四川省南充市嘉陵第一中学2025-2026学年高二下学期第一次学情调研数学试卷

嘉陵一中高二第一次学情调研数学试卷一、单选题（每题5分）1.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用抛物线的标准方程可得焦点在轴正半轴上，从而可求得准线方程.【详解】由抛物线，可得抛物线的焦点在轴正半轴上，且，所以，所以抛物线的准线方程为.故选：D.2.圆的半径为（）A.1 B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】把圆的方程化为标准方程，可求得圆的半径.【详解】将圆的一般方程转换为标准方程，得，故圆的半径为2.故选：B.3.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则实数b的值为（）A B. C.2 D.18【答案】C【解析】【分析】先求出渐近线的方程，再由直线方程与一条渐近线垂直结合直线方程、渐近线方程的结构特征明确垂直相关的渐近线，再由两直线垂直的表示方法即可求解.【详解】双曲线的渐近线方程为，直线即与双曲线的一条渐近线垂直，则直线与渐近线垂直，所以.4.“”是直线与直线平行的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先由两直线平行求出参数a，再由充分不必要条件的定义即可得解.【详解】若直线与直线平行，当时，两直线为和直线，平行，符合；当时，两直线为和直线，则，综上，直线与直线平行的充要条件是.所以“”是直线与直线平行的充分不必要条件.故选：A5.高一某班参加“红五月校园合唱比赛”，10位评委的打分如下：，则（）A.该组数据的平均数为7，众数为B.该组数据的第60百分位数为6C.评判该班合唱水平的高低可以使用这组数据的平均数、中位数，也可以使用这组数据的众数D.如果再增加一位评委给该班也打7分，则该班得分的方差变小【答案】D【解析】【分析】首先将数据从小到大排列，再根据平均数，众数，中位数，方差定义计算可得.【详解】选项A,这组数据从小到大排列为，故平均数为，众数为和，中位数为，故A错误；选项B，，则第百分位数为，故B错误；选项C：因为众数有两个，故不能用众数评判该班合唱水平的高低，故C错误；选项D，方差为，如果再增加一位评委给该班也打7分，则平均分不变也为7，此时的方差为，故D正确.6.一个口袋中装有大小形状相同的个红球和个白球，现从中不放回地依次取出两个小球，记事件“第一次取出红球”，事件“第二次取出红球”，事件“两次取出颜色相同的小球”，事件“两次取出颜色不同的小球”，则下列说法正确的是（）A.事件与事件互斥 B.事件与事件相互独立C. D.【答案】C【解析】【分析】根据独立事件，互斥事件的定义进行判断，运用古典概型的概率计算即可.【详解】设红球为，白球为，不放回取两次，所以可能的样本点为共个，对于选项A，事件包含的样本点为，事件包含的样本点为，包含的样本点为，两者可同时发生，不互斥，故A错误；对于选项B，，事件包含的样本点为共个，，表示第一次取红球且两次不同色有，所以.因为，所以不独立，故B错误；对于选项C，事件的样本点为，，的样本点为，，则，故C正确；对于选项D，表示两次不同色且第二次取红球的概率，满足的样本点为，所以，，则，故D错误.故选：C7.与圆及圆都内切的动圆的圆心在（）A.椭圆上 B.双曲线的一支上 C.抛物线上 D.圆上【答案】A【解析】【分析】根据两圆方程得出两圆的圆心坐标和半径，判断出两圆的位置关系，再利用与两圆都内切的位置关系得出圆心距离所满足的等量关系，结合圆锥曲线的定义即可得出答案.【详解】设所求圆的半径为，圆心为，圆：的圆心，半径，圆化为标准方程得，则圆心，半径，因为，所以两圆内含，因为该动圆与两圆都内切，易知，由题意可得，两式相加得，所以圆心在椭圆上.故选：A.8.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据直线l的方程得到直线l恒过定点，根据曲线C的方程曲线C表示半圆，然后结合图形求k的范围即可.【详解】直线l恒过定点，曲线C的方程可整理为，所以曲线C表示以为圆心，半径为2的半圆，图象如下所示：，为两种临界情况，由题意得，则，令圆心到直线l的距离，解得，则，所以当时，直线l与曲线C有两个不同的交点.故选：D.二、多选题（每题6分）9.已知两椭圆和，则（）A.两椭圆有相同的焦点 B.两椭圆的离心率相等C.两椭圆有4个公共点 D.两椭圆有相同的对称轴和对称中心【答案】BD【解析】【分析】化为标准方程，求出焦点，离心率，公共点依次分析选项即可【详解】设椭圆，则；设椭圆，则．对于A，椭圆的焦点分别在x，y轴上．故A不正确；对于B，的离心率的离心率．故B正确；对于C，联立，解得，所以与有2个公共点．故C不正确；对于D，两椭圆都关于x，y轴对称，关于原点中心对称，即它们有相同的对称轴和对称中心，故D正确.故选：BD10.关于空间向量，下列说法正确的是（）A.若向量和向量都是单位向量，则B.若向量与向量的夹角为钝角，则C.若四点共面，对空间中任意一点，有，则D.若，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为【答案】BCD【解析】【分析】根据单位向量的定义判断A，根据数量积的定义判断B，根据空间共面定理的推论判断C，根据投影向量的定义判断D.【详解】对于A，向量和向量都是单位向量，所以模相等，但是方向不一定相同，因此与不一定相等，故A错误；对于B，若、的夹角为钝角，显然向量和向量都不是零向量，则为负数，因此，故B正确；对于C，由四点共面，且，所以，解得，故C正确；对于D，因为，，所以，，所以向量在向量方向上的投影向量为，故D正确．故选：BCD．11.在平面直角坐标系中，已知，点满足的斜率之积为，点的运动轨迹记为.下列结论正确的（

）A.轨迹的方程（）B.存在点使得C.点，则的最小值为D.斜率为的直线与轨迹交于，两点，点为的中点，则直线的斜率为【答案】AD【解析】【分析】先设动点坐标，根据条件斜率之积为列方程可判断A；根据圆的直径所对圆周角为判断B；由椭圆的定义表示出，再利用三点共线取出最值可判断C；设，则由题意可得，两式相减化简结合斜率公式可求判断D.【详解】对于A，由已知设点的坐标为，由题意知，化简得点的轨迹方程为，故A正确；对于B，由椭圆方程知，，，，若，则点在以线段为直径圆上，以线段为直径的圆的方程为的圆在椭圆外，所以椭圆上不存在满足，B错误；对于C，由设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义为，所以，所以，当且仅当为的延长线与椭圆的交点时，等号成立.故C错误.对于D，设，因为点为的中点，所以设，因为在椭圆上，所以，两式相减得，，即，所以，所以，则直线的斜率为，故D正确.故选：AD.三、填空题（每题5分）12.过，两点的直线的倾斜角为________.【答案】【解析】【分析】利用直线倾斜角与斜率的关系即可求得结果.【详解】设该直线的倾斜角为，易知，由题意知，即；可得.故答案为：13.已知向量，,则___________．【答案】【解析】【分析】由向量共线的坐标表示求解【详解】因为，，所以，，因为，所以，解得.故答案为：.14.已知椭圆T：（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，离心率为，过椭圆T的右焦点且斜率不为零的一条直线交椭圆T于M，N两点，若两直线和的斜率分别为，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】设直线，，直线的斜率为，联立椭圆得，进而可得，，，，再代入计算最值即可．【详解】设直线，，联立椭圆方程，可得，，设直线的斜率为，则，又，所以，又椭圆离心率，所以，故，所以，由二次函数性质易知最小值为，当且仅当时取到．故答案为：．四、解答题15.2023年中国田协召开了2023路跑工作会议，会议对《2022年中国田径协会路跑管理文件汇编》进行了修订.新版在年龄组别上调整为8个：34岁以下组、3539岁组、4044岁组、4549岁组、5054岁组、5559岁组、6064岁组、65岁以上组.现抽取了1000名年龄在3564岁的参赛人员，得到各年龄段人数的频率分布直方图如下：（1）求图中的值，并估计这1000人年龄的中位数；（2）用分层抽样的方法从年龄在内的人数中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这两人中至少一人的年龄在中的概率.【答案】（1），中位数为46.5（2）【解析】【分析】（1）由概率之和为1计算即可得，借助中位数的性质计算即可得中位数；（2）由分层抽样可确定两组的具体人数，再计算概率即可得.【小问1详解】由题可得，∴，∵的频率为，的频率为，∴中位数在之间，设中位数为，则，∴，即中位数为46.5.【小问2详解】∵的频率为，的频率为，∴这两组的频率之比为，∴抽取的人数为：（人），记为，，，抽取的人数为：（人），记为，，则5人中抽取2人的基本事件包含：、，共10种，其中至少1人在的基本事件包含：，共有7种∴这两人中至少1人的年龄在中的概率为.16.已知等差数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，证明：．【答案】（1）；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）利用基本量计算即可；（2）利用裂项相消法求和得到即可.【小问1详解】由题意得，解得，所以；【小问2详解】，所以，因为，所以，所以.17.已知圆C关于y轴对称且经过点和．（1）求圆C的标准方程；（2）过点的直线l与圆C交于A，B两点；若，求直线l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由题意，设圆的标准方程为，再将点的坐标代入求解；（2）利用直线与圆的弦长公式求解.【小问1详解】由圆C关于y轴对称知：圆心C在y轴上，故设圆心；∴设圆的标准方程为，则解得：故圆C的标准方程为；【小问2详解】∵∴圆心C到直线l的距离为；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时，圆心C到直线l的距离为，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即则圆心C到直线l的距离，解得此时直线l的方程为，即；综上所述：直线l的方程为或．18.在如图所示的多面体中，底面是边长为2的正方形，平面，，且，为的中点，为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明；（2）建立恰当的空间直角坐标系，根据线面角的向量求法求解；（3）根据点到平面距离的向量求法求解.【小问1详解】取棱的中点，连接.因为为的中点，所以∥，且.因为，且，所以∥.所以四边形平行四边形，所以∥.因为平面，平面所以平面；【小问2详解】因为底面是边长为2的正方形，平面，所以如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.由题可知，.则.所以.设平面的法向量为，则.令，则，所以平面的一个法向量为.设直线与平面所成的角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.【小问3详解】由（2）得.设平面的法向量为，则.令，则，所以平面的一个法向量为.所以点到平面的距离为.19.已知椭圆，抛物线：，点是与的一个交点，过点的直线与分别交于点B，M（B，M不同于点）．（1）若点的横坐标为1，求的方程；（2）若过的右焦点，坐标原点关于的对称点为，求四边形面积取得最大值时的的方程；（3）若存在不过原点的使得，求的最大值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）设的方程；（2）设与椭圆的方程联立的表达式，利用基本不等式得到最大值时成立条件得到的方程；（3）点在线段中的位置在与轴不垂直时，与椭圆方程联立点M的坐标p的表达式的表达式的最大值．【小问1详解】设，因为点在