与对话高三数学（文）一轮复习课时跟踪训练第十章概率课时跟踪训练56

课时跟踪训练(五十六)[基础巩固]一、选择题1．如图，用随机模拟的方法估计正方形ABCD内牛的图形的面积，已知正方形的边长为3，为保证试验的准确性，共进行了二十次试验．若二十次试验共向正方形ABCD中随机撒入3000颗豆子，其中有1200颗豆子落在牛的图形中，那么牛的图形的面积约为()A．0.4B．1.2C．3.4D．3.6[解析]豆子落在牛的图形中的概率为eq\f(1200,3000)＝0.4，所以牛的图形的面积约为3×3×0.4＝3.6，故选D.[答案]D2．利用计算机在区间(0,4)内产生随机数a，则不等式log2(2a－1)<0成立的概率是()A.eq\f(7,8)B.eqB.\f(3,4)C.eqC.\f(1,4)D.eqD.\f(1,8)[解析]由log2(2a－1)<0，可得0<2a－1<1，即eq\f(1,2)<a<1.由几何概型的概率计算公式，可得所求概率P＝eq\f(1－\f(1,2),4－0)＝eq\f(1,8)，故选D.[答案]D3．(2017·吉林省长春市高三监测)如图，扇形AOB的圆心角为120°，点P在弦AB上，且AP＝eq\f(1,3)AB，延长OP交弧AB于点C，现向扇形AOB内投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为()A.eq\f(1,4)B.eqB.\f(1,3)C.eqC.\f(2,7)D.eqD.\f(3,8)[解析]设OA＝3，则AB＝3eq\r(3)，AP＝eq\r(3)，由余弦定理可求得OP＝eq\r(3)，∠AOP＝30°，所以扇形AOC的面积为eq\f(3π,4)，扇形AOB的面积为3π，从而所求概率为eq\f(\f(3π,4),3π)＝eq\f(1,4).[答案]A4．(2017·云南省高三11校调研考试)在正方形ABCD内随机生成n个点，其中在正方形ABCD内切圆内的点共有m个，利用随机模拟的方法，估计圆周率π的近似值为()A.eq\f(m,n)B.eqB.\f(2m,n)C.eqC.\f(4m,n)D.eqD.\f(6m,n)[解析]依题意，设正方形的边长为2a，则该正方形的内切圆半径为a，于是有eq\f(πa2,4a2)≈eq\f(m,n)，即π≈eq\f(4m,n)，即可估计圆周率π的近似值为eq\f(4m,n)，选C.[答案]C5．在边长为2的正方形ABCD内任取一点M，则满足∠AMB>90°的概率为()A.eq\f(π,8)B.eqB.\f(π,4)C.eqC.\f(1,2)D.eqD.\f(1,4)[解析]如图所示，以AB为直径作圆，则圆在正方形ABCD内的区域为半圆(阴影部分)，其面积S＝eq\f(1,2)×π×12＝eq\f(1,2)π，且满足条件∠AMB>90°的点M在半圆内，故满足∠AMB>90°的概率P＝eq\f(S,S四边形ABCD)＝eq\f(\f(1,2)π,22)＝eq\f(π,8)，故选A.[答案]A6．(2017·四川省成都市高三二诊)两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们在5：30～6：00到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，若15分钟后还未见面便离开．则这两位同学能够见面的概率是()A.eq\f(11,36)B.eqB.\f(1,4)C.eqC.\f(1,2)D.eqD.\f(3,4)[解析]如图所示，以5：30作为原点O，建立平面直角坐标系，设两位同学到达的时刻分别为x，y，设事件A表示两位同学能够见面，所构成的区域为A＝{(x，y)||x－y|≤15}，即图中阴影部分，根据几何概型概率计算公式得P(A)＝eq\f(30×30－2×\f(1,2)×15×15,30×30)＝eq\f(3,4).[答案]D二、填空题7．如图所示，在边长为a的正方形内有不规则图形Ω，向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m，n，则图形Ω面积的估计值为________．[解析]由题意知，不规则图形Ω的面积∶正方形的面积＝m∶n，所以不规则图形Ω的面积＝eq\f(m,n)×正方形的面积＝eq\f(m,n)×a2＝eq\f(ma2,n).[答案]eq\f(ma2,n)8．在(0,8)上随机取一个数m，则事件“直线x＋y－1＝0与圆(x－3)2＋(y－4)2＝m2没有公共点”发生的概率为__________．[解析]由直线与圆没有公共点，求出m的取值范围，利用区间长度比，即可得结果．因为m∈(0,8)，直线x＋y－1＝0与圆(x－3)2＋(y－4)2＝m2没有公共点，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<m<8,\f(|3＋4－1|,\r(2))>m，))解得0<m<3eq\r(2)，所以所求概率P＝eq\f(3\r(2),8).[答案]eq\f(3\r(2),8)9．在底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，在该四棱锥内部或表面任取一点O，则三棱锥O－PAB的体积不大于eq\f(1,12)的概率为__________．[解析]先求四棱锥P－ABCD的体积，再求出事件发生的区域的体积，利用体积比，即可得结果．设三棱锥O－PAB的高为h，依题意知S△PAB＝eq\f(1,2)PA×AB＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，又V三棱锥O－PAB≤eq\f(1,12)，所以h≤eq\f(1,2).因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥CD，因为底面ABCD是正方形，所以AB⊥AD，又PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB.因为CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.如图所示，设AD，BC，PC，PD的中点分别为E，F，G，H，当点O在多面体ABPEFGH内部或表面上(不包括平面PAB)时，V三棱锥O－PAB≤eq\f(1,12).在多面体CDEFGH中，连接GD，GE，则V多面体CDEFGH＝V四棱锥G－CDEF＋V三棱锥G－DEH＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1×\f(1,2)))×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(1,2)×\f(1,2)))×eq\f(1,2)＝eq\f(5,48)，因为V四棱锥P－ABCD＝eq\f(1,3)×(1×1)×1＝eq\f(1,3)，所以V多面体ABPEFGH＝eq\f(1,3)－eq\f(5,48)＝eq\f(11,48)，则三棱锥O－PAB的体积不大于eq\f(1,12)的概率P＝eq\f(\f(11,48),\f(1,3))＝eq\f(11,16).[答案]eq\f(11,16)三、解答题10．(2018·山东烟台调研改编)从曲线x3＋y2＝|x|＋|y|所围成的封闭图形内任取一点，求该点在单位圆中的概率．[解]如图，当x≥0，y≥0时，x2＋y2＝|x|＋|y|化为x2＋y2＝x＋y，表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))为圆心，eq\f(\r(2),2)为半径的圆在第一象限的部分；当x≥0，y≤0时，x2＋y2＝|x|＋|y|化为x2＋y2＝x－y，表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))为圆心，eq\f(\r(2),2)为半径的圆在第四象限的部分；当x≤0，y≥0时，x2＋y2＝|x|＋|y|化为x2＋y2＝－x＋y，表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))为圆心，eq\f(\r(2),2)为半径的圆在第二象限的部分；当x≤0，y≤0时，x2＋y2＝|x|＋|y|化为x2＋y2＝－x－y，表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,2)))为圆心，eq\f(\r(2),2)为半径的圆在第三象限的部分．∴曲线x2＋y2＝|x|＋|y|所围成的封闭图形的面积为(eq\r(2))2＋2π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＝2＋π.∴该点在单位圆中的概率为P＝eq\f(π,2＋π).[能力提升]11．已知P是△ABC所在平面内一点，eq\o(PB,\s\up16(→))＋eq\o(PC,\s\up16(→))＋2eq\o(PA,\s\up16(→))＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是()A.eq\f(1,4)B.eqB.\f(1,3)C.eqC.\f(1,2)D.eqD.\f(2,3)[解析]设BC中点为M，∴eq\o(PB,\s\up16(→))＋eq\o(PC,\s\up16(→))＝2eq\o(PM,\s\up16(→))∵eq\o(PB,\s\up16(→))＋eq\o(PC,\s\up16(→))＋2eq\o(PA,\s\up16(→))＝0，∴eq\o(PM,\s\up16(→))＝－eq\o(PA,\s\up16(→))，∴P为AM中点eq\f(PM,AM)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(S△PBC,S△ABC)＝eq\f(1,2)，∴一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC的概率是eq\f(1,2)，故选C.[答案]C12．(2017·河北唐山期末)已知函数f(x)＝2x－eq\r(x)－14，若在区间(0,16)内随机取一个数x0，则f(x0)>0的概率为()A.eq\f(1,4)B.eqB.\f(1,3)C.eqC.\f(2,3)D.eqD.\f(3,4)[解析]在同一坐标系中作出函数y＝2x与y＝eq\r(x)＋14的图象(图略)，则由图可知，两个函数的图象交点为(4,16)，则在(0,16)内且f(x0)>0时，x0∈(4,16)，∴f(x0)>0的概率为P＝eq\f(12,16)＝eq\f(3,4).[答案]D13．如图，正四棱锥S－ABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为__________．[解析]设球的半径为R，则所求的概率为P＝eq\f(V锥,V球)＝eq\f(\f(1,3)×\f(1,2)×2R×2R·R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(1,2π).[答案]eq\f(1,2π)14．如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是________．[解析]依题意知，有信号的区域面积为eq\f(π,4)×2＝eq\f(π,2)，矩形面积为2，故无信号的概率P＝eq\f(2－\f(π,2),2)＝1－eq\f(π,4).[答案]1－eq\f(π,4)14．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M.(1)求四棱锥M－ABCD的体积小于eq\f(1,6)的概率；(2)求M落在三棱柱ABC－A1B1C1内的概率．[解](1)正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M－ABCD的高为h，令eq\f(1,3)×S四边形ABCD×h＝eq\f(1,6)，∵S四边形ABCD＝1，∴h＝eq\f(1,2).若体积小于eq\f(1,6)，则h<eq\f(1,2)，即点M在正方体的下半部分，∴P＝eq\f(\f(1,2)V正方体,V正方体)＝eq\f(1,2).(2)∵V三棱柱＝eq\f(1,2)×12×1＝eq\f(1,2)，∴所求概率P1＝eq\f(V三棱柱,V正方体)＝eq\f(1,2).15．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是eq\f(1,2).(1)求n的值．(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.①记“2≤a＋b≤3”为事件A，求事件A的概率；②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．[解](1)依题意共有小球n＋2个，标号为2的小球n个，从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球概率为eq\f(n,n＋2)＝eq\f(1,2)，得n＝2.(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球，(a，b)所有可能的结果为(0,1)，(0,2)，(0,2)，(1,2)，(1,2)，(2,2)，(1,0)，(2,0)，(2,0)，(2,1)，(2,1)，(2,2)，共有12种，而满足2≤a＋b≤3的结果有8种，故P(A)＝eq\f(8,12)＝eq\f(2,3).②由①可知，(a－b)2≤4，故x2＋y2>4，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，由几何概型得概率为P＝eq