高三二轮高效复习讲义数学专题突破数列微点突破6数列的递推关系

微点突破6数列的递推关系▶对应学生用书P48【考情分析】数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列求解，体现了化归思想在数列中的应用.重点1利用an与Sn的关系(1)(2025·广东肇庆二模)已知数列an的前n项和为Sn，满足Sn＝n2＋3n＋2，则下列判断正确的是()A.数列anB.a5＝11C.数列SnD.数列1S解析：选D.由Sn＝n2＋3n＋2可知，当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋3(n－1)＋2，因为an＝S1，n=1，故数列an是从第二项开始的等差数列，故A错误将n＝5代入an的通项公式可得a5＝2×5＋2＝12，故B错误由Sn＝n2＋3n＋2知，数列Sn为递增数列，Sn不存在最大值，故C错误由1Sn＝1n2+3n+2知，数列1S(2)(2025·湖南长沙二模)已知数列an的前n项和为Sn，对任意的n∈N，都有3Sn＝an＋64.若Tn是数列an的前n项积，则Tn的最大值为(A.29 B.214C.215 D.216解析：选C.当n＝1时，a1＝32，当n≥2时，3Sn＝an＋64，3Sn－1＝an－1＋64，两式相减得3an＝an－an－1，即2an＝－an－1，又a1＝32≠0，故anan所以数列an是以32为首项，－12通项公式为an＝32·－1因为Tn是数列an的前n项积所以Tn＝a1a2a3…an＝32n·－120+1+2＋…＋(n－当n＝5或n＝6时，-n2+11n2有最大值15，所以当n＝5时，T[规律方法]1.已知Sn求an的3个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)即可求出当n≥2时an的表达式；(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并.2.Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化.(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解.对点练1.(1)(2025·湖南常德一模)已知数列an的前n项和为Sn，a1＝1，且an＋1＝a1＋a2＋…＋ann∈N*，则A.a2＝2 B.a4＝8C.S2＝3 D.S5＝16解析：选D.由an＋1＝a1＋a2＋…＋an＝Sn，当n＝1时，a2＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an＋1－an，所以an＋1＝2an，所以数列an从第二项开始是以a2＝1为首项，2为公比的等比数列所以an＝1，n=1，所以a2＝1，a4＝4，S2＝2，S5＝16.(2)(2025·山东淄博一模)已知数列an的前n项和为Sn(Sn≠0)，满足an＋Sn－1Sn＝0(n≥2)，a1＝1，则S100＝解析：由an＋Sn－1Sn＝0n≥2可得Sn－Sn－1＋Sn－1Sn＝0又Sn≠0，则1Sn-1－1Sn＋1＝0，即1Sn－当n＝1时，S1＝a1＝1，所以数列1Sn是以1为首项，以1则1Sn＝1＋(n－1)×1＝n，则1S100＝100，所以S答案：1重点2构造辅助数列(1)(多选)已知数列an，下列结论正确的是()A.若a1＝1，an＝an－1＋3n－2(n∈N，且n≥2)，则an＝nB.若a1＝1，an＝n-1nan－1，n≥2，n∈N，则aC.若a1＝2，且an+1＝2anan+2，D.若a1＝2，an+1＝3an＋2n－1，n∈N，则an＝3n－2n－1解析：选ABD.A项，当n≥2时，an＝an－1＋3n－2，即an－an－1＝3n－2，而a1＝1，所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝n(1+3n－2)2＝3n2-n2，a1＝1B项，因为an＝n-1nan－1，n≥2，n∈N，则an＝anan－1·an-1an-2·…·a3a2·a2a1·a1＝1×12×23×…×n-2C项，由an+1＝2anan+2，可得1an+1＝a又a1＝2，所以数列1an是以12为首项，12为公差的等差数列，所以1an＝12＋12(n－1)，即1an＝n2D项，由a1＝2，an+1＝3an＋2n－1，n∈N，可得an+1＋2n＝3an＋2n－1，所以an＋2n－1是以3为首项、3为公比的等比数列，所以an＋2n－1＝3n，则an＝3n－2(2)(2025·福建漳州模拟)已知数列an，bn满足：an－bn+1＋3bn＋n＝0，bn－an+1＋3an＋2n－1＝0，若a1＝2，b1＝1，则bn＝解析：由题意可得an＋3bn＋n＝bn+1，bn＋3an＋2n－1＝an+1，则an+1＋bn+1＋n＋1＝4an＋bn＋n，an+1－bn+1＋n又a1＋b1＋1＝4，a1－b1＋1＝2，则数列an＋bn＋n是以4数列an－bn＋n是以2所以an＋bn＋n＝4n①，an－bn＋n＝2n②，①②联立得2bn＝4n－2n，所以bn＝22n－1－2n－1.答案：22n－1－2n－1[规律方法](1)形如an+1－an＝f(n)的数列，利用累加法求an.(2)形如an+1an＝f(n)的数列，(3)形如an+1＝qanpan+q(p，q(4)若数列{an}满足an+1＝pan＋q(p≠0，1；q≠0)，构造an+1＋λ＝p(an＋λ).(5)若数列{an}满足an+1＝pan＋f(n)(p≠0，1)，构造an+1＋g(n＋1)＝p[an＋g(n)].对点练2.(1)(多选)已知数列an，下列结论正确的有(A.若a1＝2，an+1＝an＋n＋1，则a20＝211B.若Sn＝3n＋12，则数列aC.若a1＝1，an+1＝3an＋2，则a4＝53D.若a1＝1，an+1＝2an2+ann解析：选AC.由an+1＝an＋n＋1得an＋1－an＝n＋1，∴a20＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a20－a19)＝2＋2＋3＋4＋…＋20＝2＋19×(2+20)2＝211由Sn＝3n＋12得a1＝3＋12＝72，a2＝S2－S1＝9+12－3+12＝6，a3＝S3－S2＝27+12－9+12＝18，∵a22≠由an+1＝3an＋2得an+1＋1＝3an+1，且a1＋1＝2，∴数列an+1是以2为首项，以3为公比的等比数列，∴a4＋1＝2×33，∴a4＝53，由an+1＝2an2+an得1an+1＝2+an2a∴数列1an是以1a1＝1为首项，∴1a5＝1＋5－1×12＝3，∴a5＝1(2)在数列an中，a1＝4，an+1＝3an－2，则an＝解析：因为an+1＝3an－2n∈N*，所以an+1－1＝3·an－1所以数列an－1是一个等比数列，所以an－1＝4－1·3n－1＝3n，所以an＝答案：3n＋1(3)(2025·安徽安庆二模)数列an满足a1＝1，an+1＝an2＋2an，则使得an+1＞2025解析：因为an+1＝an2＋2an，所以an+1＋1＝an+12，则ln又a1＋1＝2，所以数列{lnan+1}为以ln2为首项，2所以lnan+1＝2n－1ln2，所以an＝22n－1－1，则使得an计算得n最小正整数值为6.答案：6[课下巩固检测练(二十二)]数列的递推关系(单选题、填空题每题5分，多选题每题6分)1.已知数列an满足a1＝0，a2＝1，若数列an+1－an是公比为3的等比数列，则a2A.32023+1C.32023-解析：选D.因数列an+1－an是公比为3的等比数列，且a1＝0，则数列an+1－an的首项为a2－a1＝1，an＋1－an＝an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝30＋31＋32＋…＋3n－2＝1-3n-11-3＝12(3n－1－1)2.已知数列an的项满足an＋1＝nn+2an，而a1＝1，则an＝(A.2n+12 C.12n-1解析：选B.因为an+1＝nn+2an，所以an则a2a1＝13，a3a2＝24，a4a3＝3累乘可得a2a1×a3a2×a4a3×a5a4×…×an所以ana1＝1×2n×(n+1)，又经检验n＝1时，an＝2n(所以an＝2n3.已知数列an中，a1＝1且an+1＝3anan+3n∈NA.18 B.1C.16 D.解析：选D.由an+1＝3anan+3得1an又1a1＝1，∴数列1an是以1为首项∴1an＝1＋13(n－1)＝n+23，∴an＝3∴a13＝315＝14.已知数列an满足a1＝4，且an+1＝2an－3，则a888＝(A.2887＋3 B.2888＋1C.2887－3 D.2888－1解析：选A.由an+1＝2an－3，得an+1－3＝2an又a1＝4，所以an－3是以a1－3＝1为首项，公比为所以an－3＝2n－1，即an＝2n－1＋3，所以a888＝2887＋3.5.(多选)已知数列an满足a1＝1，2an+1＝an－3anan+1n∈N*，则下列结论正确的是A.1aB.anC.an的通项公式为an＝D.1an的前n项和Tn＝2n+2－3n解析：选BD.因为2an+1＝an－3anan+1，所以1an+1＝2an＋3，所以1an+1＋3＝2(1an＋3)，且1a1＋3＝4≠0，所以{1an＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列，即1an＋3＝4×2因为1an＝2n+1－3单调递增，所以an＝12n+1-3单调递减，即1an的前n项和Tn＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n＋1－3)＝(22＋23＋…＋2n＋1)－3n＝22×1-2n1-2－3n＝2n+2－36.(多选)投掷一枚质地均匀的硬币，规定抛出正面得2分，抛出反面得1分，记投掷若干次后，得n分的概率为Pn，下列说法正确的是()A.P1＝1B.P2＝1C.当n≥3时，Pn＝12Pn－1＋12PnD.当n≥10时，Pn＝2－2Pn+1解析：选ACD.第一次投掷出现反面的概率P1＝12，A正确得2分的事件，可以是投掷2次都出现反面，也可以是投掷1次出现正面，所以概率P2＝12×12＋12＝34当n≥3时，得n分的事件，可以在得n－1分后投掷出现反面，也可以是在得n－2分后投掷出现正面，因此Pn＝12Pn－1＋12Pn－2，C由选项C知，当n∈N时，Pn+2＝12Pn+1＋12Pn，则Pn+2＋12Pn+1＝Pn+1＋12Pn，因此数列{Pn+1＋12Pn}是常数列，Pn+1＋12Pn＝P2＋12P1＝34＋12×12＝1，即Pn＝2－2Pn+1，所以当n≥10时，Pn＝27.已知数列{an}前n项和为Sn，满足6Sn＝(3n＋2)an＋2，则数列{an}的通项公式为.解析：因为6Sn＝(3n＋2)an＋2，当n＝1时，6S1＝6a1＝5a1＋2，所以a1＝2，当n≥2时，6Sn－1＝(3n－1)an－1＋2，所以6Sn－6Sn－1＝6an＝(3n＋2)an－(3n－1)an－1，所以anan-1＝3n-13n-4，an累乘得anan－1·an-1an-2·…·a3所以an＝3n－1(n≥2)，当n＝1时a1＝2也成立，所以an＝3n－1.答案：an＝3n－18.在数列an中，已知a1＝2，且an＋1＝4an－3n＋1n∈N*解析：令an+1－A(n＋1)－B＝4an则an+1＝4an－3An＋A－3B，由条件得－3A＝－3，A－3B=1，解得A=1，B故数列an－n是首项为a1－1＝1，公比为从而an－n＝4n－1，故an＝4n－1＋n.答案：an＝4n－1＋n9.记数列an的前n项和为Sn，若a1＝2，2an+1－3an＝2n，则a82+解析：由2an+1－3an＝2n，得an+12n-1＝34×an2n-2＋又a12-1－4＝0，则an2n-2＝4，则an＝2n，a