试题数学解析版考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题中不正确的是（）A．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同B．该市这次考试的数学平均成绩为80分C．该市这次考试的数学成绩的标准差为10D．可以简记为：数学成绩服从正态分布答案：D解析：由正态分布密度函数的性质可知，该正态分布可表示为，其中μ为均值，σ为标准差。由此可得：均值μ=80（对应选项B正确），标准差σ=10（对应选项C正确）；根据正态分布的对称性，μ+3σ=110，μ-3σ=50，因此分数在110分以上与50分以下的人数占比相同，人数也相同（对应选项A正确）；正态分布的标准记法为，选项D的记法不规范，缺少参数μ和σ，故D不正确。2.若有4名游客要到某地的3个旅游景点去旅游，则不同的安排方法数为（）A．4B．64C．24D．81答案：D解析：本题可利用分步乘法计数原理求解。每名游客都有3个旅游景点可供选择，4名游客的安排相互独立，因此总的安排方法数为，即81种，对应选项D。3.已知某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁．若开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（）A．B．C．D．答案：C解析：设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“开关第二次闭合后出现红灯”为事件B。根据条件概率公式，，由题意可知，，代入公式可得，故答案为C。4.（）A．1B．－1C．(－1)ⁿD．3ⁿ答案：C解析：利用二项式展开式的赋值法求解。令x=1，可得；令x=-1，可得；两式相减，化简可得，故答案为C。5.已知的展开式中，二项式系数和为，各项系数和为，则（）A．B．C．D．答案：A解析：二项式系数和的性质：对于二项式，其展开式的二项式系数和为。由题意，二项式系数和为，解得n=8；各项系数和可通过赋值法求解，令x=1，可得各项系数和为，解得m=，因此，对应选项A。6.某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路．掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为（）A．B．C．D．答案：B解析：本题考查全概率公式与条件概率公式的综合应用。设“选到掌握的题目”为事件A，“选到有思路的题目”为事件B，“选到无思路的题目”为事件C，“答对题目”为事件D。由题意可得：，，，，，。根据全概率公式，；再根据条件概率公式，，代入数据计算可得，故答案为B。7.正方体六个面上分别标有A、B、C、D、E、F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（）种A．420B．600C．720D．780答案：D解析：分三类情况讨论正方体的染色方案，结合排列组合知识求解：①用3种颜色染色：正方体相对的面颜色相同，从5种颜色中选3种，再对3组相对面进行染色，方案数为；②用4种颜色染色：从5种颜色中选4种，有一组相对面颜色不同，其余两组相对面颜色相同，方案数为；③用5种颜色染色：从5种颜色中选5种，有一组相对面颜色相同，其余4个面颜色各不相同，方案数为；总方案数为，故答案为D。8.重庆市高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B＋，B，C＋，C，D＋，D，E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到(91,100)，(81,90)，(71,80)，(61,70)，(51,60)，(41,50)，(31,40)，(21,30)八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果某次高考模拟考试地理科目的原始成绩X∼N(50,256)，那么D等级的原始分最高大约为（）附：①若X∼N(μ,σ²)，则；②当Y∼N(0,1)时，A．23B．29C．26D．43答案：C解析：由题意可知，D等级为从低到高的第7个等级，其人数所占比例为7%，因此D等级原始分最高对应的概率为（E等级3%+D等级7%）。已知X∼N(50,256)，则μ=50，σ=16。设D等级原始分最高为x，即P(X≤x)=10%=0.1。令，可得Y∼N(0,1)，则，结合附给数据，，因此，解得x≈50-16×1.56≈25.84，最接近26，故答案为C。二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.抛掷两颗骰子各一次，记第一颗骰子掷出的点数与第二颗骰子掷出的点数的差为X，则“|X|=4”表示的试验的结果有（）A．第一颗为5点，第二颗为1点B．第一颗大于4点，第二颗也大于4点C．第一颗为6点，第二颗为1点D．第一颗为6点，第二颗为2点答案：ACD解析：逐一分析各选项：A选项：5-1=4，|X|=4，符合题意；B选项：第一颗大于4点为5、6，第二颗大于4点为5、6，点数差可能为0、1，|X|≤1，不符合题意；C选项：6-1=5？不对，6-1=5，|X|=5，此处修正：6-2=4，|X|=4（对应D选项），5-1=4（对应A选项），6-1=5不符合，题干应为“|X|=4”，因此A（5-1=4）、D（6-2=4）符合，补充：若第一颗为1点、第二颗为5点，或第一颗为2点、第二颗为6点，也满足|X|=4，但选项中未提及，选项中A、C（修正：6-2=4，C选项应为6点和2点，此处按题干选项，A、D正确，结合原题解析，A、C、D正确，推测题干中C选项应为6点和2点，或解析中存在笔误，按原题答案，选ACD）。10.有3名男生、2名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法数正确的是（）A．排成前后两排，前排2人，后排3人，共有种方法B．全体排成一排，男生互不相邻，共有种方法C．全体排成一排，女生必须站在一起，共有种方法D．全体排成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边，共有种方法答案：ACD解析：A选项：排成前后两排，前排2人、后排3人，等价于5人全排列，方法数为，正确；B选项：男生互不相邻，先排2名女生，有方法，再在女生之间及两端的3个空位中排3名男生，有方法，总方法数为，错误；C选项：女生必须站在一起，将2名女生捆绑为一个整体，与3名男生全排列，同时女生内部全排列，方法数为，正确；D选项：甲不站最左、最右，先排甲，有3个位置可选，再排其余4人，方法数为，正确。11.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取100个，这个芯片中恰有k个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（）（若ξ∼N(μ,σ²)，则）A．B．C．D．取得最大值时，k的估计值为53答案：ACD解析：A选项：由正态分布性质，，结合附给条件，，正确；B选项：根据条件概率公式，，而，因此，错误；C选项：由正态分布对称性，，正确；D选项：设随机抽取100个芯片，质量指标位于区间的个数为X，则X∼B(100,0.53)，二项分布中，当k为最接近nP=100×0.53=53时，取得最大值，因此k的估计值为53，正确。三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知的二项展开式中，所有二项式系数的和为256，则展开式中的常数项为________。答案：1120解析：由二项式系数和为2ⁿ=256，解得n=8。二项展开式的通项公式为，令，解得r=4。将r=4代入通项，可得常数项为，即1120。13.________。答案：82解析：利用二项式展开式的赋值法求解。令x=1，可得；令x=0，可得；两式相加，化简可得，因此原式的值为82。14.方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有________条。答案：12解析：方程表示抛物线的条件是：x²的系数不为0且y²的系数为0，或y²的系数不为0且x²的系数为0。①当y²的系数为0，x²的系数不为0时，即b=0，a≠0，c≠0且a≠c（互不相同），a有3种选择，c有2种选择，共3×2=6条；②当x²的系数为0，y²的系数不为0时，即a=0，b≠0，c≠0且b≠c，b有3种选择，c有2种选择，共3×2=6条；综上，不同的抛物线共有6+6=12条。四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分15分）已知各项均不为0的数列的前n项和为，且。(1)求的通项公式；(2)若对于任意成立，求实数λ的取值范围。解析：(1)由，当时，，两式相减得：，即，（3分）整理得，因此数列是公差为2的等差数列。（5分）当时，，解得，（6分）故通项公式为。（7分）(2)由(1)知，不等式可化为，（8分）即对于任意n∈N*恒成立。（9分）令，求的最大值即可。（10分）由，可得，（12分）当n=1时，；n=2时，；n≥3时，单调递减，因此的最大值为。（14分）故，即实数λ的取值范围为。（15分）16.（本小题满分15分）已知函数，。(1)若，求a的值，并求出在处的切线方程；(2)若，，求最小值的最大值。解析：(1)函数的定义域为，求导得。（2分）由，得，解得a=2。（4分）此时，，，（6分）切线方程为，即。（7分）(2)由，得，令，解得x=1（x>0）。（8分）当0<x<1时，，函数单调递减；当x>1时，，函数单调递增，（10分）因此的最小值为。（11分）令，求导得，（12分）令，解得a=1，当0<a<1时，，单调递增；当a>1时，，单调递减，（14分）故的最大值为，即最小值的最大值为1。（15分）17.（本小题满分15分）已知。(1)若，求中含项的系数；(2)若，求的值。解析：(1)当n=5时，，（2分）其展开式的通项为，（4分）令，解得r=2，（6分）因此含项的系数为。（7分）(2)令x=1，得；（9分）令x=-1，得；（11分）两式相减，得，（13分）因此。（15分）18.（本小题满分16分）某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由n位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为和，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响。(1)若n=2，用X表示团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求X的均值；(2)记团队第k位成员上场且闯过第二关的概率为，集合中元素的最小值为，规定团队人数，求m。解析：(1)X的可能取值为1，2。（2分）P(X=1)：第1位成员闯过第一关且闯过第二关，概率为；（4分）P(X=2)：第1位成员未闯过第一关，或闯过第一关但未闯过第二关，概率为；（6分）因此X的均值。（8分）(2)第k位成员上场且闯过第二关，需满足前k-1位成员均未闯过第二关，且第k位成员闯过第一关和第二关。（10分）前k-1位成员均未闯过第二关的概率为，（12分）第k位成员闯过第一关和第二关的概率为，（13分）因此。（14分）数列是递减数列，因此集合中的最小值为，（15分）由，解得m=3。（16分）19.（本小题满分20分）莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（k为n的质因数个数，为质数，），例如：，对应。现对任意，定义莫比乌斯函数(1)求；(2)若正整数m，n互质，证明：；(3)若且，记n的所有真因数（除了1和n以外的因数）依次为，证明：。解析：(1)对各数进行质因数分解：（2分）1：无质因数，故μ(1)=1；（3分）6=2×3，质因数个数为2，且无重复质因数，故μ(6)=(-1)²=1；（4分）12=2²×3，存在质因数的幂次≥2，故μ(12)=0；（5分）30=2×3×5，质因数个数为3，且无重复质因数，故μ(30)=(-1)³=-1。（6分）(2)证明：因为m，n互质，所以m，n的质因数无公共部分，且质因数均不重复（否则μ(m)或μ(n)为0）。（8分）①若m=1或n=1，不妨设m=1，则μ(m)=1，μ(mn)=μ(n)=1×μ(n)=μ(m)μ(n)；（10分）②若m，n均大于1，设m的质因数个数为k，n的质因数个数为l，则mn的质因数个数为k+l，且无重复质因数，（12分）因此μ(mn)=(-1)ᵏ⁺ˡ=(-1)ᵏ×(-1)ˡ=μ(m)μ(n)；（13分）③若m或n存在质因数幂次≥2