核心素养视域下相似多边形习题探究课导学案-九年级数学北师大版

核心素养视域下相似多边形习题探究课导学案——九年级数学北师大版

一、课程宏观设计与素养导向锚定

（一）【非常重要】【课魂定位】学科大概念统摄下的单元教学进阶

本课处于北师大版九年级上册第四章图形的相似第三节，是在学生经历了成比例线段、平行线分线段成比例等预备知识后的第一个综合性认知节点。从知识结构看，本节是相似三角形的上位概念，是“全等”通向“相似”的思维跃迁关口；从核心素养看，这是从“定性描述形状”转向“定量刻画相似”的关键枢纽。依据大概念视角下的单元教学理念，本课并非孤立习题训练，而是以“相似多边形”为承重墙，帮助学生建立“对应关系决定图形关系”的几何认知框架，为后续相似三角形的判定与性质、位似变换乃至高中矩阵变换埋下逻辑锚点-5。

（二）【热点】【课标依据】学段目标与内容要求

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》第四学段（7-9年级）要求：了解相似多边形和相似比；理解相似多边形的对应角相等、对应边成比例；能运用相似多边形的性质解决简单的实际问题。本设计将课标行为动词“了解”“理解”“运用”分层拆解为可观测、可测量的课堂表现性目标，坚决杜绝“假大空”的目标表述。

（三）【一般】【教材版本与学情定位】

学段：初中数学九年级第一学期

教材版本：北京师范大学出版社（2014版）九年级上册第四章第三节

学情基线：学生已掌握全等三角形的概念与性质，具备度量、计算比例的基本技能，且经历了从“数”到“式”的比例运算训练。但真实学情中存在三大顽固障碍：一是思维惯性干扰，将全等图形的“对应边相等”负迁移至相似图形；二是生活直觉误导，认为所有长方形、所有菱形必然形状相同；三是逻辑严密性缺失，在判定相似时只关注边或只关注角，顾此失彼。

（四）【重要】【教学法顶层设计】“一核双链三阶”习题课范式

本课突破传统习题讲评“对答案、满堂灌”的低效形态，采用“一核双链三阶”教学模式：以“发展几何直观与推理能力”为内核；以“问题串进阶链”和“变式群辨析链”为双链；通过原型辨识、变式联通、综合创生三阶递进，实现从“解题”到“解决问题”再到“发现问题”的素养跃升。

二、【非常重要】【高频考点】教学内容结构化重组与核心要点全罗列

依据应列尽罗原则，本课涉及的全部知识点、技能点、思想方法完整陈列如下，并按教学价值与考频标注等级。

（一）概念本体系统

1.【非常重要】【热点】相似多边形的定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。【核心考点：判定的双重标准，缺一不可】

2.【重要】相似比的界定：相似多边形对应边的比叫做相似比。【高频易错：相似比与叙述顺序有关，具有方向性，AB/CD=k与CD/AB=1/k】

3.【一般】表示法规范：对应顶点字母写在对应位置，符号“∽”类比全等符号“≌”。

（二）性质演绎系统

1.【非常重要】【高频考点】性质定理：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。【双向应用：既可正向求边角，也可逆向判定相似】

2.【重要】性质推论：相似多边形的周长比等于相似比。【源于对应边成比例的代数推导】

3.【难点】【拓展】相似多边形的对应对角线比、对应截线段比均等于相似比。

（三）判定辨析系统

1.【非常重要】【易错难点】正多边形相似判定：任意两个正n边形一定相似。【根本原因：角强制相等，边强制成比例】

2.【非常重要】【必考陷阱】矩形不一定相似、菱形不一定相似。【根源：矩形角条件满足但边比例未必相同；菱形边比例满足但角未必相等】

3.【一般】正三角形（等边三角形）、正方形作为特殊情形纳入正多边形体系。

（四）综合应用系统

1.【热点】比例式方程思想：利用相似多边形对应边成比例列方程求未知边或未知角。

2.【难点】镶嵌边框相似问题：同心放缩图形（如黑板边框、相框）的相似性判断与参数计算。

3.【重要】折叠与相似综合：折纸、对折矩形中的自相似现象及其比例求值。

（五）数学思想浸润系统

1.类比思想：全等→相似的类比迁移。

2.特殊与一般：从任意多边形到正多边形的归纳推理。

3.数形结合：用代数比例运算刻画几何形状关系。

4.模型观念：将生活中的“放大缩小”“边框问题”抽象为相似多边形模型。

三、【占绝大部分篇幅】教学实施过程深度设计

（一）第一阶：原型唤醒·定义再认与本质剥离

1.【环节意图】打破“直觉等于正确”的认知陋习，建立严谨的双重判定意识。

2.【具体实施流程】

师：（呈现一组对比图形——一个矩形和一个正方形，二者面积相近）同学们，这是我们小学就认识的矩形和正方形。现在，请凭直觉快速判断：它们形状相同吗？

生：（齐答）不同！

师：很好，直觉很准。那么请看第二组——（多媒体动态演示：一个细长矩形，横向拉宽，逐渐变成一个接近正方形的矩形）这些矩形之间，形状相同吗？

生：（出现分歧）有的说相同，有的说不相同。

师：【重要】【认知冲突触发】看来“形状相同”这个日常词汇，在数学中需要严格定义。这正是相似多边形要解决的第一个问题。

（教师板书课题，学生齐读学习目标）

师：请大家打开课本P86，独立思考并完成【探究任务A】——阅读相似多边形定义，圈画出定义中的两个核心条件，并用“△”标出你认为最重要的词语。

（生阅读、圈画，教师巡视，随机捕捉学生圈画的关键词）

师：谁来展示你的圈画成果？

生1：我圈的是“各角分别相等”和“各边成比例”，还有“两个”“多边形”。

师：【非常重要】非常精准。为什么“两个”也要圈？

生1：因为只有两个图形才能比较，一个多边形不能说相似。

师：太棒了。这就是数学语言的严谨性。现在，我们来做一个【即时辨析1】——请大家看大屏幕上的两组图形，第一组：两个等边三角形，边长分别是3和5；第二组：两个菱形，边长分别是2和4，其中一个菱形是正方形，另一个是锐角60°的菱形。请以手写板或口答形式判断它们是否相似，并说明理由。

生2：第一组相似，因为等边三角形所有角都是60°，对应角相等，边长比是3:5，所有对应边比例都是3:5，所以相似。

生3：第二组不相似。虽然边长成比例2:4=1:2，但是正方形四个角90°，另一个菱形两个角60°、两个角120°，对应角不相等。

师：非常好。两位同学分别从“正例”和“反例”阐释了定义的两个条件。这里，我们必须清晰界定：【高频考点】【难点】相似多边形的判定，必须同时满足“角相等”和“边成比例”，二者是“且”的关系，不是“或”的关系。

3.【要点罗列】

（1）对应角相等——决定“形似”。

（2）对应边成比例——决定“度似”。

（3）二者缺一不可——判定黄金法则。

（4）常见反例储备：所有矩形？不一定。所有菱形？不一定。所有等腰梯形？不一定。

（二）第二阶：变式联通·相似比的深度解构与陷阱扫雷

1.【环节意图】将静态的定义转化为动态的比例运算，建立相似比的“方向感”和“可计算性”。

2.【具体实施流程】

师：现在，我们进入核心计算区。请看【任务B】——（多媒体呈现）五边形ABCDE∽五边形FGHIJ，对应边AB对应FG。已知AB=4cm，FG=6cm。求：（1）五边形ABCDE与五边形FGHIJ的相似比。（2）五边形FGHIJ与五边形ABCDE的相似比。（3）若BC=5cm，求GH的长度。

（生独立计算，两名学生板演）

生4：（板演）相似比k1=AB/FG=4/6=2/3；k2=FG/AB=6/4=3/2；因为相似比是2/3，所以BC/GH=2/3，5/GH=2/3，GH=7.5cm。

师：大家对照一下，有没有不同意见？

生5：老师，第三问我的算式是GH/BC=3/2，得数也是7.5cm。

师：【非常重要】非常好！这里暴露了相似比最大的陷阱——顺序性。请大家标记：相似多边形对应边的比叫做相似比，这个“对应边的比”，前项后项谁是谁？严格对应顶点顺序！因此，两个相似多边形的相似比互为倒数。这是【高频考点】填空题的必杀坑。

师：我们趁热打铁，进入【陷阱雷区1】——

（多媒体出示）判断题：

[1]两个相似多边形的相似比一定大于1。（生齐：错！）

[2]若五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，且AB=2A1B1，则相似比为2。（生出现争议）

师：说“对”的同学，你的理由是什么？

生6：AB=2A1B1，所以AB:A1B1=2:1，相似比2。

师：说“错”的同学，反驳他。

生7：他没有说清楚哪个多边形在前哪个在后！如果问题是“五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1的相似比”，那就是2；如果问题是“五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE的相似比”，那就是1/2。题目没指明顺序，所以这句话是错的。

师：太精彩了！这就是数学的严谨性。请大家在教材P87相似比概念旁批注四个字——“顺序定比”。

3.【要点罗列】

（1）【非常重要】【高频考点】相似比k=前多边形对应边/后多边形对应边。

（2）【重要】k＞1表示前多边形大于后多边形；k＜1表示前多边形小于后多边形；k=1表示全等（相似的特例）。

（3）【热点】利用比例方程求未知边：设未知数，列比例式，交叉相乘求解。

（4）【难点】相似比的平方关系（面积比）在本节虽未正式进入，但学优生可渗透，为九年级下册第7章奠定锚点。

（三）第三阶：综合领航·经典模型“黑板边框”的三重突破

1.【环节意图】以教材P87“做一做”为原型，将其发展为集判断、计算、设计于一体的微项目学习任务，落实“用数学解决实际问题”的课标要求。

2.【非常重要】【高频考点】经典模型重现

师：同学们，生活中我们经常见到相框、画框、黑板边框。请看屏幕——（多媒体呈现）学校有一块长方形黑板，长3米，宽1.5米。美术组的同学计划在黑板的四周镶上一条等宽的木质边框，边框宽7.5厘米。边框的内边缘矩形（黑板本身）和外边缘矩形（黑板+边框）是否相似？

（师生活动：学生先直觉猜想。现场调查：认为相似的约占60%，认为不相似的约占40%。）

师：现在，请大家拿出草稿纸，以数学小组为单位（4人一组），完成【项目任务C】——验证猜想并解释原因。

（生分组计算、讨论。教师巡回指导，捕捉典型资源。）

组1代表发言：我们组通过计算发现不相似。因为黑板长宽比是3:1.5=2:1。外边框的长是3+0.075×2=3.15米，宽是1.5+0.075×2=1.65米，长宽比是3.15:1.65=21:11≈1.909，不等于2。对应边不成比例，所以不相似。

师：逻辑严密，单位换算精准！其他组有补充吗？

组2代表发言：我们组除了计算，还发现一个规律——只有当边框宽度与黑板边长满足特定比例时，才会相似。我们设边框宽为d，黑板长a宽b，若内外矩形相似，则(a+2d):a=(b+2d):b，交叉相乘化简得ad=bd，所以a=b。也就是说，只有当黑板是正方形时，等宽边框才能得到相似矩形。

（全班自发鼓掌）

师：【非常重要】【难点攻克】组2完成了从特殊计算到一般规律的数学抽象！这是质的飞跃。他们发现了：对于长方形，等宽边框几乎总是破坏相似性，除非原图形是正方形。这就解释了为什么我们常见的画框，边框宽度通常并不是处处相等，而是上宽下窄或左右不等——为了视觉上的“顺眼”，数学家早就计算好了。

师：现在，我们把问题升级为【项目任务C+】——如果黑板仍为长3米、宽1.5米，纵向边框（左右两侧）保持7.5厘米宽，那么横向边框（上下两侧）宽多少厘米时，内外边缘矩形相似？

（生独立列方程，组内交流解法。）

组3代表板演：设横向边框宽x厘米。统一单位：黑板长300cm，宽150cm。外矩形长=300+2x，宽=150+15=165cm（注意纵向边框7.5cm即左右各7.5，故宽增加15cm）。由相似得：(300+2x):300=165:150。化简得(300+2x)/300=1.1，300+2x=330，2x=30，x=15。

师：15？这里出现了两个关键数据。纵向边框宽7.5，横向边框宽15。它们是什么关系？

生齐：横向是纵向的2倍！

师：为什么恰好是2倍？

生8：因为黑板的长是宽的2倍。为了保证长宽比例相同，长的增加值必须是宽的增加值的2倍，而增加值由边框宽度贡献，所以横向边框宽必须是纵向边框宽的2倍。

师：【重要】【模型升华】这就是相似比在边框问题中的黄金结论：同心放缩的矩形相似，要求两个方向的放缩增量与原边长成正比。更一般地，对于相似多边形，对应位置的“放缩量”也必须保持与相似比一致的比例。

3.【要点罗列】

（1）【非常重要】【高频考点】同心矩形边框相似判断模型。

（2）【重要】解题步骤三连环：单位统一→求边长比→比较是否相等。

（3）【难点】逆向设计问题：已知一边增量，求另一边增量保相似——列比例方程。

（4）【热点】生活数学批判思维：眼见不一定为实，直觉需要计算验证。

（四）第四阶：拓展开阔·进阶变式与跨题融通

1.【环节意图】对标中考压轴难度，训练学生在复杂背景中剥离相似多边形模型的能力。

2.【高频考点】【难点】变式矩阵呈现

【变式1】数字条件复杂化

两个相似五边形的相似比为2:3，其中一个五边形的最长边为12cm，求另一个五边形的最长边。

【解析】分情况讨论：若前多边形边12，则后多边形边=12÷(2/3)=18；若后多边形边12，则前多边形边=12×(2/3)=8。

【要点】相似比顺序模糊时，须分类讨论，答案双值。

【变式2】图形背景隐蔽化

（多媒体）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E、F分别是AD、BC上的点，将矩形沿EF折叠，使点D与点B重合。试判断折叠后产生的四边形与矩形ABCD是否相似。

【师生活动】此题需先画出示意图，利用折叠性质（对应点连线被折痕垂直平分，对应线段相等）求出关键线段长，再计算对应边比例。教师引导学生将“折叠问题”转化为“轴对称问题”，再转化为“比例计算问题”。

【要点】综合性难题解题策略：抽离相似多边形局部→确定对应顶点→列比例式。

【变式3】呈现形式创新化

（基于电子书包互动题板）网格作图：在4×6网格中，已知△ABC，请画出一个新三角形，使其与原三角形相似，且相似比为√2。

【师生活动】学生利用勾股定理构造长度为原边√2倍的线段，在网格中定位顶点。

【要点】相似比从整数拓展到无理数，打通勾股定理与相似的综合应用-9。

3.【非常重要】【思想方法沉淀】

师：同学们，回顾我们解决的这一系列问题，从黑板边框到折叠矩形，从整数比到无理数比，始终贯穿什么核心思想？

生9：比例！方程！

生10：对应！

师：对。全等是“一一对应且相等”，相似是“一一对应且成比例”。对应是几何的灵魂，比例是代数的语言。这就是数形结合的力量。

四、【热点】【难点】典型习题分层透析与规范解答范本

（为保障应列尽罗原则，将本章节习题课所涉及的全部代表性题型、解题步骤、规范书写范式完整呈现）

（一）定义判定类规范范式

【例题】下列命题：①所有的等边三角形都相似；②所有的直角三角形都相似；③所有的菱形都相似；④所有的正六边形都相似。其中真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【思维路径】第1步：回忆定义——各角相等且各边成比例。

第2步：逐项分析——①等边三角：角60°恒等，边比相等，√；②直角三角：角90°虽等，但锐角不定，×；③菱形：边成比例但角未必等，×；④正六边形：角120°恒等，边比相等，√。

第3步：结论——两个真命题，选B。

【【非常重要】规范书写】在填空题中，若要求说明理由，必须写出：“因为正多边形各角相等，各边成比例，所以任意两个正n边形一定相似。”

（二）性质计算类规范范式

【例题】四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB=6，BC=8，CD=7，AD=5，A1B1=9。求四边形A1B1C1D1的周长。

【规范解】∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1（已知）

∴对应边成比例，即AB/A1B1=BC/B1C1=CD/C1D1=AD/A1D1=k（相似多边形性质）

又AB=6，A1B1=9，∴k=AB/A1B1=6/9=2/3

∴B1C1=BC÷k=8÷(2/3)=12，C1D1=7÷(2/3)=10.5，A1D1=5÷(2/3)=7.5

∴四边形A1B1C1D1的周长=9+12+10.5+7.5=39

答：四边形A1B1C1D1的周长为39。

【要点】可先求相似比，再统一乘除；也可先设未知数列比例方程。

（三）逆向求参类规范范式

【例题】如图，矩形ABCD与矩形EFGH相似，AB=4，BC=6，EF=3，求EH的长度。

【规范解】∵矩形ABCD∽矩形EFGH

∴对应边成比例，且对应角相等（矩形的角已自动满足）

需注意对应关系：AB对应EF，则BC对应FG；或AB对应EH？须根据字母顺序或图形位置确定对应顶点。

通常默认字母顺序对应：A↔E，B↔F，C↔G，D↔H。

∴AB/EF=BC/FG，即4/3=6/FG，FG=4.5

又矩形对边相等，∴EH=FG=4.5

答：EH的长度为4.5。

【【非常重要】警示】若题目未指明对应顶点顺序，必须讨论不同对应情况下的解。

五、【重要】课时作业分层设计与评价量规

（一）基础性作业（达标必做）

1.判断下列各组图形是否一定相似，并说明理由。

（1）两个等腰直角三角形

（2）两个长宽比分别为2:1和3:1的矩形

（3）两个边长比为3:5的菱形

2.已知△ABC∽△DEF，AB=5，DE=8，求△ABC与△DEF的相似比；若EF=12，求BC的长。

（二）拓展性作业（学优选做）

1.一块长为a，宽为b的矩形黑板，四周镶有等宽的边框，边框内外边缘所得矩形不相似，请用代数式说明理由。

2.将一张矩形纸片ABCD沿较长边的