重庆市第二外国语学校高三上学期一诊模拟数学试卷

高级数学一诊模拟试题85分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】通过求解不等式得到集合，再根据交集的定义进行运算即可得解.【详解】要使函数有意义，须满足，即，即，解得，所以因为，所以，即.故选：C2.复数，则z的虚部为（）A.3B.1C.D.i【答案】A【解析】【分析】根据复数乘法法则，结合复数虚部的定义进行求解即可.【详解】，虚部为3.故选：A3.设为等比数列的前项和，若，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由等比数列的通项公式与前项的基本量运算求解．【详解】由已知，，所以．第1页/共17页

故选：A．4.“”的一个必要不充分条件是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由集合的包含关系直接判断即可.【详解】，因为，所以是的必要不充分条件.故选：B.5.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理..将筒车抽象为2mO到水面的距离为1m2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：sP距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2h与t的函数关系式为（）A.，B.，第2页/共17页

C.，D.，【答案】A【解析】【分析】首先先求以为终边的角为，再根据三角函数的定义求点的纵坐标，以及根据图形表示.【详解】，所以对应的角是，由在内转过的角为，可知以为始边，以为终边的角为，则点的纵坐标为，所以点距水面的高度表示为的函数是.故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以在内转过的角为，再求以为终边的角为.6.如图，一个质点在随机外力作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动4次，则质点位于原点左侧的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】计算质点移动4次可能的结果，质点质点位于原点左侧的可能结果，根据古典概型的概率公式即可求解.【详解】由题意可得：质点移动次可能的结果有种，质点位于原点左侧可能结果为：向左移动4次；向左移动3次，向右移动1次；第3页/共17页

向左移动4次，共有1种移动情况，为：左左左左；向左移动3次，向右移动1次，共有4种移动情况，为：左左左右，左左右左，左右左左，右左左左；所以质点位于原点左侧共5种移动情况，由古典概率公式可得：质点位于原点左侧的概率为，故选：A.7.已知向量，，满足，，，则的最大值为（）A.B.C.1D.2【答案】D【解析】【分析】由题意可设、、，又，，则可计算出的范围，从而可得解.【详解】，则可设、、，由，则，又，则，则，故，则，即的最大值为.故选：D.8.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据的数字特征分别构造函数、第4页/共17页

，利用导数可求得单调性，由和可确定的大小关系.【详解】令，则，在上单调递增，，即，，又，，即；令，则，令，则，在上单调递减，，在上单调递减，，即，；综上所述：.故选：C.二、多选题：本题共3小题，共分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列说法正确的是（）A.圆的半径为B.椭圆的长轴长为2C.双曲线的实轴长为2D.抛物线的焦点坐标为【答案】AD【解析】【分析】根据曲线的方程求出半径，长轴长，实轴长，焦点坐标，可判断选项.【详解】圆化为标准型为，所以半径为，A正确；第5页/共17页

椭圆的长轴长为，B不正确；双曲线的实轴长为，C不正确；抛物线，，其焦点坐标为，D正确.故选：AD10.下列说法正确的是（）A.某人掷骰子1次，“掷出5”与“掷出6”是互斥事件B.甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为3，则抽取的丙个体数为9C.数据，，，，，，，的分位数是8D.数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差为【答案】ABD【解析】【分析】利用互斥事件的定义判断A；利用分层抽样列式求解判断B；求出分位数判断C；利用方差的性质计算判断D.【详解】对于A，由“掷出5”与“掷出6”不可能同时发生，得它们为互斥事件，A正确；对于B，设抽取的丙个体数为，由，解得，B正确；对于C，数据,,,,,,,从小到大排列为：,,,,,,,，由，得该组数据的分位数是，C错误；对于D，数据,,的方差为，则数据,,的方差为，D正确.故选：ABD中，，是正方形内部(含边界)）第6页/共17页

A.存在唯一点，使得B.存在唯一点，使得直线与平面所成的角取到最小值C.若，则三棱锥外接球的表面积为D.若异面直线与所成的角为，则动点的轨迹是抛物线的一部分【答案】BCD【解析】A位置，判断选项B；为中点时，求三棱锥外接球的半径，计算外接球的表面积，判断选项C；利用向量法解决异面直线所成角的问题，求出动点的轨迹，判断选项D.【详解】对于A选项：正方形中，有，正方体中有平面，平面，，又，平面，平面，只要平面，就有，在线段上，有无数个点，A选项错误；对于B选项：平面，直线与平面所成的角为，，取到最小值时，最大，此时点与点重合，B选项正确；对于C选项：若，则为中点，为等腰直角三角形，外接圆半径为，三棱锥外接球的球心到平面的距离为，则外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为，C选项正确；第7页/共17页

对于DD为原点，的方向为轴，轴，系，则，，，设，则有，，有，是正方形内部(含边界)的一个动点，所以的轨迹是抛物线的一部分，D选项正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.若扇形的圆心角为60°，半径为2，则扇形的面积为_________．【答案】【解析】【分析】根据扇形面积公式即可求出.【详解】扇形的圆心角为60°，转化为弧度为，该扇形的面积为.故答案为：.13.已知角的终边与单位圆交于第二象限的点，则________.【答案】【解析】【分析】利用单位圆求出的坐标，利用正切函数的定义可求答案.【详解】因为角的终边与单位圆交于第二象限的点，所以，解得，因为在第二象限，所以，第8页/共17页

所以.故答案为：14.已知函数，，对于任意a的最大值为________.【答案】【解析】【分析】变形条件转化为，构造函数，判断单调性，转化为恒成立，求解最小值可得答案.【详解】等价于，即，变形为.设，，所以上单调递增，当时，，由可得，即对任意都成立，设，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的最小值为，所以，即a的最大值为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，分别为内角的对边，且.（1）求角大小；（2）设函数，，时，求.【答案】（1）2）．【解析】第9页/共17页

1）由已知条件及余弦定理，可得，结合，即可求解角的大小；（2）利用三角函数恒等变换的应用，化简函数的解析式为，由，解得角的值，利用正弦定理即可求解的值．1）在中，因为，由余弦定理可得∵∴（2），，∴，∵，即：，∴16.ABCD为矩形，平面ABCD，，E为PD的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1）连接，交于点，连接，只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证；第10页/共17页

（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量法求解二面角的平面角的余弦值即可.【小问1详解】如图，连接，交于点，连接.因为底面是矩形，所以是的中点，又E为PD的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.【小问2详解】因为平面ABCD，平面，所以，又底面为矩形，所以，AB，AP两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，，则，，，，，，.设平面的法向量为，则，令得.第11页/共17页

易知知是平面的一个法向量，所以，由图可知，二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.17.21世纪某次机器人展览会上，已知某公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：红色外观蓝色外观内饰外观棕色内饰1010米色内饰23（1AB为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件A和事件B是否独立.（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：假设1同色.假设2：按抽奖的可能性大小，概率越小奖项越高假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖800元，二等奖500元，三等奖300元请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望.【答案】（1），，不独立（2）分布列见解析，446【解析】1）根据古典概型概率公式和事件的独立性定义即可得出；（2）分别求出三种结果对应的概率，比较大小，确定对应的概率，求出分布列，利用期望公式进行计算即第12页/共17页

可.【小问1详解】，，，，所以A，B不独立；【小问2详解】记外观与内饰均同色为事件，外观与内饰都异色为事件，仅外观或仅内饰同色为事件，则，，，，∴一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都异色，二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均同色，三等奖为两个汽车模型仅外观或仅内饰同色．X的分布列：X800500300P．18.已知点在椭圆l过椭圆的右顶点A，与椭圆交于另一点D，与y轴交于点E.（1）求椭圆C的方程；（2）若P为弦AD的中点，是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由；第13页/共17页

（3）若，交椭圆C于点M，求的取值范围.【答案】（1）（2）存在定点（3）【解析】1）根据点的坐标和焦点可求方程；（2）根据垂直关系得出斜率关系，利用恒成立可求定点坐标；（3）把所求式进行转化，利用换元法，根据函数单调性可求答案.【小问1详解】由题意，解得，所以椭圆C的方程为.【小问2详解】存在定点符合题意；由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程，联立，整理可得，设，则，则，所以，由P为弦AD的中点，则，所以直线OP的斜率；直线l的方程，令，则，假设存在定点，满足，直线EQ的斜率，第14页/共17页

所以，整理得，由恒成立，则，解得，故定点的坐标为.【小问3详解】由，则直线OM的方程，设，由，解得，由平行线的性质可得，，令，则，因为对勾函数在上单调递增，所以的取值范围是.19.已知函数，，（1）判断在上零点的个数并证明（2）当，求证：【答案】（1）1个，证明见解析；（2）证明见解析.第15页/共17页

【解析】1）首先得到的解析式，并通过导数研究它在上的单调性，判断值的正负，由零点存在性定理即可得到在上零点的个数；（2在上最小值及在上的最大值，即可得证.【小问1详解】因为，所以，则.令，得或，由，得或；故当在上变化时，，的变化情况如下表：1+